【正文】 ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0’) 31 End Ep =sqrt(10?(Rp/10)1)。 K1=ep/sqrt(A*A1)。 Fprintf(‘\n***Elliptic Filter Oder =% \n’,N) [b,a]=U_elipap(N,)。 As=16。 [b,a]=afd_elip(WP,Ws,Rp,As)。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 圖 例題 橢圓模擬低通濾波器 （ a）幅度響應(yīng)；（ b）幅度（ dB）；（ c）相位響應(yīng)；（ d）脈沖響應(yīng) 原型濾波器的相位響應(yīng) 橢圓濾波器在幅度平方響應(yīng)上提供了最優(yōu)先性能，但是在通帶內(nèi)具有高的非線性相位響應(yīng)（在許多應(yīng)用中這是不希望的）：盡管在設(shè)計中沒有 關(guān)心相位響應(yīng)，但是在整個系統(tǒng)中相位仍然是一個重要的問題，在性能方面的另一種極端式巴特沃茲濾波器，它具有最大平坦的幅度響應(yīng)，并要求有更高的階次 N（更多的極點）以達到相同的阻帶衰減。這個選取既決定于濾波器的階次（它影響處理速度和實現(xiàn)復(fù)雜性），也取決于相位特性（它控制著失真大?。Ｈ绻麖哪M到數(shù)字濾波器我們想要保留脈沖響應(yīng)的形狀，那么就得到一種稱為脈沖響應(yīng)不變的方法。在實際中采用的最為普遍的方法式雙向性變換發(fā)，它保留的是從模擬到數(shù)字域的系統(tǒng)函數(shù)表示。因為這是一種采用運算，所以模擬和數(shù)字頻率有下列聯(lián)系： T??? 和 Tjj ee ??? 由于 z= ?je 是在單位圓上， s= ?j 是在虛軸上，所以有下面從 s 平面到 z平面的變換 cTez? （ ） 系統(tǒng)函數(shù) )(zH 和 )(sHa 是經(jīng)由頻域混疊公式（ ）式聯(lián) 系的： )2(1)( kTjsHTzH k a ??? ????? 在（ ）式的映射關(guān)系下，復(fù)平面的變換如圖 所示。不過，沒有一個有限階的模擬濾波器是真正帶限。 （ 3） 利用部分分式展開，將 )(sHa 展開為 ?? ?? Nk kka ps RsH 1)( （ ） （ 4） 現(xiàn)將模擬極點 kp 變換為數(shù)字極點 Tpke ，得到數(shù)字濾波器 ?? ??? Nk Tp k zkeRzH 1 11)( （ ） 例題 用 T=，采用脈沖響應(yīng)不變法將 65 1)( 2 ?? ?? ss ssH a 變換為數(shù)字濾波器 H（ z）。然后用（ ）式將每個模擬極點映射為一個數(shù)字極點，最后能用 residuez函數(shù)將轉(zhuǎn)換為有理函數(shù)形式。 [b,a]=residuez(R,P,K)。 題解 MATLAB 腳本 c=[1,i]。圖 中展示出模擬濾波器和所得數(shù)字濾波器的脈沖（沖激） 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ a）脈沖響應(yīng) 37 圖 例題 中的脈沖與頻率響應(yīng)圖 （ b）幅度響應(yīng) 響應(yīng)和幅度響應(yīng)（對采樣間斷 1/T 畫出的）。 Wp=*pi。 %Stopband attenuation in dB %Analog prototype Specifications。 %prototypeStopband freq %Analog Butterworth Prototype Filter Calculation。 [C,B,A]=dir2par(b,a) C= [] 38 B= A= 這個期望的濾波器是一個六階巴特沃茲濾波器，它的系統(tǒng)函數(shù)以并聯(lián)型給出為 211211 )(?????? ?? ????? ?? zz zzz zzH 21 ????? ?? zz z 頻率響應(yīng)圖如圖 所示。 ***Butterworth Filter Oder=6 % Impulse Invariance transformation。 %Set T=1 OmegaP=wp/T。 %digital Stopband freq in rad Rp=1。 下面幾個例子對全部三種原型濾波器說明脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計 過程。T=。 a=real(a’)’ 在 MATLAB 新的學(xué)生版本中可以獲得一個稱為 Impinvar 的類似函數(shù)。 Function [b,a]=imp_invr(c,d,T) %Implse Invariance Transformation from Analog to Digital Filter 36 % %[b,a]= imp_invr(c,d,T) % b=Numerator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % a=Denominator polynomial in z＾ (1) of the digital filter % c= Numerator polynomial in s of the analog filter % d= Denominator polynomial in s of the analog filter % T=sampling (transfromation)parameter % [R,p,K]=residue (c,d)。那么，由（ ）式并用 T= 得出 2111213 89 11 2)( ??????? ?? ?????? zz zzezezH TT 很容易建立一個 MATLAB 函數(shù)用于實現(xiàn)這個脈沖響應(yīng)不變法的映射。 設(shè)計步驟 已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計要求 psp R,?? 