【正文】 s the application of Geometry in astronomy and military. In the seven part， we discuss the application of Geometry in painting and clothing. In the eight part， we summarizes our work in this paper, and thus show the importance of geometric thinking and supply a guide for people using geometry effectively and improving the creativity in the future. Key Words: Geometry。歐式幾何思維一方面 培養(yǎng)提高了人們的邏輯思維能力，例如科學(xué)巨星愛因斯坦運(yùn)用該思想，把狹義相對論建立在相對原理和光速不變原理兩條公理上 ；另一方面，它幾乎成為了建筑等眾多行業(yè)發(fā)展的核心。分形幾何為建筑學(xué)的發(fā)展帶來了新的契機(jī)，被一些先鋒派建造師用到設(shè)計中去，產(chǎn)生一批利用分形原理設(shè)計的“分形建筑”作品。因此，幾何學(xué)對于物理和數(shù)學(xué)其它分支等自然學(xué)科的發(fā)展具有重要意義。 對于園林而言，點的排列就組成了園林的樹植分布，如等距分布、間隔排列等；讓很多人 樂此不彼的植物迷宮更是點的排列的典型應(yīng)用。 我國的園林景觀設(shè)計中注重強(qiáng)調(diào)線的引導(dǎo)性作用和靈動、流暢性。園林設(shè)計常常借助“面”來給人視覺上的沖擊力從而展現(xiàn)其主題。下圖分別為福建省委黨校辦公樓和日本現(xiàn)代主義的著名寫字樓“方斗”辦公大樓。 圖 33：莫比烏斯住宅的簡單幾何圖解和實物圖。 多面體幾何學(xué)思維運(yùn)用 古希 臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三維多面凸體，之后開普勒和普安索發(fā)現(xiàn)了內(nèi)凹多面體。非歐幾何這一偉大數(shù)學(xué)成就極大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且對當(dāng)代空間概念的革新帶來了深遠(yuǎn)的影響。復(fù)雜的幾何曲面是整個建筑最顯著的特點。 此外，舉世聞名的旅游景點的埃菲爾鐵塔也有著分形幾何的身影。這種解析幾何分析的方法就是 ss?39。39。1 ?? 牛頓公式為： 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 12 239。39。再由曲線的分布情況可知，在 fs???? 的區(qū)域范圍內(nèi)實物成的像為實像；在 0??sf 區(qū)域范圍內(nèi)實物成的像為虛像。伴隨著光學(xué)加工技術(shù)前進(jìn)的步伐、光學(xué)面形的檢測技術(shù)進(jìn)步，自由曲面光學(xué)元件就逐步地得到了運(yùn)用 。而非球面鏡片就是這些特殊鏡片中的一員。而圓柱螺旋壓縮彈簧與解析幾何中的圓柱螺旋線密切相關(guān)。當(dāng)壓縮彈簧兩端固定時，通常取 b 以保證彈簧的穩(wěn)定性。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 圖 44：通過旋轉(zhuǎn)成型的花瓶與旋轉(zhuǎn)曲面 轉(zhuǎn)盤的中心相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)軸，然后手和拉坯工具改變形態(tài)相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)體的母線，母線繞著軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面。 圖 47：橄欖球的幾何分析 不難看出，工業(yè)設(shè)計及工業(yè)加工是藝術(shù)與科學(xué)的有機(jī)結(jié)合。