【正文】 教研中心 第 461頁 ■ 電子教案 LTI系統(tǒng)的頻域分析 對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。(t) + 2y(t) = f(t) 求 f(t) = etε(t)時的響應 y(t)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 467頁 ■ 電子教案 LTI系統(tǒng)的頻域分析 系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng) h(t)， H(j?)的要求是： (a)對 h(t)的要求 ： h(t)=K?(t – td) (b)對 H(j?)的要求 ： H(j?)=Y(j?)/F(j?)=Kej?td 即 ?H(j?)?=K ,θ (?)= – ?td K|H (jω )|θ (ω )ω0 上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)?理想 條件。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 470頁 ■ 電子教案 LTI系統(tǒng)的頻域分析 (2)階躍響應 g(t)=h(t)*?(t)= ??? ?????? d)( )](sin[d)(dcdct cttth??? ??????經(jīng)推導，可得 ? ??? )(0 sin121)( dc tt dxx xtg ??xx xy y dsin)Si( 0??稱為正弦積分 )](Si[121)( dC tttg ??? ??1t dCdt???g (t)0t特點 ：有明顯失真，只要 ?c∞，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約 9%。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 474頁 ■ 電子教案 取樣定理 沖激取樣 若 s(t)是周期為 Ts的沖激函數(shù)序列 ?Ts(t),則稱為 沖激取樣 。 由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) ?? ???????????nssns nTtnTfnTt )()()( ??H(j?) ←→ h(t) = )( tSaT ccS ???為方便，選 ωC = ,則 TsωC /π=1 信號與系統(tǒng) 169。 P191 一個在時域區(qū)間（ tm,tm)以外為 0的 時限信號 f(t)的頻譜函數(shù) F(j?)，可唯一地由其在均勻頻率間隔 fs[fs1/(2tm)]上的樣值點 F(jn?s)確定。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 478頁 ■ 電子教案 通常把最低允許的取樣頻率 fs=2fm稱為 奈奎斯特（ Nyquist)頻率 ，把最大允許的取樣間隔 Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 476頁 ■ 電子教案 取樣定理 二、時域取樣定理 當 ωS ≥2 ωm 時，將取樣信號通過下面的低通濾波器 ??? ???CCSTjH?????||,0||,)(其截止角頻率 ωC取 ωm ωC ωS ωm 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 473頁 ■ 電子教案 取樣定理 如圖一連續(xù)信號 f(t) f (t)0t用取樣脈沖序列 s(t)(開關(guān)函數(shù) ）進行取樣， 取樣間隔 為 TS， fS =1/TS稱為 取樣頻率 。 信號與系統(tǒng) 169。 理想低通濾波器的頻率響應可寫為： dCdtjCCtjgjH ????????? ?? ????????? e)(,0,e)(2(1)沖激響應 h(t)= ?1[g 2 ?c(?)ej?td] = )](Sa[ dcc tt ????可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。 無失真?zhèn)鬏? （ 1） 定義 ：信號 無失真?zhèn)鬏?是指系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有 幅度的大小 和 出現(xiàn)時間的先后不同 ，而沒有波形上的變化。 (2)由電路直接求出。 ?H(j?)?是 ?的偶函數(shù)， θ (?)是 ?的奇函數(shù)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 457頁 ■ 電子教案 LTI系統(tǒng)的頻域分析 LTI系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 453頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質(zhì) 十、奇偶性 (Parity) If f(t) is real, then ? ???????????? ??? tttfjtttfttfjF tj d)sin()(d)cos()(de)()( ??? ?= R(ω) + jX(ω) )()(|)(| 22 ??? XRjF ?? ?????????)()(arctan)(????RXSo that (1)R(ω)= R(–ω) , X(ω) = – X (–ω) (2) |F(jω)| = |F(– jω)| , ? (ω) = – ?(–ω) (3)(2) If f(t) = f(t) ,then X(ω) = 0, F(jω) = R(ω) (4) If f(t) = f(t) ,then R(ω) = 0, F(jω) = jX(ω) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 448頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質(zhì) For example 3 f (t)2 2 0 t2Determine f (t)←→ F (jω) f 39。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 440頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質(zhì) For example 1 Given that f (t)←→ F( jω), find f (at – b) ←→ ? Ans: f (t – b)←→ e jωb F( jω) f (at – b) ←→ ???????ajFabaj ??e|| 1or f (at) ←→ ?????? ajFa ?|| 1f (at – b) = ?????? ? )(abtaf ???????? ?ajFeabaj ??