【正文】 有兩個事件A與B，假如其中一個事件的發(fā)生不依賴另一個事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨立。　　假如一個隨機變量僅取數軸上有限個點或可列個點()，則稱此隨機變量為離散隨機變量，或離散型隨機變量?！　?2)一臺電視機的壽命X(單位:小時)是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機變量:“X=0”表示事件“一臺電視機在開箱時就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機壽命不超過10000小時”，“X40000”表示事件“電視機壽命超過40000小時”?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機變量和連續(xù)隨機變量來敘述它們的分布，因為這兩類隨機變量是最重要的兩類隨機變量，而它們的分布形式是有差別的。Y取這些值的概率為():　　具體計算可得如下分布列:　　這個分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。這條曲線就是概率密度曲線，相應的函數表達式p(x)稱為概率密度函數，它就是表示質量特性X隨機取值內在的統計規(guī)律性?！　〉貐^(qū)(b)?！　【涤脕肀硎痉植嫉闹行奈恢?，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機變量X的平均值為5。　　在〔]中一盒三極管中不合格品數X的均值、方差和標準差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機的維修時間T的均值為:　　　　這表明推土機發(fā)生故障時，平均維修時間是50分鐘。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應概率pi必定小。　　注意:方差的這個性質不能推到標準差場合，即對任意兩個相互獨立的隨機變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應該是　　或者說，對相互獨立隨機變量來說，其方差具有可加性，而標準差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個常用的離散分布，它們是二項分布、泊松分布與超幾何分布。類似可計算X=0，X=1，…，X=6的概率，計算結果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數的有效數字為零，實際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　≡趯嶋H中經常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項分布的分布函數已編制了數表，詳見附表11，此表可幫助我們計算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項分布b(6，)的均值、方差與標準差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機變量的概率分布。　　設有N個產品組成的總體，其中含有M個不合格品?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個參數μ與σ，常記為N(μ，σ2)。一些質量特性的不合格品率均要通過標準正態(tài)分布才能算得。　　　　(5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()?！　‘敠粒┤绂?，=。　　　　性質2:設X～N(μ，σ2)，則對任意實數a，b有:　　　　其中Φ(　　為了具體說明不合格品率的計算，可看下面的例子?？估瓘姸仁峭筇匦?愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。它們有如下共同特點:　　(1)這些隨機變量都在正半軸(0，∞)上取值。它告訴人們:在一定條件下，多個相互獨立隨機變量的平均值(仍然是一個隨機變量)，服從或近似服從正態(tài)分布?！　】傮w是人們研究對象的全體，它由個體所組成，當從總體中隨機抽取一個個體進行觀測時，所得的觀測值隨個體而異，因此總體對應于一個隨機變量?？傮w中每個個體都有相同的機會入樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實際總體。有時為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數據中心位置的，而樣本又是從總體中隨機抽取的，因此與表示總體的隨機變量X的均值μ之間一定存在某種內在的聯系。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計μ沒有用n=10的樣本的平均數來估計精確，但均值的平均數()都非常接近μ的真值10?！　‘敠乙阎獣r，通過標準化變換，可得:　　　　當σ未知時，很自然的，用樣本標準差s代替上式中的σ，此時統計量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。F分布的概率密度函數在正半軸上呈偏態(tài)分布。在統計中，估計就是根據樣本來推斷總體分布的未知成分。在本教材中，除討論統計量的分布及性質外，不嚴格區(qū)分估計量及具體估計值，通稱為估計。但是經過簡單的代數推導，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項表示的是的均值E()與未知參數θ的差，稱為偏倚；當B()=0，也即:　　E()=θ時，稱估計量是無偏的。由于均值與方差在統計學中統稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。有效性是判定估計量優(yōu)良性的另一個標準。這個量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。根據這個樣本，構造一個統計量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進行估計，稱為θ的估計量。在質量活動和管理實際中，人們關心的是諸如特定產品的質量水平究竟如何?例如特性的平均值，產品的不合格品率等等。又設X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個樣本，這兩個樣本相互獨立。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計、假設檢驗和方差分析中將起重要作用。這表明當用估計μ時，n愈大，精度就愈高?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數、樣本極差、樣本方差、樣本標準差及樣本變異系數等都是統計量?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機樣本。　　滿足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本?！　∫?