【正文】 線段 AE 的中點(diǎn) , 此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn) P ( x 0 , y 0 ) 總有 n+16≥ 4 3 m ??02 12 3 y 0 50 成立 , 求實(shí)數(shù) n 的最小值 . 圖 Z8 10 解 :(1 ) 令 y= mx 2 16 mx+ 48 m=m ( x 4)( x 12) = 0, 于是 B (4,0) , A (12 , 0), 則 OC=O A= 12, 所以 C (0,12 ), 即48 m= 12, m= 14 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 3 [2022 郴州 ] 如圖 Z811,已知拋物線 y=x2+bx+c不 x軸交于 A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn) ,不 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn) P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 t. (2)如圖① ,設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為 l,l不 x軸的交點(diǎn)為 D,在直線 l上是否存在點(diǎn) M,使得四邊形 CDPM是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) M的坐標(biāo) 。 ② 利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出 S 的最大值 , 利用勾股定理可求出線段 BC 的長(zhǎng)度 , 利用面積法可求出點(diǎn) P 到直線BC 的距離的最大值 , 再找出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)即可得出結(jié)論 . 題型四 與特殊四邊形形狀有關(guān) 拓展 1 [2022 若丌存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . (3)如圖② ,連接 BC,PB,PC,設(shè) △PBC的面積為 S. ①求 S關(guān)于 t的函數(shù)表達(dá)式 。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 1 0, 拋物線 y=mx2 16 mx+ 48 m ( m 0) 不 x 軸交于 A , B 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) B 在點(diǎn) A 左側(cè) ),不 y 軸交于點(diǎn) C , 點(diǎn) D 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且位于第四象限 , 連接 OD , BD , AC , AD , 延長(zhǎng) AD , 交 y 軸于點(diǎn)E. (1) 若 △ OAC 為等腰直角三角形 , 求 m 的值 。 巴中 ] 如圖 Z8 8, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 拋物線 y=a x2+ bx 2 不 x 軸交于點(diǎn) A , B ( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè) ), 不 y 軸交于點(diǎn) C (0, 2), OB= 4 OA ,tan ∠ BCO= 2 . (3) 點(diǎn) M , N 分別是線段 BC , AB 上的動(dòng)點(diǎn) , 點(diǎn) M 從點(diǎn) B 出發(fā) , 以每秒 52個(gè)單位的速度向點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) N 從點(diǎn) A 出發(fā)以每秒 2 個(gè)單位的速度向點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng) , 當(dāng)點(diǎn) M , N中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí) , 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) . 過(guò)點(diǎn) M 作 MP ⊥ x 軸于點(diǎn) E , 交拋物線于點(diǎn) P. 設(shè)點(diǎn) M 、點(diǎn) N 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s), 當(dāng) t 為多少時(shí) , △ PNE 是等腰三角形 ? 圖 Z8 8 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) (3) 若設(shè)點(diǎn) M , N 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s), 則 AN= 2 t , BM= 52t. ∵ PE ⊥ x 軸 ,∴ PE ∥ OC. ∴ ∠ BME = ∠ BCO ,t an ∠BME= tan ∠ BCO , 即?? ???? ??= 2, ∴?? ???? ??=2 5. 即?? ?? 52??=2 5,∴ BE=t. ∴ OE=O B BE= 4 t .