35--群的自同構(gòu)群(存儲(chǔ)版)
【正文】 奇數(shù)。 證明 由于循環(huán)群的子群還是循環(huán)群，所以可設(shè)。 證明 只需證明都有，亦即，都有。例如，由例1知，交換群的自同構(gòu)群可以是非交換群，；推論2表明，不同構(gòu)的群它們的自同構(gòu)群可以同構(gòu)。 根據(jù)中心的定義，顯然有。（2）設(shè)與是的任何兩個(gè)自同構(gòu)，則， ， 即有仍是一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)，此表明關(guān)于變換的乘法封閉。（2）求，5階循環(huán)群的自同構(gòu)群。 定理2 （1）無限循環(huán)群的自同構(gòu)群是一個(gè)2階循環(huán)群； （2）階循環(huán)群的自同構(gòu)群是一個(gè)階的群，其中 是歐拉函數(shù)（即小于且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)）。這個(gè)群叫作群的自同構(gòu)群，記作。這表明，全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法封閉。8 群的自同構(gòu)群 給定一個(gè)群，可以有各種方式產(chǎn)生新的群。另外，變換的乘法顯然滿足結(jié)合律，且恒等變換就是單位元，群的定義的第2條也成立。 解 。例如，設(shè)是由生成的循環(huán)群，則當(dāng)是小于且與互素的正整數(shù)時(shí)，也是的生成元，即。證明 由定理2知，這兩種群的自同構(gòu)群都是2階群，2是素?cái)?shù)，所有2階群都彼此同構(gòu)，都與2次單位根群同構(gòu)。令，即，則，由的任意性有，所以。由定理3知，即 ，所以是滿
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