【正文】 For n=1： 2： Nb Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End Else %putation when Nb is odd and 1 B=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End B(K+1，： )=[0real(poly(z(Nb)))]； End 例題 設(shè)計一個 ??c 由例題 給出的三階巴特沃茲模擬原型濾波器。為了在 p? 精確滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ????pRpc N 或者在 c? 精確地滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ???? sRsc N 14 例題 設(shè)計一個滿足下面要求的低通巴特沃茲濾波器； 同帶截止頻率 ???p ；通帶 波紋 dBRp 7? 阻帶截止頻率 ???s ；阻帶波紋 dBAs 16? 題解 由（ 式） 3][])(2 )]110/()110l og [([ ????? ??N 為了準(zhǔn)確在 p? 滿足指標(biāo)要求。 15 %b=numerator coefficient of Ha(s) %a=Denominaror coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。這個函數(shù)與早先討論過的freqz_m 函 數(shù)是類似的。 Pha=angle(H)。Attn=10^(As/20)。 系統(tǒng)函數(shù)給出 )498 )(248 ( 123 )( ???? sssH sa 這個 )(saH 與例題 的結(jié)果稍有不同，這是因為在例題 中用了c? =，而在 afd_butt 函數(shù)中 c? 是按滿足在 p? 的要求選定的。根據(jù)這兩種相應(yīng)的圖可看出下面幾個性質(zhì)： （ 1） 在 x=0（或 ? =0）； 1|)0(| 2 ?jH a ， N 為奇數(shù)。現(xiàn)在這個系統(tǒng)函數(shù)給出為 )()( ka psksH ?? ? （ ） 式中 K 是某個歸一化因子，選擇成 ??????? 　?。螢榕紨?shù)　　　　?。螢槠鏀?shù)211,1)0(?jH a （ ） MATLAB 實現(xiàn) MATLAB 提供了一個稱為 [z,p,k]=cheblap（ N， pR ） 的函數(shù)用于設(shè)計一個 N 階和通帶波紋為 pR 的歸一化切比雪夫Ⅰ型模擬 原型濾波器，并得到在數(shù)組 z 中的零點，數(shù)組 P 中的極點和增益值 k。 And=a(N+1)。這個函數(shù)給出如下，并利用在例題 中所描述 的過程。(Rp0) %As=Stopband attenuation in +dB。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計例題 中給出的模擬切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。 [b,a]=afd_chbl(Wp,Ws,Rp,As)。這意味著這個濾波器在 S 平面有極點也有零點，因此在通帶內(nèi)群式時延特性比切比雪夫Ⅰ原型濾波器要好一些（相位響應(yīng)更為線性）。 Function[b,a]=U_chb2ap(N,As,Omegac)。 aNu=a(N+1)。 b0=k。 Wp0 %Ws=stopband edge frequenc in rad/sec。 N=ceil(lig10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR+sqrt(omegaR*OmegaR1)))。 %analog filter design。它們在幅度響應(yīng)特性上與 FIR 等波紋濾波器是一類似的。對于奇數(shù)和偶數(shù) N 的典型響應(yīng)如下圖所示。 %Unnormalized Elliptic Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]=u_elipap(N, pR ,As,omegac)。 b=real(poly(z))。 b=k*b。 Ws Wp0 %Rp=passband ripple in +dB。 % Version code Capk1 =ellipke([(k1 .? 2) (1k..?2)])。 Attn=10?(As/20)。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。這些變換都是復(fù)制映射，并在文獻中廣泛研究過。 脈沖響應(yīng)不變變換 在這種設(shè)計方法中，我們想要這個數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)看起來域一個頻率選擇性模擬濾波器的沖激響應(yīng)是“相似”的。 設(shè)計步驟 已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計要求 psp R,?? 和 sA ，想要通過首先設(shè)計一個等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來確定 )(zH 對這個過程所要求的步驟是： （ 1） 選取 T 來確定模擬頻率 35 Tpp ???和Tss ??? （ 2） 利用設(shè)計參數(shù) , psp R?? 和 sA 設(shè)計一個模擬濾波器 )(sHa 。 Function [b,a]=imp_invr(c,d,T) %Implse Invariance Transformation from Analog to Digital Filter 36 % %[b,a]= imp_invr(c,d,T) % b=Numerator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % a=Denominator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % c= Numerator polynomial in s of the analog filter % d= Denominator polynomial in s of the analog filter % T=sampling (transfromation)parameter % [R,p,K]=residue (c,d)。