【正文】 BB1A1的一個法向量． 設(shè)直線 BE 與平面 ABB1A1所成的角為 θ ， 則 s in θ ＝| BE→ED→＝ 0 ，即????? 12y ＋ z ＝ 0 ，－ x ＋12y ＝ 0 ， 不妨令 x ＝ 1 ，可得 u ＝ ( 1,2 ，－ 1) ．由 ( 2 ) 可知， AF→為平面 A1ED 的一個法向量． 于是 c os 〈 u ， AF→〉＝u DE→＝－ 2 x2＋ 1 ＝ 0 ④ 第 13講 │ 要點熱點探究 由 ①②③④ 解得 x1＝－22， y1＝22； x2＝22， y2＝－22， ∴ m ＝??????－22，22， 1 ， n ＝??????22，－22， 1 ， ∴ m | b |. 2 ．直線與平面所成的角 直線與平面所成的角要轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角來解決．但要注意的是這個夾角的余弦值的絕對值與直線與平面所成的角的正弦值相等．如圖所示，設(shè)直線 PA 與平面 α 所成的角是 θ ，平面 α 的法向量為 n ，則有 s in θ ＝ | c os 〈 PA→， n 〉 |＝| PA→ m| n || m |＝33. 所以二面角的余弦值為33， ( 2) 設(shè) FM ＝ x ，則 M (4 ＋ x, 0,0) ， 因為翻折后， C 與 A 重合，所以 CM ＝ A ′ M ， 故， (6 － x )2＋ 82＋ 02＝ ( － 2 － x )2＋ 22＋ (2 2 )2，得 x ＝214， 經(jīng)檢驗，此時點 N 在線段 BC 上，所以 FM ＝214. 【點評】 處理平面圖形的折疊或翻折問題要注意分析折疊前后各幾何元素的變 化情況，弄清折疊后空間圖形各元素之間的 關(guān)系，還要作出折前的平面圖與折后直觀圖，從而結(jié)合圖形尋找突破． 第 12講 │ 要點熱點探究 如圖 4 － 12 － 4 ( 1) ，直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， ∠ ABC ＝ 90176。 2 角．求水晶球 的球心到支架頂點 P 的距離． 圖 4－ 11－ 4 第 11講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1 ) 設(shè) AB 、 AC 、 AD 的長分別為 a ， b ， c ，則????????? 12ab ＝22，12bc ＝32，12ac ＝62，解得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1 ，c ＝ 3 ， 因側(cè)棱 AB 、 AC 、 AD 兩兩垂直， 故 以 AB 、 AC 、 AD為棱的長方體必為三棱錐 A － BCD 的外接球的內(nèi)接長方體，此時球直徑為長方體的對角線，故球直徑為 a2＋ b2＋ c2＝ 6 ，球半徑為62，故球體積為 V ＝43π????????623＝ 6 π. 第 11講 │ 要點熱點探究 ( 2) 設(shè)球與三根金屬桿 PA 、 PB 、 PC 接觸點即切點分別為 D 、 E 、 F ，則由條件可得 P － D E F 是正四面體，設(shè)球心為 O ，可知 OD ＝ 5 ，連 OP 、 OD ，則 OP 過正 △ D E F 的中心H ， OP ⊥ 平面 D E F ， OD ⊥ DP ，設(shè)正四面體 P － D E F 棱長為 a ，則 PD ＝ DE ＝ a ，可得 DH ＝33a ， OH ＝ 25 －13a2， OP ＝ 25 ＋ a2，在 Rt △ ODP 中由射影定理可得， OD2＝ OH ， AC ＝ BC ＝ 6 ，平面 P A B ⊥ 平面 ACB ， PO ＝ 4 ， OD ＝ 3 ，由勾股定理，得 PD ＝ 5 ， AB ＝ 6 2 ，全面積為：12 6 6 ＋ 2 12 6 5＋12 6 2 4 ＝ 48 ＋ 12 2 ，故選 A. C 第 11講 │ 要點熱點探究 如圖所示 4 － 11 － 2 的是一個幾何體的三視圖，則多面體的表面積為 ________ ． 