卡爾曼濾波的直觀推導(dǎo)(存儲(chǔ)版)
【正文】 an濾波問(wèn)題 ? )3. .. .. . ()}()({ ),(,011 1 knnQ knH kvnvE ???? )4. . . . . . ()}()({ ),(,022 2 knnQ knH kvnvE ??? kalman濾波問(wèn)題 ? 還假設(shè)狀態(tài)的初始值 x(0)與 v1(n) 、 v2(n)， n 0均不相關(guān)，并且噪聲向量v1(n)與 v2(n)也不相關(guān)，既有： )5. . .. . . (,0)}()({ 21 knkvnvE H ???新息過(guò)程 ? 考慮一步預(yù)測(cè)問(wèn)題，給定觀測(cè)值 y(1), ...， y(n1)，求觀測(cè)向量y(n)的最小二乘估計(jì)，記作 （ 1）、新息過(guò)程的性質(zhì) y(n)的新息過(guò)程定義為： 式中， N 1向量 表示觀測(cè)數(shù)據(jù) y(n)的新的信息，簡(jiǎn)稱新息。 將新息過(guò)程的計(jì)算公式（ 13）代入式（ 22），不難得出： 這里使用了狀態(tài)向量與觀測(cè)噪聲不相關(guān)的事實(shí)。Kalman濾波器的估計(jì)性能是：它使濾波后的狀態(tài)估計(jì)誤差的相關(guān)矩陣 P(n)的跡最小化。 （ 4）、 kalman濾波算法 將上面推導(dǎo)得到的式 (28)、 (16)、 (13)、 (25)、 (33)和 (32)依次加以歸納，得到基于一步預(yù)測(cè)的 kalman自適應(yīng)濾波算法如下。 )()}()1({)( 1 kRknxEnG Hd e f ??? ?)25.....() .........()()(),1()1( nnGnxnnFnx ????? ??)(),1( nxnnF ?? kalman濾波算法 （ 2）、 kalman增益的計(jì)算 為了完成 kalman自適應(yīng)濾波算法，需要進(jìn)一步推導(dǎo) kalman增益的實(shí)際計(jì)算公式。而 M 1向量 為過(guò)程噪聲向量，它描述狀態(tài)轉(zhuǎn)移中間的加性噪聲或誤差。 ))1() , . . . ,1((?)(? 1 ?? nyynynyd e f)6.() . . . . . . . . .(?)()( 1 nynyn ???? )(n?新息過(guò)程 ? 新息 具有以下性質(zhì)： 性質(zhì) 1 n時(shí)刻的新息 與所有過(guò)去的觀測(cè)數(shù)據(jù)y(1), ...， y(n1)正交，即： 性質(zhì) 2 新息過(guò)程由彼此正交的隨機(jī)向量序列 { } 組成，即有 )(n?)(n?)7. . . . . . . (11,0)}()({ ???? nkkynE H?)8(. . . . . . . . . .11,0)}()({ ???? nkknE H??)(n?新息過(guò)程 性質(zhì) 3 表示觀測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)向量序列 {y(1) ,… y(n)}與表示新息過(guò)程的隨機(jī)向量序列 {a(1),… a(n)} 一一對(duì)應(yīng) ， 即 以上性質(zhì)表明： n時(shí)刻的新息 a(n)是一個(gè)與 n上課之前的觀測(cè)數(shù)據(jù) y(1), ...， y(n1)不相關(guān)，并具有白噪聲性質(zhì)的隨機(jī)過(guò)程，但它卻能夠提供有關(guān) y(n)的新息，這就上信息的內(nèi)在物理含義。進(jìn)一步地，由正交原理引理知，在最小均方誤差準(zhǔn)則下求得的一步預(yù)測(cè)估 與預(yù)測(cè)誤差 e(n,n1)彼此正交，即 )}()1({ knxE H??)(1 nx?)26) .. . .. . . .(()}1,()({),1(})]()1,()()[({),1()}()({),1()()1({
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