【正文】 a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。返回 后頁 前頁 167。c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個不同實根 令).(2 ????? xtcbxax返回 后頁 前頁 .32d2? ?? xxx x求例 9 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???返回 后頁 前頁 22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ? 2 221 23,2 1 1u xxux? ??????返回 后頁 前頁 22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x????????得22 : 2 3 ,x x x t? ? ? ?用方法 令 則? ? ???? ?2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222???????????ttttttxx返回 后頁 前頁 22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??222d ar c t an3 33ttCt? ? ? ? ???因此 2d23xx x x???22 2 3ar c t an .33x x x C? ? ???返回 后頁 前頁 2 2 21 2 ,x x t tx x? ? ? ? ?.1d 2? ??? xxx x求例 10 2 1,x x t x? ? ? ?令則解 注 1 對于本題來說 ,方法 2 顯然比方法 1 簡捷 . ,d)12( )1(2d 22tt ttx ? ???2 1,21tx t ?? ?但實質上只相差某一常數而已 . 注 2 由以上兩種方法所得的結果 , 形式雖不相同 返回 后頁 前頁 22 3 3[ ] d2 1 ( 2 1 ) tt t t? ? ????332 l n l n 2 12 2 ( 2 1 )t t Ct? ? ? ? ??1122ln231ln2 22 ????????? xxxxxx23 .2 ( 2 2 1 1 )Cx x x??? ? ? ?222d 2 2 2 d( 2 1 )1x t t tttx x x????? ? ???從而有 返回 后頁 前頁 注 雖然初等函數都是連續(xù)函數 ,從而它們都存在 22 s in de d , s in d , d ,lnx xxx x x xxx?? ? ? ?都不是初等函數 ,因此都不可能用我們介紹的方 例如 原函數 ,但并非初等函數的原函數都是初等函數 . 法把它們的原函數求出來 . 返回 后頁 前頁 定義 1 設平面曲線 C 由以下參數方程表示 : ( ) , ( ) , [ , ] .x x t y y t t ??? ? ?( ) ( ) [ , ] , ( ) ( )x t y t x t y t?? ??如 果 與 在 上 連 續(xù) 可 微 且 與.C不 同 時 為 零 ， 則 稱 為 一 光 滑 曲 線167。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。 3 有理函數和可化為 一、有理函數的部分分式分解 本節(jié)給出了求有理函數等有關類型的 四、某些無理函數的不定積分 三、三角函數有理式的不定積分 二、有理真分式的遞推公式 有理函數的不定積分 不定積分的方法與步驟 . 返回返回 后頁 前頁 101101()()()nnnmmmxxPxRxQx xx? ? ?? ? ???? ? ???? ? ?有理函數是由兩個多項式函數的商所表示的函數 , 一、有理函數的部分分式分解 m n 時 稱為真分式 , m ≤ n 時稱為假分式 . 假分式可化為一個多項式和一個真分式之和 . 00( 0 , 0 ) ,????其一般形式為 : 返回 后頁 前頁 1. 對分母 Q(x) 在實數系內作標準分解 : 11 221 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,sts t tQ x x a x a x p x q x p x q????? ? ? ? ? ? ?2 4 0 , 1 , 2 , , .jjp q j t? ? ?+11 , N , 2 ,sti j i jijm? ? ? ???? ? ???其 中 且2. 根據分母各個因式分別寫出與之相應的部分分 分解步驟稱為部分分式分解 .具體步驟簡述如下 : 真分式又可化為 22 )( qpxx CxB ii ?? ?()i iAxa? 與 之和 ,其 ()kxa?式 . 對應于 的部分分式是 返回 后頁 前頁 .)()( 221 kkax Aax Aax A ?????? ?,)()( 222 222 11 kkk qpxx CxBqpxx CxBqpxx CxB ?? ????? ???? ? ?把所有部分分式加起來 ,使之等于 Q(x), 由此確定 對應于 kqpxx )( 2 ?? 的部分分式是 上述部分分式中的待定系數 Ai , Bi , Ci . 返回 后頁 前頁 3. 確定待定系數的方法 把所有分式通分相加 , 所得分式的分子與原分子 分式分解 . 組 , 由此解出待定系數 . 必定相等的原則 , 得到待定系數所滿足的線性方程 P(x) 應該相等 . 根據兩個多項式相等時同次項系數 例 1 4 3 25 4 3 22 4 9 10()5 2 4 8x x x xRxx x x x x? ? ? ??? ? ? ? ?對 作部分 返回 后頁 前頁 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 201( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 )A x x x A x