從圖 51 中飛機(jī)機(jī)翼的剖面圖可以發(fā)現(xiàn)機(jī)翼的下表面是一個平面，而上表面是一個凸曲面，這樣的設(shè)計使得一股空氣流到了機(jī)翼處時就分成了上下兩股，到了機(jī)翼后緣又匯聚在了一 起，即在相等的時間內(nèi)，機(jī)翼下表面的空氣流過的路程比上表面短，這樣機(jī)翼下表面的氣流速度要小于上表面的?！吧砭痈呶弧钡臉菍佑L(fēng)面積越大，樓層的外表面的風(fēng)壓越大，在風(fēng)的作用下，這些樓層承受著巨大的壓力。下面探討動車組天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 運(yùn)行中阻力與所用的幾何學(xué)知識。 總而言之，曲面的運(yùn)用有效地為我們的生活“減壓”和提速，真正達(dá)到了幾何改變生活的效果。下面探討其中的幾何學(xué)知識。 時，神舟飛船所受到的萬有引力 F 還不 足以提供飛船繞地心做圓周運(yùn)動時所需要的向心力 39。 6 日，“嫦娥三號”探測器成功進(jìn)入環(huán)月軌道。 限于國家對高科技技術(shù)的保密，無法取得更多運(yùn)載火箭發(fā)射數(shù)據(jù)，進(jìn)而無法對整個嫦娥探月過程進(jìn)行更深入分析。對鉆地導(dǎo)彈而言，是希望與地面成接近垂直的方向打擊地下的目標(biāo)，以達(dá)到最大鉆入深度；對反導(dǎo)彈系統(tǒng)導(dǎo)彈而言，則希望以頭部直接攻擊來攔截敵方的攻擊導(dǎo)彈；對反艦導(dǎo)彈而言，是希望能夠以恰當(dāng)?shù)慕嵌葋砉襞灤饕獋}儲部位；對反坦克導(dǎo)彈而言，則希望以垂直角度擊中坦克的防護(hù)裝甲。該發(fā)射方式及拋物線軌道的飛行易于控制、改變導(dǎo)彈變向，利于提高命中率。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 7 繪畫與服裝服飾中的幾何思維 繪畫藝術(shù)中的幾何 數(shù)學(xué)中的幾何知識與繪畫藝術(shù)有著不可分割的聯(lián)系，不倫是中國還 是西方，繪畫作品中處處顯現(xiàn)著幾何圖形的形式美。芬奇的作品便是其中的代表作，其大部分畫作都是藝術(shù)和幾何的完美結(jié)合。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 25 圖 72：塞尚的作品《垂發(fā)的塞尚夫人》和《七個蘋果》 《垂發(fā)的塞尚夫人》中，塞尚通過用漸變的黑色線來描繪畫作中的婦女的頭部輪廓，以達(dá)到突出頭部輪廓的幾何形特征，而人物的頸部則表現(xiàn)出圓柱體的立體感，再勾勒出清晰的橢圓形耳朵的外形。而喬治 線在繪畫里的使用效果千變?nèi)f化，有疏密長短，或剛或柔，或舒緩或活潑，有輕盈也有粗獷，作用繁復(fù)。宋代的《清明上河圖》把線的特性發(fā)揮得淋漓盡致。面可以理解為畫中大面積的點和線的不斷重復(fù)，大面積地涂染顏色就出現(xiàn)了各種“面”。具體圖案絕大部分是由簡單的線條根據(jù)現(xiàn)實生活中具體的人和物形象勾勒出象形圖案，“姜央射日月”、“駿馬飛渡”便屬此類。 精美、有序制作簡易的幾何圖案深受彝族人民的鐘愛，因此幾何圖案成為彝族服飾中最常運(yùn)用的圖案。傣族服裝布料多來自自家勤勞手巧的婦女親手縫制，享譽(yù)中外的德宏盈江傣錦，紋飾、組合形式不一但多為節(jié)奏感強(qiáng)烈的棱形幾何紋。代表著簡約、延伸、動感的條紋圖案，通過“分割”整個針織服飾打破了消費者習(xí)慣上的視覺感受。 本文首次全面探討幾何思維在各行各業(yè)中的廣泛應(yīng)用，展示幾何之美以及幾何思維的重要性。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進(jìn)步，在此向他們表示我由衷的謝意，并祝所有的老師培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下 ！ . 最后，衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位老師！ 。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 31 8 結(jié)論與展望 幾何學(xué)源于現(xiàn)實，并用于現(xiàn)實，它深深融入并影響著我們的生活。 