數(shù)值分析第五章-矩陣分析基礎(chǔ)(存儲(chǔ)版)
【正文】 明 ： 這樣定義的非負(fù)實(shí)數(shù)不是相容的矩陣范數(shù) . 證明：設(shè) 1 1 1 1,1 1 1 1AB? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2222AB ??? ????|| || 1 , || || 1 , || || 2A B AB? ? ?從而 || || || || || ||AB A B?定理 4： 設(shè) n 階方陣 A = (aij)n?n，則 （ Ⅰ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 1x??? niijj aA11m a x（ Ⅱ ）與 相容的矩陣范數(shù)是 2x12 ??A其中 ?1為矩陣 ATA的最大特征值。‖ B 等價(jià) ?！?A 和 ‖ 矩陣范數(shù) 定義 3 設(shè)對(duì)任意矩陣 A∈R n m，按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為 ‖A‖ ，若 ‖A‖ 滿足 )(00。 定義 5： 設(shè) || ) T????EIu v u vI的矩陣叫做 實(shí)初等矩陣 ，其中 是 n 階單位矩陣 ， 向量 i?ve1??， 為 初等下三角陣。 )?Ε uv 中 ， 定理 Householder矩陣 H 具有以下性質(zhì)： (1) 矩陣 H 是對(duì)稱陣，即 ； T ?Η Η(2) 矩陣 H 是正交矩陣，即 。 對(duì)角占優(yōu)陣 定義 11 設(shè)矩陣 nnR ??A ， 若存在一個(gè)排列陣 P ， 使得 ??? ????1 1 1 222AAP A P0AT否則稱矩陣 A 是 不可約的 。 1980 年獲得計(jì)算機(jī)先驅(qū)獎(jiǎng)。 1965年， Golub在 求解最小二乘問(wèn)題中使用 Householder方法，可參見(jiàn)文獻(xiàn) [3]。 他于 1954～ 1956年間出任 ACM的主席， 1963—1964年又出任工業(yè)與應(yīng)用 數(shù)學(xué)學(xué)會(huì) SIAM的主席。 如果次對(duì)角線元素 ,1 ( 2 , 3 , , )iih i n? ?全不為零，則稱該矩陣為 不可約的上 Hessenberg陣 。 2 ) 2 T? ? ?Η Ε Ι? ? ? ? ?為 Householder矩陣 ，或稱 Householder變換、反射矩陣 。 初等矩陣 初等矩陣對(duì)線性方程組的研究起著重要的作用，本節(jié)介紹 一般形式的初等矩陣，它是矩陣計(jì)算的基本工具。 ||2的直接推廣 ) Frobenius范數(shù) : || || ( )TFA tr A A?注： （ 1） （ 2） 矩陣的 Frobenius范數(shù) 不是算子范數(shù)。 推論 ： Rn上定義的任何兩個(gè)范數(shù)都是等價(jià)的。第五章 矩陣分析基礎(chǔ) 167。 X()X f X?定理 2： 在 Rn上定義的任一向量范數(shù) 都與范數(shù) 等價(jià) ， 即存在正數(shù) M 與 m ( Mm ) 對(duì)一切 X?Rn， 不等式 X 1X11 XMXXm ??成立 。 可以證明 , 對(duì)方陣 和 ，有 nnRA ?? nxR?22|| || || || || ||FAx A x??? ?? ??ninjijF aA1 12|||||| (向量 || (3)若 ， 則 1?A 1)(c o n d ?? AA注 : cond (A) 與 所取的范數(shù)有關(guān) 常用條件數(shù)有
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