圖 4 － 11 － 2 第 11講 │ 要點熱點探究 36 【解析】 如圖所示，此幾何體是一個以 AA ′ ＝ 2 ，AD ＝ 4 ， AB ＝ 2 為棱的長方體被平面 AB ′ C ′ 截去一個角后得到的，在 △ A ′ C ′ B 中，因為 A ′ C ′ ＝ BC ′ ＝ 2 5 ， BA ′ ＝ 2 2 ， 所以 S △A ′ C ′ B＝ 12 2 2 ? 2 5 ?2－ ? 2 ?2＝ 6 ， 故幾何體表面積為 2 4 2 ＋ 2 2 ＋12 4 2 2 ＋12 2 2 ＋ 6 ＝ 36. 第 11講 │ 要點熱點探究 【點評】 本題考查空間幾何體的三視圖 ，考查空間想象能力和運算能力 ． 根據(jù)三個視圖中都是矩形 ， 可以斷定這個的底面 、 右側(cè)面和后面都是矩形 ， 畫好這幾個矩形后 ， 上面是一個三角形 、 左側(cè)面是一個三角形 、 正前面是一個三角形 ， 即這個空間幾何體是一個長方體截去了一個三棱錐構(gòu)成的 ． 要點熱點探究 第 11講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 探求空間幾何體的表面積與體積 例 2 如圖 4 － 11 － 3 所示，多面體 A E D B F C的直觀圖及三視圖． ( 1) 求此多面體 A E D B F C 的表面積； ( 2) 求多面體 A － C D E F 的體積． 第 11講 │ 要點熱點探究 圖 4－ 11－ 3 第 11講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 由多面體 A E D B F C 的三視圖知，此多面體為三棱柱，三棱柱 AED － BFC 中，底面 D A E 是等腰直角三角形， DA ＝ AE ＝ 2 ， DA ⊥ 平面 ABEF ，側(cè)面 A B F E ，ABCD 都是邊長為 2 的正方形．側(cè)面 EFCD 是邊長分別為2 、 2 2 ， 2,2 2 的矩形，故其表面積為 S 表 ＝ 2 12 2 2 ＋ 2 2 2 ＋ 2 2 2 ＝ 12 ＋ 4 2 . ( 2) 法一：取 DE 的中點為 H ，由條件易知 AH ⊥ DE ，又因 EF ⊥ 平面 AED ， ∴ EF ⊥ AH ， ∴ AH ⊥ 平面 EFCD ，所以多面體 A － C D E F 的體積 V ＝13SCD EF 在此狀態(tài)下，如果有的公式雙擊后無法用公式編輯器編輯，請選中此公式，點擊右鍵、 “ 切換域代碼 ” ，即可進(jìn)行編輯。 AH ＝83. 第 11講 │ 要點熱點探究 法二： V ＝ VA － CEF＋ VA － ECD＝ VC － A EF＋ VC － AD E＝13 ， E 是AB 的中點，將 △ A D E 與 △ BCE 分別沿 ED 、 EC向上折起，使 A 、 B 重合，求形成的三棱錐的外接球的體積． 圖 4 － 11 － 5 第 11講 │ 要點熱點探究 【 解答】 由條件易知： AD ＝ DE ＝ 1 ， △ DC E 為正三角形，折疊后形成正四面體 A － DE F ，其棱長為 1 ，如圖所示，因為 DH ＝33，則 AH ＝ 1 －????????332＝63. 設(shè)外接球球心為 O ， 半徑為 R ，則在 △ DHO 中可得， R2＝????????63－ R2＋????????332， 解得 R ＝64，則形成的三棱錐 的外接球的體積為 V ＝43π????????643＝68π. 