高一數(shù)學(xué)平面向量的概念及線性運(yùn)算(存儲(chǔ)版)
【正文】 量的兩個(gè)要素，兩非零向量 a、 b相等的充要條件應(yīng)是 a，b的方向相同且模相等，向量相等是可傳遞的．兩個(gè)向量不能比較大小，但兩個(gè)向量的?？梢员容^大?。? 向量的線性運(yùn)算 【例 2 】 ( 2 010 年高考全國(guó)卷 Ⅱ ) △ AB C 中 ， 點(diǎn) D 在邊 AB 上 ， CD 平分 ∠ A CB .設(shè) CB ― →＝ a ， CA ― → ＝ b ， | a |＝ 1 ， | b |＝ 2 ， 則 CD ― → 等于 ( ) ( A )13a ＋23b ( B )23a ＋13b ( C )35a ＋45b ( D )45a ＋35b 思路點(diǎn)撥： 畫出圖形 ， 根據(jù)向量的加法 、 減法 、 數(shù)乘的運(yùn)算法則建立未知向量 CD―→與已知向量 a， b的關(guān)系 ． 解析： ∵ CD 平分 ∠ AC B ， ∴ACBC＝ADBD. 又 ∵ CB ― → ＝ a ， CA ― → ＝ b ， | a |＝ 1 ， | b |＝ 2 ， ∴ADBD＝21. ∴ CD ― → ＝ CB ― → ＋ BD ― → ＝ a ＋13BA ― → ＝ a ＋13( CA ― → － CB ― → ) ＝ a ＋13( b － a ) ＝23a ＋13b ， ∴ 選 B. 在向量化簡(jiǎn)或求向量時(shí)要盡可能將涉及的向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中 ， 運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則求解 ． 有時(shí)還應(yīng)充分利用平面幾何的一些性質(zhì)定理 ， 如三角形中的中位線定理 ， 相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的知識(shí) ． 變式探究 21 ： ( 201 0 年山東濟(jì)南模擬 ) 已知平面上不共線的四點(diǎn) O 、 A 、 B 、 C .若 OA ― →－ 3 OB ― → ＋ 2 OC ― → ＝ 0 ， 則 |AB ― → ||BC ― → |等于 __ ___ _ ． 解析： 由已知得， OB ― → － OA ― → ＝ 2 ( OC ― → － OB ― → ) ， ∴ AB ― → ＝ 2 BC ― → ， ∴|AB ― → ||BC ― → |＝ 2. 答案： 2 向量共線與三點(diǎn)共線問題 【 例 3】 設(shè)兩個(gè)非零向量 a與 b不共線 ， (1)若 AB―→ ＝ a＋ b， BC―→ ＝ 2a＋ 8b， CD―→ ＝ 3(a－ b)， 求證： A、 B、 D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù) k， 使 ka＋ b和 a＋ kb共線 ． 思路點(diǎn)撥： 解決點(diǎn)共線或向量共線問題 ， 要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行 ． (1)證明： ∵ AB―→ ＝ a＋ b， BC―→ ＝ 2a＋ 8b， CD―→ ＝ 3(a－ b)， ∴ BD―→ ＝ BC―→ ＋ CD―→ ＝ 2a＋ 8b＋ 3(a－ b) ＝ 2a＋ 8b＋ 3a－ 3b＝ 5(a＋ b)＝ 5AB―→ . ∴ AB―→ 、 BD―→ 共線 ， 又 ∵ 它們有公共點(diǎn) B， ∴ A、 B、 D三點(diǎn)共線 ． (2)解： ∵ ka＋ b與 a＋ kb共線 ， ∴ 存在實(shí)數(shù) λ， 使 ka＋ b＝ λ(a＋ kb)， 即 ka＋ b＝ λa＋ λkb.∴ (k－ λ)a＝ (λk－ 1)b. ∵ a、 b是不共線的兩個(gè)非零向量 ， ∴ k－ λ＝ λk－ 1＝ 0， ∴ k2－ 1＝ 0.∴ k＝ 177。 4. 10 ． 設(shè) a ， b 是不共線的兩個(gè)非零向量 ， 記 OM ― → ＝ m a ， ON ― → ＝ n b ， OP ― → ＝ α a ＋β b ， 其 m ， n ， α ， β 均為實(shí)數(shù) ， m ≠ 0 ， n ≠ 0 ， 若 M 、 P 、 N 三點(diǎn)共線 ， 則 αm ＋ βn ＝ __ __ __ __ . 解析： 若 M 、 N 、 P 三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù) λ ，使得 MP ― → ＝ λ PN ― → ， ∴ OP ― → － OM ― → ＝ λ ( ON ― → － OP ― → ) ， ∴ ( 1 ＋ λ ) OP ― → ＝ OM ― → ＋ λO N ― → ， 即 OP ― → ＝OM ― → ＋ λ O N ― →1 ＋ λ＝m1 ＋ λa ＋λn1 ＋ λb ， ∵ a ， b 不共線， ∴????? α ＝m1 ＋ λβ ＝λn1 ＋ λ， ∴αm＋βn＝11 ＋ λ＋λ1 ＋ λ＝ 1. 答案： 1 返回目錄 備考指南 考點(diǎn)演練 典例研習(xí) 基礎(chǔ)梳理 。2 ， ∴ k ＝ 2 λ ＝ 177。第 1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 59～ 60頁(yè) ) 1． 向量的有關(guān)概念 (
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