和 sA ，想要通過首先設(shè)計一個等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來確定 )(zH 對這個過程所要求的步驟是： （ 1） 選取 T 來確定模擬頻率 35 Tpp ???和Tss ??? （ 2） 利用設(shè)計參數(shù) , psp R?? 和 sA 設(shè)計一個模擬濾波器 )(sHa 。 （ 3） 由于 s 平面的整個左半面都是映射到單位圓內(nèi)，所以一個因果面穩(wěn)定的模擬濾波器映射為一個因果而而穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。 脈沖響應(yīng)不變變換 在這種設(shè)計方法中，我們想要這個數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)看起來域一個頻率選擇性模擬濾波器的沖激響應(yīng)是“相似”的。很多其它的方法也都是可能的。這些變換都是復(fù)制映射，并在文獻中廣泛研究過。切比雪夫濾波器具有的相位特性位于上面兩種濾波器的兩者之間。 [ha,x,t]=impulse(b,a)。 [C,B,A]=sdir2cas(b,a) C= B= 0 A= 0 %Ca。 Attn=10?(As/20)。 Ws=*pi。 % Version code Capk1 =ellipke([(k1 .? 2) (1k..?2)])。 Omegac=Wp。 Ws Wp0 %Rp=passband ripple in +dB。 %Analog Lowpass Filter Design。 b=k*b。 b=real(poly(z))。 b=real(poly(z))。 A=real(poly(0))。 %Unnormalized Elliptic Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]=u_elipap(N, pR ,As,omegac)。我們需要一個具有任意 c? 的非歸一化橢圓濾波器。對于奇數(shù)和偶數(shù) N 的典型響應(yīng)如下圖所示。 橢圓濾波器的幅度平方響應(yīng)給出為 )(11|)(|222cNa UjH????? ? （ ） 這里 N 是階次，是通帶波紋（它與有關(guān)）和（ 它們在幅度響應(yīng)特性上與 FIR 等波紋濾波器是一類似的。 [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,*pi)。 %analog filter design。 Rp=1。 N=ceil(lig10(g+sqrt(g*g1))/log10(OmegaR+sqrt(omegaR*OmegaR1)))。 A=10?(As/20)。 Wp0 %Ws=stopband edge frequenc in rad/sec。 Function [b,a]=afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)。 b0=k。 z=z*Omegac。 aNu=a(N+1)。 A=real(ply(p))。 Function[b,a]=U_chb2ap(N,As,Omegac)。這可以將歸一化濾波器的數(shù)組 P倍乘以 c? 來完成。這意味著這個濾波器在 S 平面有極點也有零點，因此在通帶內(nèi)群式時延特性比切比雪夫Ⅰ原型濾波器要好一些（相位響應(yīng)更為線性）。 % Calculation of Impulse response。 [b,a]=afd_chbl(Wp,Ws,Rp,As)。 As=16。 例題 利用 MATLAB 設(shè)計例題 中給出的模擬切比雪夫Ⅰ型低通濾波器。 Omegar=Ws/Wp。(Rp0) %As=Stopband attenuation in +dB。 %b=Numerator coefficients of Ha(s)。這個函數(shù)給出如下，并利用在例題 中所描述 的過程。 b0=k。 And=a(N+1)。 %Unnormalized chebyshev1 Analog Lowpass Filter Prototype % %[b,a]= u_chblap(N,Rp,Omegac)?，F(xiàn)在這個系統(tǒng)函數(shù)給出為 )()( ka psksH ?? ? （ ） 式中 K 是某個歸一化因子，選擇成 ??????? 　?。螢榕紨?shù)　　　　?。螢槠鏀?shù)211,1)0(?jH a （ ） MATLAB 實現(xiàn) MATLAB 提供了一個稱為 [z,p,k]=cheblap（ N， pR ） 的函數(shù)用于設(shè)計一個 N 階和通帶波紋為 pR 的歸一化切比雪夫Ⅰ型模擬 原型濾波器，并得到在數(shù)組 z 中的零點，數(shù)組 P 中的極點和增益值 k。 （ 4） 對 x1（或 ? c? ） , 2|)(| jxHa 單調(diào)下降到零 （ 5） 在 x= c? ， 2|)(| jxHa =21A。根據(jù)這兩種相應(yīng)的圖可看出下面幾個性質(zhì)： （ 1） 在 x=0（或 ? =0）； 1|)0(| 2 ?jH a ， N 為奇數(shù)。因此，切比雪夫濾波器對相同得指標要求來說會比利用巴特沃茲濾波器具有較低得階次 切比雪夫 Ⅰ型濾波器得幅度平方響應(yīng)是 )(11|)(|222cNa TjH????? ? （ ） 這里 N 是濾波器得階，是通帶波紋因子（它與 pR 有關(guān)）以及 )(xTN 是 N階切比雪夫多項式，它為 18 cNxxx xxNxT ???????? ??? ??? ? ? 其中1)),((c os hc os 10)),(c osc os ()( 1 1 正是由于這個多項式 )(xTN 而產(chǎn)生了切比雪夫濾波器得等波紋響應(yīng)。 系統(tǒng)函數(shù)給出 )498 )(248 ( 123 )( ???? sssH sa 這個 )(saH 與例題 的結(jié)果稍有不同，這是因為在例題 中用了c? =，而在 afd_butt 函數(shù)中 c? 是按滿足在 p? 的要求選定的。 [C,B,A]=sdrr2cas(b,a) C= B=0 0 1 A=