【正文】 ， ∠E’BD=∠DBE ， BD=BD， ∴△E’BD≌△EBD （ SAS）。 。 ① 直線 GH與 x軸交于點(diǎn) D，若 AD∥BO ，求 t的值； ② 若矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為 S個(gè)平方單位，試求當(dāng) 0t≤ 224 ? 時(shí)， S與 t之間的函數(shù)關(guān)系式。 ∴t=IM=OM － OI=22－ 2。 ∴ 當(dāng) t=4 2 2? 時(shí)，就是 GF平移到過點(diǎn) C時(shí)的位置（如圖 5） 。 ∴CP= 2+t? 。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 得 ∠OHM ＝ 450， OH=OC=2， ∴OM= 22。 ① 當(dāng)直線 l 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 100到直線 l1的位置時(shí)（如圖 1），點(diǎn) A 關(guān)于直線 l1的對(duì)稱點(diǎn)為 C，則 ∠BOC 的度數(shù)是 ▲ ，線段 OC的長為 ▲ ； ② 當(dāng)直線 l 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 550到直線 l2的位置時(shí)（如圖 2），點(diǎn) A 關(guān)于直線 l2的對(duì)稱點(diǎn)為 D，則 ∠BOD 的度數(shù)是 ▲ ； ③ 直線 l順時(shí)針旋轉(zhuǎn) n0（ 0＜ n≤90 0），在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為 ▲ （用含 n的代數(shù)式表示）。 ② ∵∠DAO=∠Bal 1=550－ 450=100， ∴ ∠BOC=90 0＋ 2∠DAO=90 0＋ 200=1100。 ∴ 此拋物線的解析式為： y=－ x2＋（ m－ 1） x＋ m。 （ 3）存在。 ② 若點(diǎn) M在點(diǎn) N下方， MN NACD DA? ，則 △AMN∽△ACD 。 9. （ 2020福建寧德 13分） 如圖，矩形 OBCD的邊 OD、 OB分別在 x軸正半軸和 y軸負(fù)半軸上，且 OD＝ 10，OB＝ 8．將矩形的邊 BC繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) C恰好與 x軸上的點(diǎn) A重合． (1)直接寫出點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)： A( ， )、 B( ， )； (2)若拋物線 y＝－ 1 3 x2＋ bx＋ c經(jīng)過點(diǎn) A、 B，則這條拋物線的解析式是 ； (3)若點(diǎn) M是直線 AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 MN⊥ x軸于點(diǎn) N．問是否存在點(diǎn) M，使 △AMN 與 △ACD 相似？若存在，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (4)當(dāng) 7 2 ≤x≤7 ，在拋物線上存在點(diǎn) P，使 △ABP 的面積最大，求 △ABP 面積的最大值． 用心 愛心 專心 35 【答案】 解：（ 1）（ 6， 0），（ 0，－ 8）。 而成， ∴A′ （ 0， m）， C′ （－ 1， 0）。 （ 2） ① 如圖 1， 根據(jù)軸對(duì)稱和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可知 OC=OA=2， ∴ 點(diǎn) A、 B、 C在以點(diǎn) O為圓心， OA=2為半徑的圓上。設(shè)點(diǎn) A關(guān)于直線 OP的對(duì)稱點(diǎn)為 B。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 由 E（ 0， t）， ∠FFO=45 0，用用待定系數(shù)法求得直線 EP的解析式為 y= x+t? 。 ∴ 用待定系數(shù)法求得直線 FG的解析式為 y=x 4 2? 。 ∴DO=AB=2 。 （ 2）由（ 1）的啟示，作如（ 1）的輔助圖形，即可得到直角三角形 DE’A ，根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論。 又 ∵BA=BC ， ∠ABC=90176。 ∴∠ABD ＋ ∠E’BA = 12 ∠ABC ，即 ∠E’BD= 12 ∠ABC 。 5. （ 2020江蘇宿遷 12分） (1)如圖 1，在 △ABC 中， BA=BC， D， E是 AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足 ∠DBE= 12 ∠ABC(0176。 最小值為： EP1=BP1﹣ BE=BD﹣ BE=522 ﹣ 2。 ∴△ABA 1∽△CBC 1。 。 ， ∠EA′D=45176。 。 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方法可得： ∠EA′D=45176。 ，得到 ∠MDF 為45176。 ∵ DF= DF ， ∴△ DEF≌△ DMF（ SAS）。 【答案】 解： (1) 證明： ∵△ DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 － 2α ＞ α ， ∴45176。 