、隨機樣本與統計量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個重要的統計概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機變量及其分布的概念。若已知Y的均值、方差與標準差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標準差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時，104小時，標準差是平均時間的7倍多，可見對數正態(tài)分布是很分散的分布。這里“均勻”是指隨機點落在區(qū)間(a，b)內任一點的機會是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標上，該部件的不合格品率為968ppm。　　明確了這兩點后，產品質量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(這里標準化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應的標準差。用概率的語言表示，U的α分位數uα是滿足下列等式的實數:　　P(U≤uα)=α　　　　分位數uα亦可用標準正態(tài)分布表從里向外查得，尾數可用內插法得到，:　　= =　　，=?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()。它是特殊的正態(tài)分布，服從標準正態(tài)分布的隨機變量也記為U，它的概率密度函數記為ψ(u)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質量特性X隨機取值的統計規(guī)律性。　　　　(2)在一個月內發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。通過計算可畫出其線條圖((b))，此圖是對稱的，如P(X=2)=P(X=4)=?！　≡谏鲜鏊膫€條件下，設X表示n次獨立重復試驗中成功出現的次數，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個值的離散隨機變量，且它的概率函數為:　　　　　　二項分布的均值、方差與標準差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個制造過程中，如今從成品中隨機取出6個，記X為6個成品中的不合格品數，則X服從二項分布b(6，)，簡記為X～b(6，)?！　?3)設隨機變量X1與X2獨立(即X1取什么值不影響另一個隨機變量X2的取值，這相當于兩個試驗的獨立性)，則有:　　Var(X1177?！　∮煞讲畹亩x知:　　其中xi=i。　　在〔]中隨機變量“擲兩顆骰子，點數之和Y”的均值、方差和標準差分別為:　　　　計算結果表明，擲兩顆骰子，點數之和的均值為7點、。類似地，該推土機發(fā)生故障而在100到300分鐘內完成維修的概率為:　　　　該推土機發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計算結果表明:%故障可在100分鐘內修好，%的故障可在100 到300分鐘內修好，%。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請讀者在圖上標明)。　　假定我們一個接一個地測量產品的某個質量特性值X，把測量得到的x值一個接一個地放在數軸上。X取這些值的概率為():　　具體計算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現的機會最大?！　《㈦S機變量的分布　　隨機變量的取值是隨機的，但內在還是有規(guī)律性的，這個規(guī)律性可以用分布來描述。因為X取0，1，2，…等值是隨機的。　　一、隨機變量　　用來表示隨機現象結果的變量稱為隨機變量。　?、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個條件概率也可以這樣來認識:當已知事件B發(fā)生，就意味著其對立事件是不會發(fā)生了。要使抽出的10件產品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對立事件=“抽10件產品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。這項研究在計算機鍵盤設計(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復試驗，(正面)的變化情況，在重復次數N較小時，f波動劇烈，隨著N的增大，f波動的幅度在逐漸變小。再考慮到不合格品出現次序(不合格品可能在第一次抽樣出現，也可能在第二次抽樣中出現，…，也可能在第n次抽樣中出現)故B1所含樣本點的個數共有nM(NM)n1。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個，不放回，再抽下一個，這相當于n個同時取出。依據乘法原則，事件A1共含　　個樣本點?！　　瞉一批產品共有N個，其中不合格品有M個，現從中隨機取出n個(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個不合格品”的概率是多少?　　從N個產品中隨機抽取n個共有　　個不同的樣本點，它們組成這個問題的樣本空間Ω。若r=n，稱為全排列，全排列數共有n!個，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復排列:從n個不同元素中每次取出一個作記錄，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復排列?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。而在生活、生產和經濟活動中，人們很關心一個隨機事件發(fā)生的可能性大小。　　　　(2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件稱為A與B的并，記為AUB。　　兩個事件間的互不相容性可推廣到三個或更多個事件間的互不相容，例如在檢查三個產品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個互不相容事件?！　‖F在我們轉入考察“檢查三件產品”這個隨機現象，它的樣本空間Ω含有23=8個樣本點。如擲一顆骰子，“出現點數不超過6”就是一個必然事件。這里的基本結果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點，隨機現象一切可能樣本點的全體稱為這個隨機現象的樣本空間，常記為Ω?！　∫?、事件與概率　　(一)隨機現象　　在一定條件下，并不總是出現相同結果的現象稱為隨機現象?！　颖痉讲钫乃阈g平方根稱為樣本標準差，即:　　　　注意標準差的量綱與數據的量綱一致。也有一些用來表示數據內部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標準差和樣本變異系數?！　∨c均值相比，中位數不受極端值的影響。　　三、數據集中位置的度量　　對一組樣本數據，可以用一些量表示它們的集中位置。這是因為分組是等距的。對于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個整數值。　　〔]食品廠