數(shù)列求和問題教案(存儲(chǔ)版)
【正文】 ）=n2可用哪個(gè)圖形表示出來嗎？（學(xué)生甲在黑板上畫出圖形，如圖62）師：對(duì)于Sn=13+23+33+…+n3（n∈N+）同學(xué)們能否類似地用一圖形表示并猜想其結(jié)果？（學(xué)生討論，教師用實(shí)物投影展示學(xué)生乙的圖形，圖63）生乙：我也用一個(gè)正方形表示，左下角的第一格表示13，左下角除表示13的方格外的8個(gè)格表示23，左下角除表示13和23以外的27個(gè)格表示33，以此類推．前n個(gè)自然數(shù)的立方和Sn為正方形中所有方格個(gè)數(shù)之和（1+2+3+…+n）2師：同學(xué)們借助幾何圖形及其性質(zhì)，使問題變得直觀、簡(jiǎn)單，猜想除了猜想一證明的方法外，還有沒有其它方法？（稍微停頓）想想前n個(gè)自然數(shù)的平方和是怎樣求出來的？生：用構(gòu)造法．利用構(gòu)造的恒等式（k+1）3k3=3k2+3k+1（k∈N+）實(shí)現(xiàn)求和．師：對(duì)．當(dāng)k取1，2，…，n時(shí)，得到n個(gè)恒等式，把這個(gè)n個(gè)恒等式兩邊分別相加，由于左邊是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方差，疊加后式子左邊消去了除（n+1）3與13以外的所有項(xiàng)，右邊留下了我們需要的Sn與可解決的自然數(shù)和以及n個(gè)常數(shù)1之和．構(gòu)造恒等式的目的是為了把前n個(gè)自然數(shù)的平方和問題轉(zhuǎn)化為前n個(gè)自然數(shù)和的問題．那么，對(duì)于前n個(gè)自然數(shù)的立方和問題又怎樣轉(zhuǎn)化呢？生：構(gòu)造恒等式（k+1）4k4=4k3+6k2+4k+1（k∈N+），當(dāng)k取1，2，…，n時(shí)，把n個(gè)式子疊加，使問題轉(zhuǎn)化為前n個(gè)自然數(shù)的平方和與前n個(gè)自然數(shù)和的問題．師：很好．請(qǐng)同學(xué)們課后完成．我們把公式叫做自然數(shù)的方冪和公式．利用公式，我們又可以解決一類數(shù)列求和問題．例5 （1）（1）a得aSn=a+3a2+5a3+…（2n3）an1+（2n1）an．兩式相減得（1a）Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an1（2n1）an=2（1+a+a2+a3+…+an1）（2n1）an1師：讓我們來回顧一下，錯(cuò)項(xiàng)相減后的式子中只留下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，其它各項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知的等比數(shù)列求和問題．由解題過程可見，此方法可解決哪類數(shù)列的求和問題？生：錯(cuò)項(xiàng)相減法可解決差比數(shù)列求和問題．師：也就是說，可解決這類數(shù)列{}的求和問題，=an教案 求和Sn=123+234+…n（n+1）（n+2）．師：利用公式（1），（2），（3）可解決自然數(shù)的方冪和問題
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