【正文】 .................. 19 有關(guān)矩陣的行列式計算 ............................... 21 用構(gòu)造法解行列式 ................................... 22 利用拉普拉斯展開 ................................... 23 3 用多種方法解題 ........................................ 23 參考文獻(xiàn)： .............................................. 27 II 3 【內(nèi)容 摘要 】 行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的 應(yīng)用，懂得如何計算行列式顯得尤為重要。 行列式有兩行（列）相同，則行列式為零。 例 5 計算行列式 100101012001111????????nnD n?? . 解： 11 ? ? )1211(!10000010020012111111212)1(11nnnnncncccnnnnnnD???????????????????????????　 三對角行列式的計算 對于形如??????????的所謂三對角行列式，可直接展開得到兩項遞推關(guān)系 21 ?? ?? nnn DDD ?? ，然后采用如下的一些方法求解。由第二列加到第一列，并減去第三、四列可見， D 可被 xzy ?? 整除，由第三列加于第一列，并減去第二、四列可見， D 被 zyx ?? 整除。 計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算行列式的幾種 方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。 [3] 徐帥，陸全，張凱院，呂全義，安曉虹主編 .高等代數(shù)考研教案 .西安 :西北工業(yè)大學(xué)出版社。 參考文獻(xiàn)： ［ 1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編 .高等代數(shù) .北京 :高等教育 出版社。 解：若 naa?1 中有兩個數(shù)相等，則 0?nD 若 naa?1 互異，則每個 n 階行列式 )()()()()()()(21211nnnnnafafxfaffxfxG??????? 是 )()(),( 21 xfxfxf n?的線性組合，據(jù)題 )(xfi 的次數(shù)≤ )1(2 nin ??? 因而 )(xG 的次數(shù)≤ ,2?n但 ,0)()( 2 ??? naGaG ? 這說明 )(xG 至少有 )1( ?n 個不同的根，故 ,0)( ?xG 所以 0)( 1 ?aG 即0)( ?xDn n 階循環(huán)行 列式算法 例 16 計算行列式acccbaccbbacbbbaD n????????? 其中cbabc ?? .0 20 解：設(shè) )()( 12 ?????? nxxxbaxf ?且令 0??bcxn的 n 個根為),1( nixi ?? 則 ???ni in xfD 1 )( 由 ]11[)1()( ??????????? x xbcx bcxbax xxbaxf nn有 1)()(1)( ?????????iiiii xacxbaxxbcbaxf 利用關(guān)系式 ? ? ? ???? ? 01,21 niiijii xxxxxx ?? bcxxx nn 121 )1( ???? 得?????? ?????? ???? niiniiiininxacxbaxacxbaD111 )1()]()[(1)()( bccabbacbcacbabc nnnnnnn??????????????? )()()1()1()()()1(11 例 17 設(shè) ),2,1,(),( njixfij ?? 都是 x 的可微函數(shù) 證明：???ninnnininnnnnnnxfxfxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxd111111212222111211)()()()()()()()()()()()()()()(????????????? 證明： )]()()()1([)()()()()()()()()(2211)(212222111211121 xfxfxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdn jnjjjjjjjnnnnnnnn ?????????? ?? ? )]()()([)1( 2211)(2121 xfxfxfdxd n jnjjjjjjjjnn ???? ?? ? 21 ) ) ]()(()()(()()()([)1( 1122112211)(2121 xfdxdxfxfxfxfxfxfdxd n jnjnnjjn jnjjj jjjjjnn ?????? ? ?????? ))()()()1()()()(()1(21 212121 1111)(2211)(? ? ???????n nnnjjj n j njnnjjj jjjjn j njjjjj xfdxdxfxfxfxfxfdxd? ??? ??? ?? ???? ??????????????)()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdnnnnnnnnnnnnn )()()()()()()()()(1)()()()()()()()()()()()(21211121121,12,11,12222111211xfxfxfxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfinxfdxdxfdxdxfdxdxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnniniinnnnnnnnnnn?????????????????? ???? 有關(guān)矩陣的行列式計算 例 18 設(shè) A 與 B為同階方陣： 證明： BABAAB BA ???? 證明： BABABAB BAAB ABBAAB BA ????????? 0 例 19 設(shè) A 為 n 階可逆方陣， ? 、 ? 為兩個 n 維列向量，則AaAA )1( 1?????? ??? 22 證明： )1(101 11)1)(1( ?????? ? ???? ???????? AAAAA nn 例 20 若 n 階方陣 A 與 B且第 j 列不同。 對于相鄰行（列）元素相差倍數(shù) k的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的 — k 倍，或后行（列）減去前行（列）的 — k 倍的步驟，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素。因此遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或遞減的所謂范德蒙型的行列式時，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應(yīng)的結(jié)果求值 例 7 計算行列式 21n221n2211n1222212121 111111??? ??????????nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD???????. 解： 把第 1 行的－ 1 倍加到第 2 行，把新的第 2行的－ 1 倍加到第 3 行，以此推直到把新的第 1?n 行的 1倍加到第 n 行，便得范德蒙 13 行列式