【正文】 結(jié)及應(yīng)用均值不等式應(yīng)用a2+b21.(1)若a,b206。2ab 222（當(dāng)且僅當(dāng)a（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）=b時(shí)取“=”）a+b246。*20，則x+1179。0，則ababab）+179。=－2 x解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例已知x54，求函數(shù)y=4x2+1的最大值。當(dāng)且僅當(dāng)54x=，即x=1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1。232x+32x246。3246。=x+1解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。y=mg(x)+例：求函數(shù)y=2的值域。)為單調(diào)遞增函數(shù)，故y179。練習(xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x +3x+1,x206。231。19246。R+且2x+y=1，求1+1的最小值xy(2)已知a,b,x,技巧七y206。b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝118－2t 2＋34t－31＝－2（t＋16）＋34∵t＋16≥230－2b30－2btttt求它的面積最大值。4+(2x1)+(52x)=8又y0，所以0y163。230。1247。11ab+c，1==179。b，11179。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。3abc232。xy19x+y9x+9y10y9x+=1，\+=1.\++=1 xykxkykkxky解：令x+y=k,x0,y0,\1179。239。239。04?2（舍）16，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.（三).不等式與恒成立問題x0，163。18 1故y179。=y，即x=y=時(shí)等號(hào)成立239。第五篇：均值不等式的變形和應(yīng)用均值不等式的變形和應(yīng)用一、變形,b是正實(shí)數(shù)，則a2ab+b 2a或+ 2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）bba,b,c是正實(shí)數(shù)，則a2+b2+c2?abbc+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）,b是正實(shí)數(shù)，則a+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)a+b成立）,a2,b1,b2是實(shí)數(shù)，則(2222a1+a2b1+b2?a1b1a2b2（當(dāng)且僅當(dāng)a1:a2=b1:b2)()()時(shí)，等號(hào)成立）二、應(yīng)用（一).在求最值中的應(yīng)用在求最值時(shí)，要利用湊項(xiàng)、湊系數(shù)、分離和換元等方法，使兩個(gè)整數(shù)的和或積或平方和為定值，以利用均值不等式。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x0,y0且+=1，求使不等式x+y179。231。1246。aaa。232。1247。230。x)的最大值。ab（a,b206。x＋y 2≤ 24技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。xy當(dāng)且僅當(dāng)19y9x=1，可得x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。(x+y)179。235。tt15因?yàn)閥=t+在區(qū)間[1,+165。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。2248。248。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。44x554x248。 2＝2x1x2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）xxxab）+179。232。ab(2)若a,b206。R+且+=1，求x+：此題若能靈活變形，運(yùn)用重要不等式求最值，：用判別式法轉(zhuǎn)換為一個(gè)未知數(shù)利用判別式 解法二：換元法令x=acsc2a,y=bsec2a 解法三：轉(zhuǎn)換為一個(gè)字母利用基本不等式求解ab解法四：利用x+y=(x+y)(+)xy11變形：已知a,b,x,y206。22Q=第三篇：均值不等式的應(yīng)用均值不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)： 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用教學(xué)方法：講練結(jié)合 教具：多媒體 教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入：，平均不等式 ：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù) ：積定和最??；和定積最大注：①極值定理成立的條件：一正二定三相等 ②應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意的問題： ：3①若x0,求y=+2②4x1,+2=1,求x1+y2的最大值.③x206。b248。247。1111aaabc上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1時(shí)取等號(hào)。a248。231。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1． 已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a+b+cab+bc+ca2正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc+1246。x4＋ ≤ 224已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝3x ＋2y ＋ba 2＋b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，≤，本題很簡單3x ＋2y≤23x）2＋（2y）2 ＝23x＋2y ＝25解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。6+10=16xy232。x=y，在1+9179。19246。2233。)，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。2248。248。評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。44x554x248。R,x+y=s,xy=．及值定理：①若p為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，s=x+y有；②若s為定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，p=xy有。2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）xxx0，則+179。2248。R*，則a+b179。N),若產(chǎn)品銷售價(jià)