T=。 %digital Stopband freq in rad Rp=1。 ***Butterworth Filter Oder=6 % Impulse Invariance transformation。 %prototypeStopband freq %Analog Butterworth Prototype Filter Calculation。 Wp=*pi。 題解 MATLAB 腳本 c=[1,i]。然后用（ ）式將每個模擬極點映射為一個數(shù)字極點，最后能用 residuez函數(shù)將轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)形式。不過，沒有一個有限階的模擬濾波器是真正帶限。在實際中采用的最為普遍的方法式雙向性變換發(fā)，它保留的是從模擬到數(shù)字域的系統(tǒng)函數(shù)表示。這個選取既決定于濾波器的階次（它影響處理速度和實現(xiàn)復(fù)雜性），也取決于相位特性（它控制著失真大小）。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 As=16。 K1=ep/sqrt(A*A1)。 % b=Numerator coefficients of Ha(s) % a=Denominator coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。 k=k*(aNu*bNn)/(aNn*bNu)。 p=p*Omegac。在下面的 U_elipap (N, pR ,As,Omegac)函數(shù)中，我們設(shè)計一個非歸一化的橢圓模擬原型濾波器，并得到直接型的 )(sHa 。這個函數(shù)的分析，即使非常的淺薄一點都不超出本書的范圍。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 27 Ripple=10ˉ (Rp/20)。 omegaR=Ws/Wp。 Chebyshev2 26 % %[b,a]= afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)。 bNu=b(M)。 p=p*Omegac。新的增益 K 利用（ ）式確定，這可以通過將原有的 K 倍乘以非歸一化的有理函數(shù)的比在 s=0 的求值來完成。 用一個四階切比雪夫Ⅰ型濾波器可以滿足設(shè)計要求，它的系統(tǒng)函數(shù)是 ))(( )( 22 ????? sssssH a 24 該濾波器的圖如圖 所示。Attn=10?(As/20)。 N=ceil(log10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR*OmegaR1)))。Wp0 %Ws=stopband edge frequency in rad/sec。 B=k*B。 Rp0 %Omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]= chblap(N,Rp)。通過求下式的根可以獲得 )()( sHsH aa ? 的極 19 點 )(1 22 cN jsT ??? 求得這個方程的解如果不困難的話也是很煩的。 存在有兩種可能得 2|)(| ?jHa 形狀，分別對應(yīng)于 N為奇數(shù)和 N為偶數(shù)，看下圖所示。 %calculation of Impulse response。As=16。 16 Mag=abs(H)。 為了展示模擬濾波器的頻域圖，我們提供了一個稱為 freqs_m 的函數(shù)，它是由 MATLAB 提供的函數(shù) freqs 的修正形式。 % Analog lowpass Filter Design。我們想要： 或）在（ pap RjHL o g ?????? 2|)(|10,1pNcpRL o g ????? })(1 1{10 2 或在 sa AjH ?????? 210s )(l o g10,)2(sNcsAL o g ????? })(1 1{10 2 對這兩個方程解出 N 和 c? ，有 )/(2 )]110/10/()110[( 1010/10spARL ogL ogNsp?? ??? 一般來說，上面 N 不會是一個整數(shù)。a=a/a0。第 6 章已經(jīng)研究過如何將一個直接型轉(zhuǎn)換為一種級聯(lián)型。 Function［ b,a］ =u_buttap(N,omegac)。 （ 5）極點永遠不會落在虛軸上，且僅當(dāng) N 為奇數(shù)時才會落在實軸上。 8 從這張圖可看出下面兒個性質(zhì) : （ 1） ? =0， 1|)0(| 2?jHa ，對全部 cN （ 2） c??? ，21|)(H| 2??ja，對全部 N，這意味著在 c? 有 3dB 衰減?，F(xiàn)在選取位于左半 面或位于 ?j軸的 )()( sHsH aa ? 零極點作為 )(sHa 的零點。 相對線性標(biāo)尺 設(shè) 4H （ j? ）是某個模擬濾波器的頻率響應(yīng)，那么低通濾波器在幅度平方響應(yīng)上的技術(shù)指標(biāo)給出為 ||.1|)(H|0||,1H1222211 2?????????????Ajjapa ）（? （ ） 式中 e 是通帶波紋參數(shù)， p? 是通帶截止頻率以 rad/s（弧度 /秒）計， A是阻帶衰減參數(shù)，以及 e? 是阻帶截止頻率以 rad/s 計。 這些途徑存在的主要問題是在 IIR 濾波器的相位特性上沒有一點控設(shè)計模擬低通濾波器 實行頻帶交換 S S 實行濾波器交換 S Z 設(shè)計模擬 低通濾波器 實行濾波器變換 S Z 實行頻帶交換 Z Z 4 制能力，因此 IIR 濾波器設(shè)計將僅作為幅度設(shè)計對 待。 因此， IIR 濾波器設(shè)計的基本方法是利用復(fù)值映射將大家熟知的模擬濾波器變?yōu)閿?shù)字濾波器。 13 MATLAB 實現(xiàn) 2 第 8 章