【正文】 ion and Integration in frequency domain) If f (t) ←→ F(jω) then (–jt)n f (t) ←→ F(n)(jω) ? ?????? ??? xjxFtfjttf d)()(1)()0(where ? ???? ??? d)(2 1)0( jFfFor example 1 Determine f (t) = tε(t) ←→ F (jω)=? ????? jt1)()( ???Ans: ?????? ?????????? jtjt1)(dd)(21)(39。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 446頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質 f(t)= 1/t2 ←→? For example 1 Ans: ?jt2)sg n( ?? )sg n(22 ?? ???jt )sgn(1 ??jt ??? )sgn()sgn()(1dd ?????? ?????????? jjtt ||)sgn(1 2 ????? ?????t 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 442頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質 六、卷積性質 (Convolution Property) Convolution in time domain： If f1(t) ←→ F1(jω)， f2(t) ←→ F2(jω) Then f1(t)*f2(t) ←→ F1(jω)F2(jω) Convolution in frequency domain： If f1(t) ←→ F1(jω)， f2(t) ←→ F2(jω) Then f1(t) f2(t) ←→ F1(jω)*F2(jω) ?1 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 438頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質 For example 2 f(t) = cosω0t ←→ F(jω) = ? Ans: tjtjtf 00 e21e21)( ?? ???F(jω) = π[δ(ω+ω0)+ δ(ωω0)] For example 3 Given that f(t) ←→ F(jω) The modulated signal f(t) cosω0t ←→ ? 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 434頁 ■ 電子教案 傅里葉變換的性質 For example F(jω) = ? Ans: f1(t) = g6(t 5) , f2(t) = g2(t 5) g6(t 5) ←→ g2(t 5) ←→ ∴ F(jω) = ?? 5e)3Sa(6 j??? 5e)Sa(2 j???? 5e)]Sa(2)3Sa(6[ j??0f ( t )t2 1214 6 8‖ 0f 1 ( t )t2214 6 8+ 0f 2 ( t )t2214 6 8 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 430頁 ■ 電子教案 傅里葉變換 歸納記憶： 1. F 變換對 2. 常用函數(shù) F 變換對： t域ω域?????? tetfjFtjd)()(??????? tejFtftjd)(21)(???δ(t) ε(t) ???? j1)( ?e ?t ε(t) ???j1gτ(t) ????????2??? Sasgn (t) ?j2e –?|t| 222???? 1 1 2πδ(ω) 信號與系統(tǒng) 169。則可定義 f(t)的傅里葉變換 F (j?)為 )(lim)( tftf nn ??? )(lim)( ?? jFjFnn ???這樣定義的傅里葉變換也稱為 廣義傅里葉變換 。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 425頁 ■ 電子教案 傅里葉變換 二、常用函數(shù)的傅里葉變換 1. 單邊指數(shù)函數(shù) f(t) = e–?tε(t)， ? 0實數(shù) 10 tf ( t )?????????jjtjFtjtjt?????????? ??? 1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù) f(t) = e–??t? , ? 0 10 tf ( t )2200 211deedee)(???????????????????? ??? ?????jjttjFtjttjt 信號與系統(tǒng) 169。 f(t)稱為 F(jω)的 傅里葉反變換 或 原函數(shù) 。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。 信號與系統(tǒng) 169。 (b) ?一定， T增大，間隔 ?減小，頻譜變密?？傏厔轀p小。設 T = 4τ畫圖。 f ( t )t0TT…12??2? tTttfTFtjnTTtjnn de1de)(1 2222?? ? ??? ?? ????22sin??????nnT令 Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)） ?????????nnTjnTtjn )2sin(2e122??? 信號與系統(tǒng) 169。 ?????? ? 34cos21 ?? t的周期 T1 = 8 ?????? ? 323cos41 ??的周期 T2 = 6 所以 f(t)的周期 T = 24，基波角頻率 Ω=2π/T = π/12 根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 3237412121211 22 ??????????????? 信號與系統(tǒng) 169。若 Fn為實數(shù)，也可直接畫 Fn 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 416頁 ■ 電子教案 周期信號的頻譜 周期信號的頻譜及特點 一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種 特征量 隨信號頻率變化的關系，稱為 信號的頻譜 ，所畫出的圖形稱為信號的 頻譜圖 。 信號與系統(tǒng) 169。 )(21)sincos(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n ????? ??? ??? ???? ????? 222222de)(1d)sin ()(1d)cos()(1TTtjnTTTT ttfTttntfTjttntfT???????ntjnnFtf e)( n = 0, 177。 