【正文】 對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟模型： 這里， Ct、 It、 Yt分別表示消費、投資與國民收入?？紤] p階自回歸模型 AR(p) Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (*)n 引入 滯后算子（ lag operator ） L： LXt=Xt1, L2Xt=Xt2, …, L pXt=Xtp(*)式變換為 (1?1L ?2L2… ?pLp)Xt=?t 記 ?(L)= (1?1L ?2L2… ?pLp),則稱多項式方程 ?(z)= (1?1z ?2z2… ?pzp)=0為 AR(p)的 特征方程 (characteristic equation)。它是一頂點分別為（ 2,1），（ 2,1），（ 0,1）的三角形。 因此， 如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過 d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的 ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個 自回歸單整移動平均（ autoregressive integrated moving average）時間序列，記為 ARIMA(p,d,q)。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + ?t該模型 的方差 ?0以及滯后 1期與 2期的自協(xié)方差 ?1, ?2分別為２階自回歸模型 AR(2) 類似地 ,可寫出 一般的 k期滯后自協(xié)方差 ： (K=2,3,…)于是 ,AR(2)的 k 階自相關(guān)函數(shù) 為： (K=2,3,…)其中 :?1=?1/(1?2), ?0=1如果 AR(2)穩(wěn)定，則由 ?1+?21知 |?k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 與之相反， Xt與 Xtk間的 偏自相關(guān)函數(shù) (partial autocorrelation，簡記為 PACF)則是消除了中間變量Xt1， … ， Xtk+1 帶來的間接相關(guān)后的直接相關(guān)性，它是在已知序列值 Xt1， … ， Xtk+1的條件下， Xt與 Xtk間關(guān)系的度量。 MA(1)過程可以等價地寫成 ?t關(guān)于無窮序列 Xt，Xt1， … 的線性組合的形式：或 （ *） (*)是一個 AR(?)過程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此 MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。但可以證明，當(dāng) kq時， rk服從如下漸近正態(tài)分布 : rk~N(0,1/n)式中 n表示樣本容量。 ⒉ MA(q)模型的矩估計 將 MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到： 首先 求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值， (*)是一個包含 (q+1)個待估參數(shù) (*)的非線性方程組，可以用 直接法 或 迭代法 求解。 為了與 AR(p)模型的 Yule Walker方程估計進行比較，將(**)改寫成： j=1,2,…,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值 代入，上式表示的方程組即為： 或 j=1,2,…,pj=1,2,…,p解該方程組，得到： 即為參數(shù)的最小二乘估計。 六、模型的檢驗 時間序列模型的識別與估計過程往往是同步進行的。 在選擇可能的模型時， AIC與 SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對 RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使得 AIC或 SBC的值增加。再次驗證了一階差分后的GDP滿足 AR(2)隨機過程。 對 2022年中國支出法 GDP的預(yù)測結(jié)果（億元） 預(yù)測值 實際值 誤差 模型 1 95469 95933 % 模型 3 97160 95933 % 由于 中國人均居民消費（ CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）這兩時間序列是非平穩(wěn)的，因此不宜直接建立它們的因果關(guān)系回歸方程。 模型 3的展開式為： 即 由于 ?t表示預(yù)測期的隨機擾動項，它未知，可假設(shè)為 0，于是 t期的預(yù)測式為 : 為模型 3中滯后 2期與滯后 4期的相應(yīng)殘差項的估計值。 模型 1可作如下展開： 于是，當(dāng)已知 t t t3期的 GDP時，就可對第 t期的GDP作出外推預(yù)測。因此 可初步判斷該序列滿足 2階自回歸過程 AR(2)。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。 如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。按照估計 MA模型參數(shù)的方法，可以得到 ?1,?2,? ,?q以及 ??2的估計值。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識別 確定 估計 參數(shù)五、隨機時間序列模型的估計 ⒈ AR(p)模型的 Yule Walker 方程估計 在 AR(p)模型的識別中，曾得到 利用 ?k=?k， 得到如下方程組： 此方程組被稱為 Yule Walker 方程組 。 MA(q)模型的識別規(guī)則： 若隨機序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自 q以后， ?k=0（ kq） ；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動平均 MA(q)序列。 因此，如果計算的 rk*滿足 需指出的是，我們就有 %的把握判斷原時間序列在 p之后截尾。事實上，自相關(guān)函數(shù)是一 p階差分方程 ，其通解為 （ 2）偏自相關(guān)函數(shù)（ PACF ） 自相關(guān)函數(shù) ACF(k)給出了 Xt與 Xt1的總體相關(guān)性，但總體相關(guān)性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關(guān)系。這種現(xiàn)象稱為 拖尾 或稱 AR(1)有無窮記憶 （ infinite memory）。 當(dāng) AR(p)部分平穩(wěn)時，則該 ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。AR(2)模型的平穩(wěn)性。 三、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性 ， 可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷 。 使用時間序列分析模型的另一個原因在于 ： 如果經(jīng)濟理論正確地闡釋了現(xiàn)實經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于 ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。 一般的 p階自回歸過程 AR(p)是 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t (*) (1)如果隨機擾動項是一個白噪聲 (?t=?t)，則稱 (*)式為一 純 AR(p)過程（ pure AR(p) process） ，記為 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp +?t (2)如果 ?t不是一個白噪聲，通常認為它是一個 q階的 移動平