||1 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 432頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質(zhì) For example F(jω) = ? 0f ( t )t1 11Ans: f (t) = f1(t) – g2(t) f1(t) = 1 ←→ 2πδ(ω) g2(t) ←→ 2Sa(ω) ∴ F(jω) = 2πδ(ω) 2Sa(ω) ‖ 0f 1 ( t )t10g 2 ( t )t1 11 信號與系統(tǒng) 169。直接用定義式不好求解。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 424頁 ■ 電子教案 傅里葉變換 也可簡記為 F(jω) = F [f(t)] f(t) = F –1[F(jω)] 或 f(t) ←→F(jω) F(jω)一般是復函數(shù)，寫為 F(jω) = | F(jω)|e j ?(ω) = R(ω) + jX(ω) 說明 (1)前面推導并未遵循嚴格的數(shù)學步驟。 前已指出當周期 T趨近于無窮大時，譜線間隔 ?趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 421頁 ■ 電子教案 周期信號的頻譜 譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系： (a) T一定， ?變小，此時 ?（譜線間隔）不變。 1，177。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 417頁 ■ 電子教案 周期信號的頻譜 例： 周期信號 f(t) = 試求該周期信號的基波周期 T，基波角頻率 Ω，畫出它的單邊頻譜圖，并求 f(t) 的平均功率。 n≥0時， |Fn| = An/2。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 413頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) ???????? ???1)()(0 ]e[e22 ntnjtnjn nnAA ?? ?? ???????? ???110 ee21ee212 ntjnjnntjnjnnn AAA ?????????10 )cos(2)( n nn tnAAtf ?上式中第三項的 n用 –n代換， A– n=An， ?– n= – ?n， 則上式寫為 ?? ???????? ??110 ee21ee212 ntjnjnntjnjnnn AAA ??令 A0=A0ej?0ej0?t ， ?0=0 ???????ntjnjnnAtf ee21)( ?所以 信號與系統(tǒng) 169。 可見 An是 n的偶函數(shù)， ?n是 n的奇函數(shù)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 48頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 代入，得最小均方誤差（推導過程見教材） 0]d)([1122122 21???? ???njjjttKCttftt?在用正交函數(shù)去近似 f(t)時，所取得項數(shù)越多，即 n越大，則均方誤差越小。 2， …} 是兩組典型的在區(qū)間 (t0， t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。即 A= vx+ vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到 信號 空間，在信號空間找到若干個 相互正交的信號 作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 42頁 ■ 電子教案 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號分解為正交函數(shù) 一、矢量正交與正交分解 時域分析 ，以 沖激函數(shù) 為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而 yf(t) = h(t)*f(t)。故稱為 頻域分析 。 2. 正交函數(shù)集： 若 n個函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當這些函數(shù)在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)滿足 ? ??? ?? ??21 ,0,0d)()( *ttiji jiKjittt ??則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 (t1， t2)的 正交函數(shù)集 。將任一函數(shù) f(t)用這 n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n 如何選擇各系數(shù) Cj使 f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)為最小。 ????1)()(jjj tCtf ?函數(shù) f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和 信號與系統(tǒng) 169。 2 .f(t)為奇函數(shù) ——對稱于原點 an =0，展開為正弦級數(shù)。 1, 177。 周期信號的頻譜 是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將 An~ω和 ?n~ω的關(guān)系分別畫在以 ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為 振幅頻譜圖 和 相位頻譜圖 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 418頁 ■ 電子教案 周期信號的頻譜 ?????? ? 34cos21 ?? t是 f(t)的 [π/4]/[π/12 ]=3次諧波分量； ?????? ? 323cos4 ??是 f(t)的 [π/3]/[π/12 ]=4次諧波分量； 畫出 f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖 ( a ) ( b)oA n12?6?4?3?20A2141ωoω3?3?4?6?12?32 ??n?1 信號與系統(tǒng) 169。 零點為 ?? mn ??2所以 ??mn 2??， m為整數(shù)。幅度減小。令 TFTFjF nTnT ?????? lim/1lim)( ?(單位頻率上的頻譜） 稱 F(jω)為頻譜密度函數(shù)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 426頁 ■ 電子教案 傅里葉變換 3. 門函數(shù) (矩形脈沖 ) ????????