教師備用習(xí)題 第 11講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2010CD ＋ AB2AD ＝13????????32， 0 ，32＝32x ＋32z ＝ 0 ，n2 n || n |.( 實 質(zhì)是 AB→ 在法向量 n 方向上的投影 的絕對值 ) 特別說明，上面公式不必死 記， 只要結(jié)合圖形，利用直角三 角形邊 角關(guān)系可得 BC ＝ AB 天津卷 ] 如圖 4 － 13 － 6 所示 ， 在長方體 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E ，F(xiàn) 分別是棱 BC ， CC 1 上的點 ， CF ＝ AB ＝2 CE ， AB ∶ AD ∶ AA 1 ＝ 1 ∶ 2 ∶ 4. ( 1 ) 求異面直線 EF 與 A 1 D 所成角的余弦值 ； ( 2 ) 求證 AF ⊥ 平面 A 1 ED ； ( 3 ) 求二面角 A 1 － ED － F 的正弦值 ． 圖 4－ 13－ 6 【解析】 方法一 ： 如圖所示 ， 建立空間直角坐標(biāo)系 ， 點 A 為坐標(biāo)原點 ， 設(shè) AB ＝ 1 ， 依題意得 D ( 0 , 2 , 0 ) ， F ( 1 , 2 , 1 ) ， A1( 0 , 0 , 4 ) ， E??????1 ，32， 0 ， 第 13講 │ 要點熱點探究 【解答】 ( 1) 易得 EF→＝??????0 ，12， 1 ， A1D→＝ ( 0,2 ，－ 4) ， 于是 c os 〈 EF→， A1D→〉＝EF→ ，所以 ∠ BCA＋ ∠ CED ＝ 90176。 BA→1＝ 0 ， n | AB→|， ∴12＝a2 a2＋ 1， ∴ a2＝12，故有 | AE→|＝ 2 a2＋ 1 ＝ 2 . 第 13講 │ 要點熱點探究 教師備用習(xí)題 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 1 ． [ 2009 DS→| OS→|| DS→|＝32，所求二面角的大小為 30176。 AB→＝ 2 x ＋ 2 y ＝ 0 ， 設(shè) z ＝ 1 ，則 n ＝ ( 3 ，－ 3 ， 1) . ∴ 點 C1到平面 A1AB 的距離 d ＝| AC1→ ， 取 AA1中點 F ，則 AA1⊥ 平面 BCF ，從而面 A1AB ⊥ 面 BCF ， 過 C 作 CH ⊥ BF 于 H ，則 CH ⊥ 面 A1AB ，在 Rt △ BCF 中， BC ＝ 2 ， CF ＝ 3 ，故 CH ＝2 217，即 CC1到平面 A1AB的距離為 CH ＝2 217. 第 13講 │ 教師備用習(xí)題 解法 2 ： ( 1 ) 如圖 ， 取 AB 的中點 E ， 則 DE ∥ BC ， ∵ BC ⊥ AC ， ∴ DE ⊥ AC . 又 A1D ⊥ 平面 ABC ， 以 DE ， DC ， DA1為 x ， y ，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ， 令 A1D ＝ t ， 則 A ( 0 ，－ 1 , 0 ) ， C ( 0 , 1 , 0 ) ， B ( 2 , 1 , 0 ) ， A1( 0 , 0 ， t ) ，C1( 0 , 2 ， t ) ， AC1→＝ ( 0 , 3 ， t ) ， BA1→＝ ( － 2 ，－ 1 ， t ) ， C B→＝ ( 2 , 0 , 0 ) ， 由 AC1→ ， 連接 OP ，由 ( 1) 知 AC ⊥ 平面 S B D ，所以 AC ⊥ OP ， 且 AC ⊥ OD ，所以 ∠ P OD 是二面角 P － AC － D 的平面角． 由 SD ⊥ 平面 P A C ，知 SD ⊥ OP ，所以 ∠ P OD ＝ 3 0176。 ，則線段 AE 的長為 ( ) A.52