T/2) f ( t )t0 TT/ 2此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式 的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用 指數(shù)形式 的傅里葉級數(shù)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 411頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 二、波形的對稱性與諧波特性 1 .f(t)為偶函數(shù) ——對稱縱坐標 ?? ?? 22d)cos ()(2TTn ttntfTa ???22d)sin ()(2TTn ttntfTbbn =0，展開為余弦級數(shù)。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 410頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) ???????10 )cos(2)( n nn tnAAtf ?式中， A0 = a0 22nnn baA ?? nnn abarctan???上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。此時有 ?????12221d)(jjjttKCttf上式稱為 (Parseval)巴塞瓦爾公式 ，表明：在區(qū)間 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 47頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 為使上式最小 0d)]()([21 122? ????? ???? ttnjjjiittCtfCC ??展開上式中的被積函數(shù)，并求導。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 46頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 三、信號的正交分解 設有 n個函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)在區(qū)間 (t1， t2)構成一個正交函數(shù)空間。 例如 ： 三角函數(shù)集 {1， cos(nΩt)， sin(nΩt)， n=1,2,…} 和虛指數(shù)函數(shù)集 {ejnΩt， n=0，177。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 44頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 二、信號正交與正交函數(shù)集 1. 定義： 定義在 (t1， t2)區(qū)間的兩個函數(shù) ? 1(t)和 ? 2(t),若滿足 ? ?21 0d)()( *21tt ttt ??(兩函數(shù)的內積為 0) 則稱 ? 1(t)和 ? 2(t) 在區(qū)間 (t1， t2)內 正交 。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 43頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 由兩兩正交的矢量組成的矢量集合 稱為 正交矢量集 如三維空間中，以矢量 vx=（ 2， 0， 0）、 vy=（ 0， 2， 0）、 vz=（ 0， 0， 2) 所組成的集合就是一個 正交矢量集 。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是 頻率 。信號與系統(tǒng) 169。 本章將以 正弦信號 和 虛指數(shù)信號 ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列 不同頻率 的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。即 031?? ??iyixiTyx vvVV 信號與系統(tǒng) 169。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 45頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 3. 完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集 {?1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)}之外，不存在函數(shù) φ(t)(≠0）滿足 則稱此函數(shù)集為 完備正交函數(shù)集 。 ? ?21 0d)()(tt i ttt ??( i =1， 2， … ， n) 信號與系統(tǒng) 169。均方誤差為 ttCtftt ttnjjj d])()([1 2121122 ? ????? ?? 信號與系統(tǒng) 169。當 n→∞ 時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。 信號與系統(tǒng) 169。 an = Ancos?n， bn = –Ansin ?n， n=1,2,… 將上式同頻率項合并，可寫為 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 412頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 2)()()( tftftfod???2)()()( tftftfve??3 .f(t)為奇諧函數(shù) ——f(t) = –f(t177。西安電子科技大學電路與系統(tǒng)教研中心 第 414頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 令復數(shù) nnjn FFAnn ?? ?? ee21稱其為 復傅里葉系數(shù) ，簡稱傅里葉系數(shù)。 F0 = A0/2為直流分量。 周期信號一般是功率信號，其平均功率為 信號與系統(tǒng) 169。 也可畫 |Fn|~ω和 ?n~ω的關系，稱為 雙邊譜 。 ?????? ???????? ?? 63sin41324cos211 ???? tt解 首先應用三角公式改寫 f(t)的表達式，即 ?????? ????????? ???? 263cos41324cos211)( ?????? tttf顯然 1是該信號的直流分量。求頻譜。 2， … Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。譜線位置是基頻 Ω的整數(shù)倍； (2)一般具有收斂性。兩零點之間的譜線數(shù)目： ?1/?=（ 2?/?