為使服飾的風(fēng)格更加多元化，服裝設(shè)計師運(yùn)用各種手段豐富設(shè)計語言，其中不 乏幾何思維。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 29 圖 78：彝族服飾上回形紋圖案和盤絳紋圖案 彝族服飾上的幾何圖案起著美化服飾的同時在一定程度上也反應(yīng)這彝族的傳統(tǒng)文化，意義深遠(yuǎn)。聰慧的苗族人民就這樣用雙手以簡單的幾何元素為基礎(chǔ)，在有限的“布局”中織造出富含道家“一生萬物”思想、表達(dá)無限精神的苗族服飾。苗族服飾上異常精美的圖案彰顯著歷史文化的印記、審美價值和民族情感，哪怕是如今的苗族日常服飾也還飽含著這些獨特而有意愿的圖案。哪怕是在其近乎失明的情況下畫的畫，弧線也都是畫的主要元素，山、石、樹木、亭子等都與三角弧有聯(lián)系，或斜或正、或密或疏。敦煌 320 窟壁畫《雙飛天》，疏密交錯得當(dāng)?shù)木€，將體態(tài)婀娜多姿、翩翩起舞的女神仙展現(xiàn)無遺，風(fēng)光明媚、歌舞升平，一幅美好的西方極樂世界景象，感染力十足。 如果說西方繪畫藝術(shù)多是面或體這兩種幾何語言，那么我國畫作的基本語言就主要是線。奧斯本的至理名言“立體主義最著名的方法就是把物體拆解成象征幾何形立體的平面”作出的解釋。 為了凸 顯事物特征，塞尚在其作品中往往運(yùn)用深褐色或黑色的線來描繪物體局部或整體的輪廓線。 西方繪畫藝術(shù)畫風(fēng)多種多樣，但畫作里都呈現(xiàn)出同樣的元素 —— 幾何元素。幾何學(xué)在航天國防軍事上的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，還有諸如導(dǎo)彈制導(dǎo)方面基于時間最優(yōu)的導(dǎo)引律，它用到微分幾何和歐氏幾何。 機(jī)載空對地彈道導(dǎo)彈使用的是水平發(fā)射的方式發(fā)射。 以美國潛地彈道導(dǎo)彈為例，從北極星 A1 型號導(dǎo)彈到三叉戟 D5 型號導(dǎo)彈，經(jīng) 過了六個型號三代導(dǎo)彈的發(fā)展，不僅射程變遠(yuǎn)、彈頭變多，外形也發(fā)生了變化，錐形彈頭外形有效地減小了發(fā)射過程中所遇到的空氣阻力等，在存儲燃料空間容積有限的情況下有效地提高了導(dǎo)彈的射程。 2 日 2 時，“嫦娥三號”探測器太陽翼展開，通過太陽 供給電能，探測器以每秒約 11 公里的速度進(jìn)入遠(yuǎn)地點 ? 的橢圓形軌道，近地點 km210 的地月轉(zhuǎn)移橢圓軌道。運(yùn)動軌跡的變換原理不僅涉及到物理學(xué)理論，還用到重要的幾何軌線。? 其中 V 為飛行速度， R 為半徑。 航天器運(yùn)行中的幾何思維 20xx 年 9 月 25 日，神舟七號 飛船發(fā)射成功，自此飛船進(jìn)行為期兩天多的載人航天飛行任務(wù)。主要通過對動車組車頭的設(shè)計進(jìn)行流線化，車頭變得更長更尖更低矮，車頭的車窗更加傾斜，整個車頭變成更加流暢的曲面，這樣的設(shè)計能有效的減小車頭迎風(fēng)面，從而降低其與空氣接觸，達(dá)到減小阻力的效果。 圖 52：科威特中央銀行新總部大廈 此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設(shè)計成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會使得風(fēng)的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風(fēng)壓。下面探討高層建筑風(fēng)壓調(diào)節(jié)所應(yīng)用的幾何學(xué)知識。機(jī)翼的設(shè)計和升力的由來理論知識來自于幾何中“面”的知識和伯努利著作《流體動力學(xué)》里的“邊界層表面效應(yīng)” —— 當(dāng)流體加快速度流過時，物體和流體的接觸面上的壓力會變小，相反，流速慢時壓力會變大，這就是著名的伯努利定律。 救生圈其實就是一個環(huán)面，將圓 ? ? ? ???? ? ????? 0 0: 222 x abazby? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，即在方程 ? ? ? ?0222 ????? abazby 保持 z 不變，而圓繞著 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的如圖 46。 