矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法初等變換、逆(存儲(chǔ)版)
【正文】 23 ????., Ab0b0b 333231 ???因此 ????????????A000A000AAA 同理可證， .EAAA ??A?= 0 = 0 = 0 A?.EA?EAAA ?? .EAAA ?? 證 設(shè) A = ( a i j )n n , ),(ijbAA ??記???????????????????????????????????????????nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa?????????????????????也就是 于是有 ???? jnin2j2i1j1iij AaAaAab ??因此 EAAA ??同理可證 ， .EAAA ???????..時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)ji0jiA 定理 1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 ,11 ?? ? AAAA 0?A證明 若 可逆， A .EAAA ??? 11 使即有,11 ??? ? EAA故 .0?A所以.的伴隨矩陣為矩陣其中 AA ?,0時(shí)當(dāng) ?A,0時(shí)當(dāng) ?A??????????????????????????????nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA??????????????212221212111212222111211AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211,???????????????AAAAOO?EAAAAA ?? ?? ,EAAAAAA ??? ??.1 AAA?? ?按逆矩陣的定義得 證畢 .,0,0非奇異矩陣稱(chēng)為時(shí)當(dāng)稱(chēng)為奇異矩陣時(shí)當(dāng) AAAA ??奇異矩陣與非奇異矩陣的定義 .為非奇異矩陣是可逆陣的充要條件是由此可得 AA,1??? EBA ,0?A故,1 存在因而 ?A 于是EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??EA 1?? .1?? A 證畢? ? ., 1???? ABEBAEAB 則或若推論 證明 ? ? ? ? .,1 111 AAAA ???? 且亦可逆則可逆若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ? ? 且可逆則數(shù)可逆若 ,0,2 AA ?? ?? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB1?? AEA ,1 EAA ?? ?? ? .111 ??? ?? ABAB證明 ? ? ??1AB B 1? 1?A? ? .1 11 ?? ? AA ??? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE? ,E?? ? ? ? .11 TT AA ?? ??? ? .,0,10 kk AAEAA?? ??? 定義時(shí)當(dāng)另外證明 ? ?為正整數(shù)k? ? .1212 ?? ? AA ??推廣 1A mA 1?mA 1?1A? ? ? ? ? ? .,4 AAAA T ?且亦可逆則可逆若 T T1? 1?? ? .AA,A 115 ?? ?則有可逆若證明 EAA ?? 1?11 ?? ?AA.AA 11 ?? ?因此有為整數(shù)時(shí)當(dāng) ,0 ???A,???? ?? AAA ? ? .???? A?例 1 求方陣 的逆矩陣 . ???????????343122321A解 343122321?A?,0? .1存在?? A,234 1211 ??A ,333 1212 ????A三、逆矩陣的求法 同理可得 ,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA,2,5,4 333231 ????? AAA,222563462????????????????A得 故 ?? ? AAA11???????????????22256346221.11125323231??????????????????????????332313322212312111AAAAAAAAAA1,0!5 ??A因由伴隨矩陣法得 ,1 AAA ?? ?解 .1存在故 ?A.50000040000030000020000011?????????????????? AA 求已知 例 2 ????????????????????????????????432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001?????????????????另一種常用的求矩陣逆的方法 ? 伴隨矩陣的方法理論上完善，但計(jì)算量大 ? 下面用矩陣的初等（行）變換來(lái)求 ? 先講方法，后介紹其中的道理（也可課后思考） 逆矩陣的求法 ? 若矩陣 A可逆，則矩陣 A總可以經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為單位矩陣。矩陣的 轉(zhuǎn)置、乘法（初等變換）、逆 歐陽(yáng)順湘 北京師范大學(xué)珠海分校 內(nèi)容提要 ? 矩陣的下列運(yùn)算的性質(zhì)與應(yīng)用 ? 乘法 ? 轉(zhuǎn)置 ? 初等變換 ? 逆 定義 ? ? ? ? ，那么，設(shè)矩陣nsijnmij bBaA ?? ?? 由定義，一個(gè) １ ｓ 行矩陣與一個(gè) ｓ １ 列矩陣的乘積是一個(gè)一階方陣，也就是 一個(gè)數(shù) ： ? ?Ｃ＝ＡＢ并把此乘積記作），；，（＝，其中ｓｋ.212112211njmibabababacc kjiksjisjijiijnmij????????? ????? CnmB 矩陣的乘積是一個(gè)矩陣Ａ與矩陣乘法 定義５中矩陣Ｃ (=AB)的元素 cij是矩陣 A 的 第 i 行 元素與矩陣 B的 第 j 列 對(duì)應(yīng)元素乘積之和 . 注意 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣 (左 矩陣 )的 列 數(shù)等 于第二個(gè)矩陣 (右 矩陣 )的 行 數(shù)時(shí)， 兩個(gè)矩陣才 能相乘 . ? ?sjisjijisjjjisiibabababbbaaa ?????????????????????22112121,????nkijkjik cba1矩陣的乘法滿(mǎn)足下述運(yùn)算規(guī)律 結(jié)合律)()(. BCACAB1 ?
語(yǔ)文相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1