【正文】 0 %Calculation of Frequency Response。Attn=10^(As/20)。 Ws=*pi 。 Pha=angle(H)。Modified version % %[db,mag,pha,W]=fewqs_m(b,a,wmax)。這個函數(shù)與早先討論過的freqz_m 函 數(shù)是類似的。 Fprintf(‘\n***Butterworth Filter Order =%\n’,N) Omegac=Wp/((10^(Rp/10)1) ^(1/(2*N)))。 15 %b=numerator coefficient of Ha(s) %a=Denominaror coefficients of Ha(s) %Wp=passband edge frequency in rad/sec。這個函數(shù)利用（ ）式。為了在 p? 精確滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ????pRpc N 或者在 c? 精確地滿足指標(biāo)要求，可以 )110(2 10/ ???? sRsc N 14 例題 設(shè)計一個滿足下面要求的低通巴特沃茲濾波器； 同帶截止頻率 ???p ；通帶 波紋 dBRp 7? 阻帶截止頻率 ???s ；阻帶波紋 dBAs 16? 題解 由（ 式） 3][])(2 )]110/()110l og [([ ????? ??N 為了準(zhǔn)確在 p? 滿足指標(biāo)要求。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B=0 0 1 A= 0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― 這個級聯(lián)型的系數(shù)與例題 是相同的。 % %Denominator secondordersections： P=cplxpair(roots(a))； K=floor(Ka/2)； If k*2==Na %Computation when Na is even A=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Na Arow=p(n： 1： n+1，： )； Arow=poly(Arow)； A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End Else if NA==1 % Computation when Na=1 A=[0， real(poly(p))]； Else %putation when Na is odd and 1 A=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Arow=p(n： 1： n+1)； Arow=poly(Arow)； 12 A(fix((n+1)/2))=real(Arow)； End A= (K+1， )； =[0， real(poly(p(Na)))] End %Numerator secondordersections： z=cplxpair(roots(b))； K=floor(Nb/2)； If Nb==0 %Computation when Nb=0 B=zeros(K， 3)； For n=1： 2： Nb Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End Else %putation when Nb is odd and 1 B=zeros(K+1， 3)； For n=1： 2： 2*k Brow=z(n： 1： n+1，： )； Brow=poly(Brow)； B(fix((n+1)/2)，： )=real(Brow)； End B(K+1，： )=[0real(poly(z(Nb)))]； End 例題 設(shè)計一個 ??c 由例題 給出的三階巴特沃茲模擬原型濾波器。 b=b/b0。 Function[c,b,a]=sdir2cas(b,a)。 上面函數(shù)提供了一種直接型（或分子 分母型）結(jié)構(gòu)。 % b=numerator polynomial coefficients of Ha(s) % a=denominator poltnomial coefficients of Ha(s) % N=Order of the Butterworth Filter %Omegac=Cutpff frequency in radians/sec %omegac=cutoff frequency in radians/sec % [z,p,k]=buttap(N)。這意味著必須將這個歸一化濾波器的數(shù)組 P 倍乘以 c? ，而增益 K 倍乘以 Nc? 。 9 圖 巴特沃茲濾波器的極點圖 通過選取在左 半面的極點就能給出一個穩(wěn)定和因果的 )(sHa ，并且能將 )(sHa 寫成 )()( kNpslfea sH???? （ ） 例題 已知6641 1)( ????jH a，求該模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) )(sHa 。 （ 3）對 N 為偶數(shù)，極點給出為 12... ,1,0,)2( ???? ? Nkp NkNjek ?? 。 (4)} 2|)(| ?jHa 隨 N ?? 向一個理想低通濾波器趨近。一個 N 階低通濾波器的幅度平方響應(yīng)給出為 Nca jH 22 )_(11|)(|?????? （ ） 式中 N 是濾波器的階， c? (rad/s)是截止頻率。 7 圖 典型的 )()(a sHs ?? 零極點圖 原型模擬濾波器特性 IIR 濾波器設(shè)汁方法依賴于已有的模擬濾波器得到數(shù)字濾波器，我們將這些模擬濾波器稱作原型揀波器。因此將 )()( sHsH aa ? 的全部左半面的極點賦予 )(sHa ，然而， )(sHa 的零極點可位于 s 平面的任何地方。 