高一數(shù)學(xué)平面向量的概念及線性運(yùn)算-全文預(yù)覽
【正文】 b － a ， AE ― → ＝ b －12a ， AC ― → ＝ b － a ， 代入條件得 λ ＝ μ ＝23， ∴ λ ＋ μ ＝43. 答案：43 三 、 解答題 9． 設(shè) a、 b是不共線的兩個(gè)非零向量 ， (1)若 OA―→ ＝ 2a－ b， OB―→ ＝ 3a＋ b， OC―→ ＝ a－ 3b， 求證： A、 B、 C三點(diǎn)共線； (2)若 8a＋ kb與 ka＋ 2b共線 ， 求實(shí)數(shù) k的值 ． ( 1 ) 證明： ∵ AB ― → ＝ ( 3 a ＋ b ) － ( 2 a － b ) ＝ a ＋ 2 b . 而 BC ― → ＝ ( a － 3 b ) － ( 3 a ＋ b ) ＝－ 2 a － 4 b ＝－ 2 AB ― → ， ∴ AB ― → 與 BC ― → 共線 ， 且有公共端點(diǎn) B ， ∴ A 、 B 、 C 三點(diǎn)共線 ． ( 2 ) 解： ∵ 8 a ＋ k b 與 k a ＋ 2 b 共線 ， ∴ 存在實(shí)數(shù) λ 使得 8 a ＋ k b ＝ λ ( k a ＋ 2 b ) ? ( 8 － λk ) a ＋ ( k － 2 λ ) b ＝ 0 ， ∵ a 與 b 是不共線的兩個(gè)非零向量 ， ∴????? 8 － λk ＝ 0 ，k － 2 λ ＝ 0 ，? 8 ＝ 2 λ2? λ ＝ 177。 b|≤|a|＋ |b|， 用這個(gè)不等式可以解決模的最值問題 ． ③ 三角形中線公式：若 A為 △ OBC中 BC邊的中點(diǎn) ， 如圖所示 ， 質(zhì)疑探究 1： 你能給出 |a＋ b|2＋ |a－ b|2＝ 2(|a|2＋ |b|2)(a， b不共線 )的幾何解釋嗎 ？ 提示： 幾何意義是 “ 平行四邊形兩條對角線的平方和等于它的四條邊的平方和 ” ． 4． 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 (1)定義：實(shí)數(shù) λ與向量 a的積是一個(gè)向量 ， 記作 λa， 它的長度與方向規(guī)定如下： ① |λa|＝ |λ||a|； ② 當(dāng) λ＞ 0時(shí) ， λa的方向與 a的方向 相同 ；當(dāng) λ＜ 0時(shí) ， λa的方向與 a的方向 相反 ；當(dāng) λ＝ 0時(shí) ， λa＝ 0. (2)運(yùn)算律 設(shè) λ， μ是兩個(gè)實(shí)數(shù) ， 則 ① λ(μa)＝ (λμ)a； ② (λ＋ μ)a＝ λa＋ μa； ③ λ(a＋ b)＝ λa＋ λb. (3)兩個(gè)向量共線定理： 向量 a(a≠0)與 b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù) λ， 使 b＝ λa. (1)λa的幾何意義就是把 a沿著與 a相同 (λ0)或相反 (λ0)的方向伸長(|λ|1)或縮短 (|λ|1)到原來的 |λ|倍 ． (2)當(dāng)兩個(gè)向量 a、 b不共線時(shí) ， k1a＋ k2b＝ 0的充要條件是 k1＝ k2＝ 0. 1． 給出下列命題： ① 向量 AB―→ 的長度與向量 BA―→ 的長度相等； ② 兩個(gè)非零向量 a與 b平行 ， 則 a與 b的方向相同或相反； ③ 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量 ， 其終點(diǎn)必相同； ④ 兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量 ． 其中不正確命題的個(gè)數(shù)為 ( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析： 對于 ④ ， 在 △ ABC中 ， BA―→ 與 CA―→ 有公共終點(diǎn) A， 但不是共線向量 ， 故④ 錯(cuò) ． ①②③ 正確 ， 故選 A. 2． (2020年高考山東卷 )設(shè) P是 △ ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn) ， BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ，則 ( B ) (A)PA―→ ＋ PB―→ ＝ 0 (B)PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0 (C)PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 (D)PA―→ ＋ PB―→ ＋ PC―→ ＝ 0 解析： 因?yàn)?BC―→ ＋ BA―→ ＝ 2BP―→ ， 所以點(diǎn) P為線段 AC的中點(diǎn) ， 如圖 ，∴ PC―→ ＋ PA―→ ＝ 0， 故選 B. 3． 已知非零向量 a、 b不共線 ， 且 AB―→ ＝ a＋ 2b， BC―→ ＝－ 5a＋ 6b， CD―→ ＝ 7a－ 2b， 則一定共線的三點(diǎn)是 ( A ) (A)A、 B、 D (B)A、 B、 C (C)B、 C、 D (D)A、 C、 D 解析： ∵ BC―→ ＋ CD―→ ＝ 2a＋ 4b＝ 2AB―→ ＝ BD―→ ， ∴ AB―→ 與 BD―→ 共線 ， 又有公共點(diǎn) B， ∴ A、 B、 D三點(diǎn)共線 ， 故選 A. 4． 已知 △ ABC中， AB―→ ＝ a， AC―→ ＝ b，點(diǎn) D在 BC上，且 BD―→ ＝ 3DC―→ ，若用 a、 b表示 AD―→ ，則 AD―→ ＝ ________. 解析： AD ― → ＝ AB ― → ＋ BD ― → ＝ AB ― → ＋34BC ― → ＝ a ＋34( b － a ) ＝14a ＋34b . 答案：14a ＋34b (對應(yīng)學(xué)生用書第 60～ 61頁
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