關于冪零矩陣的幾個注記(存儲版)
【正文】 設 nnAP?? ，若存在正整數(shù) m ，使 1 0mA? ? ， 0mA? ，則稱 A 是冪零指數(shù)為 m 的冪零矩陣 ，也稱 A 是 m? 冪零矩陣 ． 本文將 把上述試題中蘊涵的結(jié)論進行推廣，給出一個 一般性命題 ，該命題可以補充為 冪零矩陣 的一個新性質(zhì) ． 除此之外，本文還將對《大學數(shù)學》期刊 2020年第 5期“ 冪等和冪零陣的伴隨陣的反問題 ”一文中，關于 冪零矩陣 提出的一個的論斷予以否定；對《數(shù)學研究與評論》期刊中 2020年第 2期“ Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中，關于 冪零矩陣 的一個主要結(jié)果給出一個簡單的證明方法，并且同時推廣這個結(jié)論到任何的無限域；最后還將給出矩陣 為 冪零 的一個等價條件，借 助該結(jié)論簡化了一些高等代數(shù)研究生試題的證明 ． 更重要的是，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)，在這些試題中關于“矩陣可對角化”的限制是可以取消的 ． 本文 用 P 表示數(shù)域， nnP? 表示 P 上的 n 階矩陣的集合， rank( )A 表示矩陣 A 的秩， E 表示單位矩陣， adjA 表示 A 的伴隨矩陣 ． 2 幾個引理 關于 冪零矩陣 的一些常見性質(zhì)，在許多文獻中都有論述，本文僅羅列如下兩個基本性質(zhì)，以備后文中引用，對于它們的證明及其它性質(zhì)，本文不再贅述 ． 引理 1[2] 設 nnAP?? ， A 是冪零矩陣 ? A 的特征值全為零 ． 引理 2[2] 設 nnAP?? ， A 是 m? 冪零矩陣 ? A 的最小多項式為 () mf ??? ． 為了后面結(jié)論的證明，我們再建立幾個引理： 引理 3 設 n 階矩陣 A 滿足 10, 0nnAA???，則對使 1 0nA ?? ? 的 n 維列向量 ? ， 4 向量組 21, , , , nA A A? ? ? ??線性無關． 證明 由引理１知 1rank( ) 1nA ? ? ，則存在 n 維列向量 ? ，使 1 0nA ?? ? ，下面證明向量組 1, , , nAA? ? ?? 線性無關： 設 112 0nnk k A k A? ? ??? ? ? ?，對該等式 兩邊以 1nA? 左乘之，得 11 0nkA?? ? ，故 1 0k? ，再對等式 2123 0nnk A k A k A? ? ??? ? ? ?以 2nA? 左乘之，得 12 0nkA?? ? ，故 2 0k? ，同理可得 3 0nkk? ? ? ，因此向量組 21, , , , nA A A? ? ? ??線性無關． 引理 4 設 A 是 n 階矩陣，并且滿足 0nA? ， 1 0nA? ? ，則 rank( ) iA n i??， 1,i? 2, ,n ． 證明 因為 0nA? ， 1 0nA? ? ，所以 A 的最小多項式是 () nnd ??? ，故 A 的不變因子為 1 2 1( ) ( ) ( ) 1nd d d? ? ??? ? ? ?， () nnd ??? ，故 A 的若當標準型為 01010???????? 因此存在 n 階可逆矩陣 P ，使得 11 000nEP AP ?? ??? ????，這里 1nE? 為 1n? 階單位矩陣，經(jīng)過計算得 231 2 1 3 1 1 10 0 0 1, , , , 00 0 0 0 0 0nn nnEEP A P P A P P A P P A P??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 由此得 rank( )i ni??A ， 1,2, ,in? ． 引理 5 設向量組 12, , , n? ? ? 線性無關，向量組 12, , , n? ? ? 如下定義： 112 21 1 23 31 1 32 2 31 1 , 1 1n n n n n nkkkkk??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ????? ? ????? ? ? ??? 5 則向量組 12, , , n? ? ? 也線性無關． 證明 把向 量等式寫成矩陣形式 21 121 2 1 211( , , , ) ( , , , )1nnnnkkk? ? ? ? ? ?????????? 上式右端的上三角矩陣可逆，由 12, , , n? ? ? 線性無關，即得 12, , , n? ? ? 也線性無關． 引理 6[2] 如果 A 、 B 都 是 一個 nn? 矩陣 ， 則 a dj ( ) a dj ( ) a dj ( )AB B A? ． 引理 7[2] 如 果 A 是 nn? 矩陣 ( 2n? )， 那么 r a nk ( ) ,r a nk ( a dj ) 1 r a nk ( ) 1 ,0 r a nk ( ) 1.n A nA A nAn???? ? ??????當當當
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