5 由圖可見， 2a )(H ?j 必需滿足 sappaAjHjH???????????,1|)(|,1 1|)(|2222? （ ） 參數(shù) ? 和 A 是分別與以 dB 計的參數(shù) ep AR和 有關(guān)系的，這些關(guān)系是 10/R101 1l og10 210 pPR ????? ?? （ ） 和 20/210 101log10 AAAA ????? （ ） 波紋 1? 和 2? 的絕對標(biāo)尺是通過下列式與 ? 和 A有關(guān)系的 ： 12 1211 11 111 ?????? ??????? 和 2112 111 ? ??? ????? AA 6 2|)(| ?jHa 性質(zhì) 利用幅度平方響應(yīng)給出的模擬濾波器要求（ ）式不包括任何相位信息。 某些預(yù)備知識 這一節(jié)要討論兩個基 本的問題，第一是要考慮幅度水平響應(yīng)的技術(shù)指標(biāo)要求，這些模擬（從而在 IIR）濾波器中是更為典型的，而這些技術(shù)要求都是在相對線性標(biāo)尺上給出的。 首先討論模擬濾波器的設(shè)計指標(biāo)以及在標(biāo)定模擬濾波器的技術(shù)要求中所使用到的幅度水平響應(yīng)的性質(zhì)。這些 MATLAB 函數(shù)的直接使用并沒有給出有關(guān)任何設(shè)計方法的細(xì)節(jié)，因此，將研究第 2 種途徑，因為它涉及數(shù)字域的頻帶變換，這樣沒在這種 IIR 濾波器設(shè)計方法將按下列步驟進(jìn)行： （ 1） 設(shè)計模擬低通濾波器 （ 2） 研究并實行濾波器變換以得到數(shù)字低通濾波器。這個基本方法稱為 A/D（模擬 數(shù)字）濾波器變換。 34 致謝 28 濾波器階次 N 的計算 17 MATLAB 實現(xiàn) 14 切比雪夫低通濾波器 4 相對線性標(biāo)尺 1 目錄 IIR濾波器設(shè)計時的階數(shù)不是由設(shè)計者指定，而是根據(jù)設(shè)計者輸入的各個濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設(shè)計出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。 1 摘要 主要是介紹的 IIR 濾波器 。 在 MATLAB 下設(shè)計 IIR 濾波器可使用 Butterworth 函數(shù)設(shè)計出巴特沃 茲 濾波器，使用 Cheby1函數(shù)設(shè)計出 切 比雪夫 I型濾波器，使用 Cheby2設(shè)計出契比雪夫 II 型濾波器，使用 ellipord 函數(shù)設(shè)計出橢圓濾波器。 3 某些預(yù)備知識 7 MATLAB 實現(xiàn) 20 MATLAB 實現(xiàn) 24 橢圓低通濾波器 28 MATLAB 實現(xiàn) 33 設(shè)計步驟 這一方法的優(yōu)勢在于各種模擬濾波器的設(shè)計（ AFD）表格和映射在文獻(xiàn)中普遍都能獲得。這種 IIR 濾波器設(shè)計的基本方法存在兩種途徑： 途徑 1 期望的 IIR 濾波器 途徑 2 期望的 IIR 濾波器 在 MATLAB 中采用第 1 種途徑設(shè)計 IIR 濾波器。能夠同時在幅度和相位響應(yīng)上進(jìn)行逼近的一些更改復(fù)雜的方法需要先進(jìn)的優(yōu)化工具，從而不再本書的覆蓋范圍之內(nèi)。最后，對 FIR 和 IIR 數(shù)字濾波器的比較和性能評價做一討論作為本章結(jié)束。這些參數(shù)如圖 所示?？偸且獙?(sHa 表示為一個因果和穩(wěn)定的濾波器，那么 )(sHa 的全部極點都必須位于 s平面的左半面。這樣所得到的濾波器稱為最小相位濾波器。 巴特沃茲低通濾波器 這個濾波器是用這個性質(zhì)表征的 :它的幅度響應(yīng)在通帶和 阻帶都是平坦的。 (3) 2|)(| ?jHa 是 ? 的單調(diào)下降的函數(shù)。 （ 2）對 N 為奇數(shù)，極點給出為 12... ,1,0,)12(2 ???? ? Nkp kr nNrjek 。 作為一個例子，三階和四階巴特沃茲濾波器的極點分布如圖（ ）所示。從例題 可見不存在零點，而非歸一化濾波器的極點是位于半徑為 c? 的圓上而不是在單位圓上。 %unnormalized Butterworth Analog Lovpass Filter Prototype % %［ b,a］ =U_buttap(N,omegac)。 a=real(poly(P))。下面的 sdir2cas 函數(shù)描述了適用于模擬濾波器的這一過程。 %pite gaom coefficient C B0=b(1)。 C=b0/a0。 [b,a]=u_buttap(N,Omegac)。因為想要 N 是一個整數(shù)，就必須選 ])/(l og2 )]110/()110[(l og[1010/10 10/spAR spN?? ??? （ ） 這里運算符 [x]意思是“選比 x 大的最小整數(shù)”，例如 []=選的 N 都比要求 的大，因此技術(shù)指標(biāo)上在 p? 或 s? 在上都能滿足或超過一些。利用U_buttap 函數(shù)，提供了 afd_butt 函數(shù)利用于設(shè)計一個給定技術(shù)指標(biāo)得模擬巴特沃茲低通濾波器。 Butterworth % %[b,a]=afd_butt(Wp,Ws,Hp,As)。(As0) % If Wp=0 Error(‘passband edge must be larger tgan 0’) End If Ws=Wp Error(‘Stopband edge must be larger than passband edge ‘) End If(Rp=0) | (As0) Error(‘PB ripple and/or SB attouuation us be larg