【正文】 質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】 直接利用反函數(shù)的求法求解即可． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =ln（ +1）（ x＞ 0）， f（ x） ∈ （ 0， +∞ ）． +1=ey，解得 x= ， 函數(shù) f（ x） =ln（ +1）（ x＞ 0）的反函數(shù) f﹣ 1（ x） = ， x∈ （ 0， +∞ ）． 故答案為： ， x∈ （ 0， +∞ ）． 【點評】 本題考查反函數(shù)與原函數(shù) 的關(guān)系，考查計算能力．注意函數(shù)的定義域． 4．已知正實數(shù) x， y滿足 x+3y=1，則 xy 的最大值為 ． 【考點】 基本不等式． 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】 運用基本不等式得出 x+3y=1 ，化簡求解 xy 即可． 【解答】 解； ∵ 正實數(shù) x， y滿足 x+3y=1， ∴x+3y=1 ， 化簡 得出 xy （ x=3y= 等號成立） xy的最大值為 （ = ， y= 等號成立） 故答案為； 【點評】 本題考查了運用基本不等式求解二元式子的最值問題，關(guān)鍵是判斷，變形得出不等式的條件，屬于容 易題． 5．已知復(fù)數(shù) z=3sinθ+icosθ （ i是虛數(shù)單位），且 |z|= ，則當 θ 為鈍角時， tanθ= ﹣ 1 ． 【考點】 復(fù)數(shù)求模． 【專題】 三角函數(shù)的求值；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)． 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)的模，得到 θ 的三角方程，然后求解即可． 【解答】 解：復(fù)數(shù) z=3sinθ+icosθ （ i是虛數(shù)單位），且 |z|= ， 可得 9sin2θ+cos 2θ=5 ， 可得 sin2θ= ，當 θ 為鈍角時， sinθ= ， θ=135176。 ） +4﹣ sin（ θ+60176。 ， 120176。 時 ，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小，此時AN=AM=2． 故答案為：（ 1） AN= ， AM= （ 2） AN=AM=2時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最?。? 【點評】 本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題，利用正弦定理以及三角函數(shù)的三角公式是解決本題的關(guān)鍵． 22．已知圓 F1：（ x+1） 2+y2=8，點 F2（ 1， 0），點 Q在圓 F1上運動， QF2的垂直平分線交 QF1于點 P． （ 1）求動點 P的軌跡 C的方程； （ 2）設(shè) M、 N分別是曲線 C上的兩個不同點，且點 M在第一象限，點 N在第三象限，若， O為坐標原點，求直線 MN的斜率； （ 3）過點 的動直線 l交曲線 C于 A、 B兩點，求證：以 AB為直徑的圓恒過定點 T（ 0， 1）． 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程． 【專題】 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 【分析】 （ 1）如圖所示， |PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2 ＞ |F1F2|=2，可知：動點 P的軌跡為橢圓，設(shè)標準方程為 （ a＞ b＞ 0），可得 a= ， c=1， b2=a2﹣ c2． 即可得出橢圓 C的方程． （ 2）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， F1（﹣ 1， 0）．由于 ，可得 x1+2x2=﹣ 2，y1+2y2=0．代入橢圓方程可得 =1，又 ，聯(lián)立解出即可得出kMN= ． （ 3）假設(shè)在 y軸上存在定點 T（ 0， t），使以 AB 為直徑的圓恒過這個點．設(shè)直線 AB的方程為 y=kx﹣ ， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程化為（ 1+2k2） x2﹣ kx﹣=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入 =0，解出即可． 【解答】 解：（ 1）如圖所示， ∵|PF 1|+|PF2|=|QF1|=R=2 ＞ |F1F2|=2， ∴ 動點 P的軌跡為橢圓，設(shè)標準方程為 （ a＞ b＞ 0）， a= ， c=1， b2=1． ∴ 方程 C為 =1． （ 2）設(shè) M（ x1， y1）， N（ x2， y2）， F1（﹣ 1， 0）． ∵ ， ∴x 1+2x2=﹣ 2， y1+2y2=0． ∴x 1=﹣ 2﹣ 2x2， y1=﹣ 2y2，代入橢圓方程可得 =1，又 ， 聯(lián)立解得 ， ∴ ． ∴k MN= = ． （ 3）假設(shè)在 y軸上存在定點 T（ 0， t），使以 AB 為直徑的圓恒過這個點．設(shè)直線 AB的方程為 y=kx﹣ ， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）． 則 =（ x1， y1﹣ t） ?（ x2， y2﹣ t） =x1x2+（ y1﹣ t）（ y2﹣ t） =x1x2+ ﹣ t +t2=（ 1+k2） x1x2﹣ （ k+kt）（ x1+x2）（ x1+x2） + + +t2=0， 聯(lián)立 ，化為（ 1+2k2） x2﹣ kx﹣ =0， △ ＞ 0恒成立． ∴x 1+x2= ， x1x2=﹣ ． 代入上式可得：﹣ ﹣ + + +t2=0，化為（ 18t2﹣ 18） k2+（ 9t2+6t﹣ 15） =0， ∴ ，解得 t=1．滿足 △ ＞ 0． ∴ 在 y軸上存在定點 T（ 0， 1），使以 AB為直徑的圓恒過這個點 T． 【點評】 本題考查了橢圓的定義及其標準方程、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量坐標運算，考查了推理能力與計算能力，屬于難題． 23．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且滿足： a1=1， 4Sn=（ an+1） 2（ n∈ N*）． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）設(shè) bn= + （ ∈ N*），試求 （ b1+b2+?+b n﹣ 2n）的值； （ 3）是否存在大于 2的正整數(shù) m、 k，使得 am+am+1+am+2+?+a m+k=300？若存在，求出所有符合條件的 m、 k；若不存在，請說明理由． 【考點】 數(shù)列的極限；數(shù)列的求和． 【專題】 點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法． 【分析】 （ 1）通過 4an+1=4Sn+1﹣ 4Sn得（ an+1+an）（ an+1﹣ an﹣ 2） =0，進而可得結(jié)論； （ 2）通過分離 bn的分母可得 bn=2+2（ ﹣ ），累加后取極限即可； （ 3）假設(shè)存在大于 2的正整數(shù) m、 k使得 am+am+1+?+a m+k=300，通過（ 1）可得 300=（ 2m+k﹣ 1）（ k+1），利用 2m+k﹣ 1＞ k+1≥4 ，且 2m+k﹣ 1與 k+1的奇偶性相同，即得結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵4S n=（ an+1） 2， ∴4S n+1=（ an+1+1） 2， 兩式相減，得 4an+1=4Sn+1﹣ 4Sn=（ an+1） 2﹣（ an+1+1） 2= ﹣ +2an+1﹣ 2an， 化簡得（ an+