。 ∵ 將線段 PA繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2α 得到線段 PQ， ∴AM=MQ ， ∠AMQ=120176。 ∴∠CDB=90176。 。 【答案】 解：（ 1）補(bǔ)全圖形如下： 用心 愛心 專心 24 ∠CDB=30176。2=75176。 ，得到平行四邊形 AB′C′D′（點(diǎn) B′ 與點(diǎn) B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn) C′ 與點(diǎn) C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn) D′ 與點(diǎn) D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn) B′ 恰好落在 BC邊上則 ∠C= ▲ 度． 【答案】 105。 【考點(diǎn)】 勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。 得到 △BAE ， ∴ 根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得， CD= AE， BD=BE。 ∴ 此時(shí)不存在 BE=DF的情況。 。 。 【考點(diǎn)】 正方形和正三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。 ∴S △A′DE =12 DE179。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。 【分析】 ∵ 將 △OAB 繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 100176。 ∴OA=2 ， OB=3， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可得 △AOB≌△AO′B′ ， ∴AO′=OA=2 ， O′B′=OB=3 ， ① 如果 △AOB 是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 ， ∴C′D∥BC 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，三角 形中位線的判定和性質(zhì)。 ∴∠B′CB=90176。 ∵∠A=60176。 ∴ 中心經(jīng)過的路線長是： 90 16 =3180? ???? （ cm）。 ﹣ 60176。 【分析】 根據(jù)含有 30176。 用心 愛心 專心 16 由圖知， P（﹣ 1，﹣ 1）。 根據(jù)矩形的性質(zhì)， ∠B=90 0，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義， A B 1sin A D B =2AD? ???。 。 ． 【答案】 90。 5. （ 2020 浙江 溫州 5 分） 分別以正方形的各邊為直徑向其內(nèi)部作半圓得到的圖形如圖所示，將該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)一個(gè)合適的角度后會(huì)與原圖形重合，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)角的最小度數(shù)是 ▲ 度 . 【答案】 90。 ∴ 這個(gè)角度至少是 90176。 3. （ 2020廣東 肇慶 3分） 正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個(gè)角至少為 ▲ 度 ． 【答案】 90。 【考點(diǎn)】 扇形面積的計(jì)算，計(jì)算器的應(yīng)用。 同理， 0BOD 30??。 又當(dāng) EF是 Rt△ABC 中位線時(shí)，根據(jù)三角形中位線定理知 AD與 EF 互相平分。 ∴AEF ABC1SS4???。 ∴△EDA≌△FDC （ ASA）。 用心 愛心 專心 11 ∴Rt△OAC≌Rt△OBD （ AAS）。 ∴OA= ? ?2 23 +1 =2 。=90176。 【答案】 D。 。 用心 愛心 專心 10 【分析】 ∵ 六邊形 ABCDEF是正六邊形， ∴∠AFE=180176。= ? ? 36 3 6 6 2 33? ? ?（ cm）。 至三角板 ABC???的位置后，再沿 CB方向向左平移，使點(diǎn)落在原三角板 ABC 的斜邊 AB上，則三角板平移的距離為 【 】 A. 6㎝ B. 4㎝ C.（ 6－ 23 ）㎝ D.（ 4 3 6? ）㎝ 【答案】 C。=45176。 【分析】 連接 OB， OB′ ，過點(diǎn) B′ 作 B′E⊥x 軸于 E， 根據(jù)題意得： ∠BOB′=105176。 。故選 A。故選 C。 ∴AP=BF 。 。 C ． 45176。 。 得到正方形 A′B′C′D′ ，圖中陰影部分的面積為【 】 A、 21a2 B、 23a3 C、 23 a4??????1 D、 23 a3??????1 【答案】 D。 ∴ 2PB=2 2 x ，解得 PB=2x。 PP′ = 2 PB。到 BP′， ∴ BP=BP′，∠ ABP+∠ ABP′ =90176。 ∴ 陰影部分的面積始終等于正方形面積的 14 ，即它們重疊部分的面用心 愛心 專心 5 積 S不因旋轉(zhuǎn)的角度 θ 的改變而改變。 則A O C A O B A O C O C O O A O O 1 1 3 3 9 3S S S S S 3 4 + 3 = 6 +2 2 2 4? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∵ 在 △AOO′ 中，三邊長為 O′A=OC=5 ， OO′=OB=4 ， OA=3，是一組勾股數(shù)， ∴△AOO′ 是直角三角形。 ∴∠O′BA=60 0－ ∠ABO=∠OBA 。 6. （ 2020湖北十堰 3 分） 如圖， O是正 △ABC 內(nèi)一點(diǎn)， OA=3， OB=4， OC=5，將線段 BO以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。=30176。 D. 40176。+50176。 ﹣ 40176。 【答案】 B。 ∴1 A CDA CA B CDA B C S S S ?? ? ? ?扇 形 扇 形的 面掃 過 積 229 0 3 6 0 1 3 3 3 1 1 3 3 6 0 3 6 0 4 4 6 4 1 2 4? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?（ ） 故選 D。 － ∠BAC=60176。用心 愛心 專心 1 2020年全國中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編 專題 54：圖形的旋轉(zhuǎn)變換 一、選擇題 1. （ 2020 天津 市 3 分） 將下列圖形繞其對(duì)角線的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 900，所得圖形一定與原圖形重合的是【 】 （ A）平行四邊形 （ B）矩形 （ C）菱形 （ D）正方形 【答案】 D。 ， AB=2， ∴BC= 12 AB=1， ∠B=90176。 用心 愛心 專心 2 ∴A C D A B C1 1 3 3SS2 2 2 4??? ? ? ?S。 D ． 30176。 ﹣ 110176。 ， ∴∠BCA′=30176。 176。 － 15176。故選 B。 得到線段 BO′ ， ∴BO=BO′ ， ∠O′AO=60 0。故用心 愛心 專心 4 結(jié)論 ② 正確。 ，使得 AB與 AC重合， 點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)至 O″ 點(diǎn)． 易知 △AOO″ 是邊長為 3的等邊三角形， △COO″ 是邊長為 5的 直角三角形。 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得 ∠NEK=∠MEL ， 在 Rt△ENK 和 Rt△EML 中， ∠NEK=∠MEL ， EN=EM， ∠ENK=∠EML ， ∴△ENK≌△ENL （ ASA）。 【分析】 如圖，連接 AP， ∵ BP繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176?！唷?BP′ P=45176。 在 Rt△ APP′中， PP 2PB?? 。 10. （ 2020四川 瀘州 2分） 如圖，邊長為 a的正方形 ABCD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30176。 ， ∴∠B′AE=∠DAE=30176。 B ． 60176。 ∴∠ADP+∠APD=90176。 又 ∵AD=AB ， ∴PF=AB ，即 AP+PB=PB+BF。 。 的長為： 45 4180? ???? 。 ， ∴∠OCN=60176。 【考點(diǎn)】 坐標(biāo)與圖形變化（旋轉(zhuǎn)），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。 ﹣ 60176。 ，將三角板 ABC繞 C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 ， ∴B′D=AB′?tan30176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理。=60176。 D． 90186。 － 45176。 【分析】 如圖，作 AC⊥x 軸于 C點(diǎn)， BD⊥y 軸于 D點(diǎn)， ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 3 ， 1）， ∴AC=1 ， OC= 3 。 。 【分析】 ∵Rt△ABC 中， AB=AC，點(diǎn) D為 BC中點(diǎn)． ∠MDN=90 0， ∴AD =DC ， ∠EAD=∠C=45 0， ∠EDA=∠MDN － ∠ADN =90 0－ ∠AND=∠FDC 。 ∴ ? ? ? ? 22A E F A B C1 1 1 1 1 1 1S S A E A F A B A C = b a b a = a 2 b 04 2 4 2 2 8 8?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 結(jié)論 ③ 錯(cuò)誤。 由銳角三角函數(shù)定義， A C 3ta n A O C O C 3? ? ?,∴ 0AOC 30??。 ，則線段 AB 掃過的面積為 ▲ ． 用心 愛心 專心 13 B．用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算： 7sin69?? ▲ （精確到 ）． 【答案】 2 3? ； 。由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可求得 CE=BD=2。 的整數(shù)倍后，就能與它自身重合。 ∴ 旋轉(zhuǎn)后的新函