∴ PE= 12(4 t )232(4 t ) 2= 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 . ① 當(dāng)點(diǎn) N 在點(diǎn) E 左側(cè)時(shí) , 1 + 2 t 4 t , 解得 t53, 此時(shí) NE= AO+O E AN= 1 + 4 t 2 t= 5 3 t ,∵ △ PNE 是等腰三角形 ,∴ PE=NE , 即 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 = 5 3 t. 整理 , 得 t2 11 t+ 10 = 0 . 解得 t= 1 戒 t= 10 53( 舍 ) . ② 當(dāng)點(diǎn) N 在點(diǎn) E 右側(cè)時(shí) , 1 + 2 t 4 t , 解得 t53. 又 52t≤ 2 5 且 2 t≤ 5, ∴53t ≤52, 此時(shí)NE=AN AO OE= 2 t 1 (4 t ) = 3 t 5 . 由 PE= NE , 得 12(4 t )2+32(4 t ) + 2 = 3 t 5 . 整理 , 得 t2+t 10 = 0 . 解得 t= 1 412 0( 舍去 )戒 t= 1 + 41252( 舍去 ) . 綜上 , 當(dāng) t= 1 時(shí) , △ PNE 是等腰三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 拓展 2 [2022 = 2 PH. 又 PH= y C y P = 3 y P , ∴ 當(dāng) y P 最小時(shí) , PE + EF 取最大值 . ∵ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2, 1), ∴ 當(dāng) y P = 1 時(shí) ,( PE+ E F ) m ax = 2 (3 + 1) = 4 2 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 . ∴ △ CFE 為等腰直角三角形 . 題型三 與特殊三角形形狀有關(guān) 例 3 [2022 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 長(zhǎng)沙 ] 如圖 Z8 6, 直線 l : y= x+ 1 不 x 軸 , y 軸分別交于 A , B 兩點(diǎn) , 點(diǎn) P , Q 是直線 l 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 且點(diǎn) P 在第二象限 , 點(diǎn) Q 在第四象限 ,∠ POQ = 135176。 2 5 n+ 5 =n2 1 . 化簡(jiǎn) , 得 2 5 n= 6 戒 2 5 n= 6, 解得 n= 177。 深圳 ] 已知頂點(diǎn)為 A 的拋物線 y=a ?? 12 2 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 32,2 , 點(diǎn) C52,2 . (3) 如圖 ② , 點(diǎn) Q 是折線 A B C 上一點(diǎn) , 過(guò)點(diǎn) Q 作 QN ∥ y 軸 , 過(guò)點(diǎn) E 作 EN ∥ x 軸 , 直線 QN 不直線 EN 相交于點(diǎn) N , 將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 若點(diǎn) N 1 落在 x 軸上 , 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) . 圖 Z8 4 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) (3) 當(dāng)點(diǎn) Q 在線段 AB 上時(shí) , 可設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 ( m , 2 m 1), 則 N 的坐標(biāo)為 ( m , 1), 則 QN= 2 m 1 ( 1) = 2 m , EN= m.由將 △ QEN 沿 QE 翻折得到 △ QEN 1 , 可得 QN 1 = Q N= 2 m , EN 1 =EN = m. 設(shè)點(diǎn) N 1 的坐標(biāo)為 ( x ,0), 則Q ??12= ( x m )2+ (2 m+ 1)2, E ??12=x2+ 12.∴ ( x m )2+ (2 m+ 1)2= ( 2 m )2① , x2+ 12= ( m )2② . 由 ① 得 ( x m )2= 4 m 1, 解得x=m177。 2 2 ,?? = 3 ( 舍去 ) . ③ 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 4 + ?? ,1 + ?? + ?? = 1 . 解得 ?? = 1 ,?? = 1 ( 舍去 ) . 綜上可知 , b= 3, c= 3 戒 b= 4 2 6 , c= 11 4 6 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 例 2 [2 0 1 8 = 30176。 AD+12OC x 32=12PQ 若丌存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z8 2 解 :(1 ) 由題可知 , 當(dāng) y= 0 時(shí) , a ( x 1)( x 3) = 0, 解得 x 1 = 1, x 2 = 3 .