以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個幾何學(xué)知識應(yīng)用 的過程。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產(chǎn)生單位變形所需的載荷 kp稱為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧 長細(xì)比以及旋繞比有關(guān)。這些精密的非球面鏡片已經(jīng)被佳能運(yùn)用到超廣角鏡頭和超遠(yuǎn)攝像頭的各種 EF 鏡頭中，這也是佳能可以在影像設(shè)備領(lǐng)域占據(jù)一席之地的重要原因。 相機(jī)鏡頭的光學(xué)性能是通過開發(fā)、使用各類特殊的鏡片來實現(xiàn)的，相而片畫天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 13 質(zhì)的提高就是得益于這些特殊的鏡片。上世紀(jì) 70 年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運(yùn)用到空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。?s 時，凸透鏡所成的像為實像，對應(yīng) s 軸上方的區(qū)域；當(dāng) 039。上述的兩個公式坐標(biāo)變換為 39。ff ?? ， 039。但一般情況下，根據(jù)高斯公式直接畫 ss?39。然而，這種方法卻有不少的局限性，例如不夠直觀、計算麻煩等。西方中世紀(jì)的哥特式教堂有著十分顯著的分形特征。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 圖 36：巴黎香奈兒流動藝術(shù)展覽館的內(nèi)部局部視圖、外部整體視圖和俯視結(jié)構(gòu)圖。設(shè)計者庫哈斯有效的運(yùn)用不同數(shù)量的面構(gòu)成多面體，使得整個建筑不管是外部還是內(nèi)部都交輝相應(yīng)，多面體的奇異感被展現(xiàn)無遺，使其功能與藝術(shù)有機(jī)結(jié)合。 圖 34：浙江金華建筑藝術(shù)公園的閱讀空間和解剖圖 建筑大師赫爾佐格在有限的空間里（ m8m8m8 ?? ）進(jìn)行一系列的空間拓?fù)涮旖蚩萍即髮W(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 8 變換設(shè)計成以孔洞形式存在的復(fù)雜空間，并用 300 多張的剖面圖對這個小建筑進(jìn)行解讀。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 在建筑界，拓?fù)鋵W(xué)深受建造師們的喜愛，例如莫比烏斯環(huán)面。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 6 3 建筑設(shè)計中的幾何思維 歐式幾何學(xué)思維運(yùn)用 歐式幾何作為幾何學(xué)的一個最古老分支，主要是研究點、線、面等二維和 三維空間。 園林設(shè)計中面的運(yùn)用 面是點和線圍起來的區(qū)域，是園林設(shè)計中必不可少、使用最廣的元素。丹麥著名的景觀設(shè)計師布蘭德特（ 18781945）時常通過運(yùn)用植物來構(gòu)造直線型的空間組合，直線的設(shè)計元素和直線型的空間組合方式在布蘭德特的所有設(shè)計中隨處可見， Hellerup 海岸公園、 Ordrup 私家花園中都明顯顯示出這一特點。 園林設(shè)計中點的運(yùn)用 點是園林設(shè)計中最小的平面形態(tài)單位，它不僅有色彩、質(zhì)地之分，另有位置、巨細(xì)之別，是園林整體設(shè)計中的最基本要素，并有著特殊的作用。 偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓通過對笛卡爾的《幾何學(xué)》和歐幾里得的《幾何原本》等幾何著作的學(xué)習(xí)，迅速跨進(jìn)了當(dāng)