德薩格定理在初等幾何中的應用畢業(yè)論文(存儲版)
【正文】 己在幾何學方面的眼界拓寬，也同樣便于我們從幾何學的全局和整體去理解分析初等幾何的教材，獲得并提高自己駕馭教材的本領，就能更透徹的理解很多在初等幾何中的問題，使自己犯錯誤的可能性大大降低。(五)德薩格(Desargues)定理在設計中學幾何命題方面的應用 ，在中學幾何課本中是學習完平行性后才專門介紹它的。(四)德薩格(Desargues)定理在作圖方面的應用在現(xiàn)實生活中，我們往往會碰到這樣的實際問題，比如說我們需要挖三條從陸地一直延伸到海底的隧道，其中一條隧道既要通過某個城市，又要與另外兩條隧道交于一點。 ∴H、G、O三點共線。連接OE，AH//OD ∴∽ ∴。證明這兩個三角形相似，利用角是不行的。所以由德薩格定理知與中既然有三對對應頂點的連線共點，則其三對對應邊的三個交點必共線，如圖14所示，X、Y、Z三點必在一直線上。而例例7則是當O點處在內(nèi)的特殊位置時的情況，即：(垂心)時，顯然,，就成為的垂足三角形，這兩個三角形的三對對應邊的交點必共線。由于，所以N、L、M共線。在面RPQ中X在PQ上，所以RX在面RPQ內(nèi)，又因為S是RX延長線上的一點，所以S也在面RPQ上，因此PR與QS共面RPQ。求證：AD，CF，BE相交于一點G.。(二) 證明過程如圖6，設兩三點形的對應頂點的連線共點，求證：對應邊的交點，共線。第四種方法第四種方法用的是高等幾何中代數(shù)的方法來證明的。此種證法依次選取A、O三個點作為射影中心，連續(xù)三次進行投影，并使用交比不變性，使命題得證,方法巧妙且簡便。與第一種方法相比，在證明共面的這種情況時，證法大同小異，但在證明異面的時候，方法大相徑庭，僅用了梅涅勞斯定理及其逆定理(此定理是證明三點共線的其中一個著名的定理)，找到線段比值之乘積即可，不用再構(gòu)造新的平面，牽扯到空間中的問題，只用在一個平面內(nèi)就可將問題解決。同理，CA與相交，與AB也相交，且相應的交點Y、Z都在二平面和的交線上。第一種證明方法 第一種證明方法用的是初等的證明方法。德薩格定理與其逆命題互為對偶命題。然而他的學術(shù)思想除了得到像笛卡爾，帕斯卡等少數(shù)人的欣賞之外，并沒有廣泛被人們所接受，直到1845年法國幾何學家和數(shù)學史學家查理(Chasles)偶然得到他的著作的抄本，他的經(jīng)典著作才為人們重視。并展示了高等幾何在初等幾何中的一些最根本的應用，全盤否決高等幾何在初等幾何中的無用之說。因此，德薩格定理可以被應用到初等幾何中的很多方面中去。德薩格(Desargues)奠定了空間射影概念的基礎，使研究射影變換成為了可能，他的工作為射影幾何打下科學的基礎，在此方面具有創(chuàng)造性的成就，歷史上把他當作這個學科的創(chuàng)始人。德薩格(Desargues)定理的逆定理 如果兩個三點形對應邊的交點在一直線，則對應頂點的連線交于一點。 德薩格(Desargues)定理是射影平面上的重要定理，也是基礎定理之一，許多定理都以它為根據(jù)，它的證明方法也是多種多樣的，下面重點介紹其四種常見的證明方法。 因為，所以和O共面，二直線BC和必相交，交點X在平面和的交線上。第二種證明方法 第二種方法也用的是初等幾何的方法，而且同樣也是分成兩種情況來證明，共面與異面的情況。第三種證明方法第三種方法是用高等幾何的方法，利用的是射影幾何中交比的一個性質(zhì)，即共線的四點所形成的交比在中心射影下是保持不變的。證明：連接，設與分別交于又與交于，則有，三點共線。 三點共線的充要條件是。已知：D、E、F分別為三角形的三邊BC，CA，AB的中點。證法1：如圖8，在面APR中B在線AP上所以B在面APR內(nèi)，則RB在面APR內(nèi)，又因為D是RB延長線上的一點，所以D點在面APR上，所以PR與AD共面APR。此題的證法二還給了我們一個很大的啟示，即運用德薩格(Desargues)定理的逆定理去證明一些比較簡單的三點共線問題時，最好從結(jié)論入手去尋找我們所需要的三點形。證明：如圖10，在三角形與三角形中，因為對應頂點的連線AD，BE，CF交于點O，根據(jù)德薩格(Desargues)定理：對應邊的交點必定是共線的。注:：本題是例4與例5 的一般情況，也就是當O點為內(nèi)的任意一點時該命題均成立。第二種情況：當不在同一直線上時，由平面幾何定理知，三個圓相交，其三個公共弦必共交于一點O，該點稱為根心，即交于一點O。這又需要證明∽。證明：連接HG交BC的中垂線DO于O。 今H為的垂心，O為外心，G為重心。解：連接OC，設當A、B分別在m、n上移動到D、E時，C移動到F，即三角形移動到三角形，AB交DE于Q，BC交EF于P，AC交DF于R，三點在定直線t上，由德薩格(Desargues)定理的逆定理可知：O、C、即C點的軌跡是過O點的一直線。這就要求我們必須對德薩格(Desargues)定理及其逆定理的構(gòu)圖特點進行熟練地掌握及靈活應用。 通過前面的闡述和各類例題可以看出，在應用德薩格(Desargues)定理解決一些初等幾何中的問題時，相對于初等幾何的方法而言，做法極為簡便，起到化難為易的作用，充分體現(xiàn)了高等幾
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