【正文】 通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)到它 ！ ——波利亞 主頁(yè) 。 中心對(duì)稱(chēng) : f (ax)+f(a+x)=2b 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)主頁(yè) 要點(diǎn)梳理憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 1． 函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)的定義 設(shè) A， B是非空的 ______， 如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,使對(duì)于集合 A中的 ______一個(gè)數(shù) x， 在集合 B中都有 ________的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng) ， 那么就稱(chēng) f： A→ B為從集合 A到集合 B的一個(gè)函數(shù) ， 記作 ______________. (2)函數(shù)的定義域 、 值域 在函數(shù) y＝ f(x)， x∈ A中 ， x叫做自變量 ， x的取值范圍 A叫做函數(shù)的 _______；與 x的值相對(duì)應(yīng)的 y值叫做函數(shù)值 ， 函數(shù)值的集合 {f(x)|x∈ A}叫做函數(shù)的 ______． 顯然 ， 值域是集合 B的子集 ． (3)函數(shù)的三要素： ________、 ______和 ___________． (4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的 _________和 __________完全一致 ， 則這兩個(gè)函數(shù)相等 ， 這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù) ． 數(shù)集 任意 唯一確定 y＝ f(x)， x∈ A 定義域 值域 定義域 值域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 定義域 對(duì)應(yīng)關(guān)系 主頁(yè) 要點(diǎn)梳理憶 一 憶 知 識(shí) 要 點(diǎn) 2．函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有 :______、 ______、 _______. 3．映射的概念 設(shè) A, B是兩個(gè)非空集合 ,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)元素 x，在集合 B 中 _________確定的元素 y與之對(duì)應(yīng) ,那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f :A→ B為從集合 A到集合 B的 _________． 4．函數(shù)與映射的關(guān)系 由映射的定義可以看出，映射是 _____概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合 A，B必須是 __________． 解析法 圖象法 列表法 都有唯一 一個(gè)映射 函數(shù) 非空數(shù)集 主頁(yè) 題號(hào) 答案 1 2 3 4 ① ②1 1 0?基礎(chǔ)自測(cè)或2 13 ?51{ 2, , 1 , }22??主頁(yè) 題 型 一函數(shù)的概念及應(yīng)用 【例 1 】 有以下判斷： ( 1) f ( x ) ＝| x |x與 g ( x ) ＝????? 1 ， ? x ≥ 0 ?－ 1 ， ? x 0 ?表示同一函數(shù)； ( 2) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象與直線 x ＝ 1 的交點(diǎn)最多有 1 個(gè)； ( 3) f ( x ) ＝ x2－ 2 x ＋ 1 與 g ( t ) ＝ t2－ 2 t ＋ 1 是同一函數(shù)； ( 4) 若 f ( x ) ＝ | x － 1| － | x | ，則1( ( ) ) 02ff ?. 其中正確判斷的序號(hào)是 ___ _____ ． 對(duì)于 (1),函數(shù) f(x),g(x)的定義域分別為 {x|x∈ R且x≠0}, R. 所以二者不是同一函數(shù)； 對(duì)于 (3)， f(x)與 g(t)的定義域 、 值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同 , 所以 f(x)和 g(t)表示同一函數(shù)； 主頁(yè) 題 型 一函數(shù)的概念及應(yīng)用 探究提高對(duì)于 ( 2) ， 函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象與直線 x ＝ 1 最多有一個(gè)交點(diǎn)； 對(duì)于 ( 4) ，由于 1 1 1( ) | 1 | | | 02 2 2f ? ? ? ?, 所以 1( ( ) ) ( 0 ) 1 .2f f f?? 函數(shù)的三要素是：定義域 、 值域 、 對(duì)應(yīng)關(guān)系 ． 這三要素不是獨(dú)立的 ， 值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定；因此當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù) ． 特別值得說(shuō)明的是 ， 對(duì)應(yīng)關(guān)系是就效果而言的 (判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同 ， 只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值 ， 按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同 )不是指形式上的 ． 即對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同 ， 不能只看外形 ， 要看本質(zhì)；若是用解析式表示的 ， 要看化簡(jiǎn)后的形式才能正確判斷 ． 對(duì)于 ( 2) ， 函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖象與直線 x ＝ 1 最多有一個(gè)交點(diǎn)； 對(duì)于 ( 4) ，由于 1 1 1( ) | 1 | | | 02 2 2f ? ? ? ?, 所以 1( ( ) ) ( 0 ) 1 .2f f f?? 綜上可知 , 正確的判斷是 (2), (3)． 答案 (2) (3) 主頁(yè) 變式訓(xùn)練 1試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： ( 1) y ＝ 1 ， y ＝ x0； ( 2) y ＝ x － 2 冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù) 函 數(shù) 常見(jiàn)函數(shù)模型 冪、指、對(duì)函數(shù)模型； 分段函數(shù)； 對(duì)勾函數(shù)模型 軸對(duì)稱(chēng)： f (ax)=f(a+x)。 山東） 設(shè)函數(shù) 的值為（ ） ≤221 , 1 ,()2 , 1 ,xxfxx x x? ?? ?? ? ??))(( 21ff則189816271615 . ?.)(,)(16156114142 ????? ff走進(jìn)高考A 主頁(yè) C 2.