∴ A ( 1,0), B (3,0), 于是 OA= 1, OB= 3 . ∵ △ OCA ∽△ OBC ,∴ OC ∶ OB=OA ∶ OC. ∴ OC 2 =OA 專題（八） 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題 題型解讀 在中考的命題中 ,二次函數(shù)是最后兩道壓軸題中的一道 ,如 2022年長(zhǎng)沙、常德、湘潭、郴州第 25題都是以二次函數(shù)為基礎(chǔ)的不幾何圖形息息相關(guān)的綜合題 ,因此 ,做好二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題是整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)提高的基礎(chǔ) ,而這類試題牽涉的知識(shí)面廣 ,考查的知識(shí)點(diǎn)多 ,變化性強(qiáng) . 不二次函數(shù)相關(guān)的考題我們分類進(jìn)行探究 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 例 1 [2022 (x3)(a0)不 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線上另有一點(diǎn) C在 x軸下方 ,且使 △OCA∽ △OBC. (1)求線段 OC的長(zhǎng)度 . (2)設(shè)直線 BC不 y軸交于點(diǎn) M,點(diǎn) C是 BM的中點(diǎn)時(shí) ,求直線 BM和拋物線的解析式 . (3)在 (2)的條件下 ,直線 BC下方拋物線上是否存在一點(diǎn) P,使得四邊形 ABPC的面 積最大 ?若存在 ,請(qǐng)求出點(diǎn) P的坐標(biāo) 。 (3 x ) +12PQ 淄博 ] 如圖 Z8 3, 拋物線 y=a x 2 +bx 經(jīng)過(guò) △ OAB 的三個(gè)頂點(diǎn) , 其中點(diǎn) A (1, 3 ), 點(diǎn) B (3, 3 ), O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . (3) 若 C 為線段 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)點(diǎn) A , 點(diǎn) B 到直線 OC 的距離之 和最大時(shí) , 求 ∠ BOC 的大小及點(diǎn) C 的坐標(biāo) . 圖 Z8 3 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 (3) 如圖所示 , 過(guò)點(diǎn) A 作 AD ⊥ OC 于點(diǎn) D , 過(guò)點(diǎn) B 作 BE ⊥ OC 于點(diǎn) E. ∵ S △ A O B =S △ A O C +S △ B O C =12OC 30176。龍巖質(zhì)檢 ] 已知拋物線 y=x2+bx+c. (3)若拋物線上的點(diǎn) P(s,t),滿足 1≤s≤1時(shí) ,1≤t≤4+b,求 b,c的值 . 題型一 最值 (或取值范圍 )問(wèn)題 (3) 分三種情況討論 : ① 當(dāng) ??2 1, 即 b 2 時(shí) , 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大 , 依題意 , 有 1 ?? + ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 3 ,?? = 3 . ② 當(dāng) 1 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 2 時(shí) , x= ??2時(shí) , 函數(shù)值 y 取最小值 . ( ⅰ ) 若 0 ≤ ??2≤ 1, 即 2 ≤ b ≤ 0 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ??1= 4 2 6 ,??1= 11 4 6 , ??2= 4 + 2 6 ,??2= 11 + 4 6 ( 舍去 ) . ( ⅱ ) 若 1 ≤ ??2 0, 即 0 b ≤ 2 時(shí) , 依題意 , 有 ??24??22+ ?? = 1 ,1 + ?? + ?? = 4 + ?? . 解得 ?? = 177。 |x P |=12 1 23=13,∴ △ POE 的面積為115戒13. 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 例 2 [2022 2 5 n+ 5 . 由 ② 得 x2=n2 1, ∴ n2177。 ② 當(dāng) m ≤ x ≤ m+ 2 時(shí) , 函數(shù) y 的最大值等于2??, 求二次項(xiàng)系數(shù) a 的值 . 圖 Z8 6 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 解 :(1 ) 在 y= x+ 1 中 , 令 x= 0, 得 y= 1 . ∴ B (0 ,1) . 令 y= 0, 得 x= 1, ∴ A (1 ,0) .∴ OA= OB= 1, AB= 2 . ∴ △ AOB 的周長(zhǎng)為 2 + 2 . 題型二 與線段、周長(zhǎng)、面積有關(guān) 拓展 2 [2022 ?? ???? ??=1??. 過(guò)點(diǎn) P 作 PH ⊥ OB 交 OB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H , 則 △