（ 2020 x ＋ 2 的定義域?yàn)?{ x | x ≥ 2} ． y ＝ x2－ 4 的定義域?yàn)?{ x | x ≥ 2 或 x ≤ － 2} ， ∴ 它們不是同一函數(shù)． 主頁(yè) ( 3) y ＝ x ， y ＝ 3 3t ＝ t ， 它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同， ∴ 它們是同一函數(shù)． ( 4) y ＝ | x |的定義域?yàn)?R ， y ＝ ( x )2的定義域?yàn)?{ x | x ≥ 0} ， ∴ 它們不是同一函數(shù)． ( 3) y ＝ x ， y ＝ 3 3t ＝ t， 它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同， ∴ 它們是同一函數(shù)． ( 4) y ＝ | x |的定義域?yàn)?R ， y ＝ ( x )2的定義域?yàn)?{ x | x ≥ 0} ， ∴ 它們不是同一函數(shù)． 主頁(yè) 題 型 二函 數(shù) 與 映 射 【 例 2】 (課本改編題 )下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合 P上的函數(shù)的是 _____. (1)P＝ Z， Q＝ N*，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：對(duì)集合 P中的元素取絕對(duì) 值與集合 Q中的元素相對(duì)應(yīng)； (2)P＝ {－ 1,1,－ 2, 2}， Q＝ {1, 4}，對(duì)應(yīng)關(guān)系： f： x→ y＝ x2, x∈ P， y∈ Q； (3)P＝ {三角形 }， Q＝ {x|x0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：對(duì) P中三角形 求面積與集合 Q中元素對(duì)應(yīng)． ( 2 ) (1)中集合 P中元素 0在集合 Q中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素， (3)中集合 P不是數(shù)集， 所以 (1)和 (3)都不是集合 P上的函數(shù) . 函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng) ， 要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系 ， 只需要檢驗(yàn)： ① 定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；② 根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ， 自變量在其定義域中的每一個(gè)值 ， 是否都有唯一確定的函數(shù)值 ． 探究提高主頁(yè) 變式訓(xùn)練 2 ( 1) 已知 a ， b 為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合 M ＝ { a2－ 4 a , －1} , N ＝ { b2－ 4 b ＋ 1 , － 2} ， f ： x → x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍為 x , 則 a ＋ b 等于 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 由已知可得 M ＝ N ，故????? a 2 － 4 a ＝－ 2 ，b 2 － 4 b ＋ 1 ＝－ 1 ?????? a 2 － 4 a ＋ 2 ＝ 0 ，b 2 － 4 b ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 a ， b 是方程 x 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 的兩根，故 a ＋ b ＝ 4. 由已知可得 M ＝ N ，故????? a2 － 4 a ＝－ 2 ，b 2 － 4 b ＋ 1 ＝－ 1 ?????? a2 － 4 a ＋ 2 ＝ 0 ，b 2 － 4 b ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 a ， b 是方程 x 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 的兩根，故 a ＋ b ＝ 4. 由已知可得 M ＝ N ，故 ????? a2 － 4 a ＝－ 2 ，b 2 － 4 b ＋ 1 ＝－ 1 ? ????? a2 － 4 a ＋ 2 ＝ 0 ，b 2 － 4 b ＋ 2 ＝ 0 ， 所以 a ， b 是方程 x 2 － 4 x ＋ 2 ＝ 0 的兩根，故 a ＋ b ＝ 4. ? ? ?D 主頁(yè) 變式訓(xùn)練 2A (2)已知映射 f： A→ A＝ B＝ R，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f：x→ y＝－ x2＋ 2x，對(duì)于實(shí)數(shù) k∈ B，在集合 A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則 k的取值范圍是 ( ) A． k1 B． k≥1 C． k1 D． k≤1 由題意知 ,方程－ x2＋ 2x＝ k無(wú)實(shí)數(shù)根， 即 x2－ 2x＋ k＝ 0無(wú)實(shí)數(shù)根． ∴ Δ＝ 4(1－ k)0， ∴ k1時(shí)滿足題意． 主頁(yè) 題 型 三函數(shù)的表示方法 【 例 3】 如圖 ， 有一直角墻角 ， 兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng) ,在 P處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別是 a m (0a12)、 4 m,不考慮樹(shù)的粗細(xì) ． 現(xiàn)在想用 16 m長(zhǎng)的籬笆 ， 借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃 S m2， S的最大值為 f(a)， 若將這棵樹(shù)圍在花圃?xún)?nèi) ， 則函數(shù) u＝ f(a)的圖象大致是 ( ) C 主頁(yè) 題 型 三函數(shù)的表示方法 設(shè) AD ＝ x ， DC ＝ y ，則 x ＋ y ＝ 16 ， S ＝ xy ＝ x ( 16 － x ) ＝－ ( x － 8) 2 ＋ 64 ( x ≥ a ) ． 當(dāng) 0 a ≤ 8 時(shí)， x ＝ 8 使 S 取得最大值，且 f ( a ) ＝ 64 ； 當(dāng) 8 a 12 時(shí)， x ＝ a 使 S 取得最大值， 且 f ( a ) ＝－ ( a － 8) 2 ＋ 64 是一個(gè)在區(qū)間 ( 8,12 ) 上單調(diào)遞減的函數(shù)， 但始終有 f ( a ) 0. 故只有 C 圖象符合．故選 C. 當(dāng) a≤8時(shí) ， 面積的最大值為定值；當(dāng) 8a12時(shí) ， 面積的最大值是一個(gè)以 a為自變量的二次函數(shù) ， 且在區(qū)間 (8, 12)上是遞減的 . 分類(lèi)討論思想是解決本題的關(guān)鍵 ． 探究提高解 : 設(shè) AD ＝ x ， DC ＝ y ，則 x ＋ y ＝ 16 ， S ＝ xy ＝ x ( 1 6 － x ) ＝－ ( x － 8) 2 ＋ 64 ( x ≥ a ) ． 當(dāng) 0 a ≤ 8 時(shí)， x ＝ 8 使 S 取得最大值，且 f ( a ) ＝ 64 ； 當(dāng) 8 a 12 時(shí)，