【正文】 知 函數(shù)的定義域?yàn)? 則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對(duì)任意的x，y 0都有等式成立（2） 可知 函數(shù)的定義域?yàn)? 則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對(duì)任意的 都有等式成立（3） 可知 函數(shù)的定義域?yàn)? 則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對(duì)任意的x，y 0且都有等式成立 即： 成立8. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解：函數(shù)的定義域?yàn)? 令x0曲線y凸拐點(diǎn)凹 由表可知：曲線在內(nèi)是凸的，在內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為（）9. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn) 解：函數(shù)的定義域?yàn)? 故函數(shù)的圖形沒有拐點(diǎn)，處處是凹的10. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，而試問是否為拐點(diǎn)，為什么？ 解： 假定 則單調(diào)遞增 時(shí) 時(shí) 故是的拐點(diǎn)11. 若對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)與及任意兩個(gè)數(shù)與（）有不等式（或?qū)?yīng)地，相反的不等式成立），則稱曲線在區(qū)間上是凹（凸）的習(xí)題361. 求曲線的漸近線解： 故y=x+2 為曲線的斜漸近線2. 求曲線的漸近線解： 故x=2,x=3為曲線的鉛直漸近線 故y=1 為曲線的水平漸近線3. 求曲線的漸近線解： 故y=1 為曲線的水平漸近線 故x=為曲線的鉛直漸近線Y=x1是漸進(jìn)線垂直漸近線時(shí) X=0或2再求判斷凹凸性5．描繪曲線的圖形偶函數(shù)時(shí)只需判斷有對(duì)稱性可畫出6. 描繪曲線的圖形時(shí)， Y=0是水平漸進(jìn)線，是垂直漸近線漸近線方程8. 描繪曲線的圖形 9. 描繪曲線的圖形 奇函數(shù) 第三章：第7節(jié)1：解：2：解：由于：則有：時(shí)，；時(shí)，3：解：對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：4：解：由得：兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：5：解：由得： 6：解：由可得：7：解：由兩邊對(duì)得8：證明：由得： 得證.9：解：由得根據(jù)可得：漸屈線參數(shù)方程為：即：.10：解：由得：由得：漸屈線參數(shù)方程為：所以漸屈線方程為：即：.11：解：由得：根據(jù)公式得：根據(jù)的公式可得：則有所求曲率圓方程為：.12：解：由得：根據(jù)得：.13：解：由已知：可令則有：14：解：由得15：解：可另：，則有：由此可得：根據(jù)公式可得曲率中心為：所有所求的漸屈線參數(shù)方程為：.16：解：由得：則有：根據(jù)公式得曲率中心為：則有漸屈線的參數(shù)方程為：第三章總復(fù)習(xí)題設(shè)f（x）在[]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，對(duì)任意的x∈（）有f（x）≠0證明：存在∈（）使。綜上，為該函數(shù)的極小值也為最小值，于是時(shí)，得證.23. 證 ，.令得。 （3）解：因?yàn)? 9.（1）解：由題意可知：f（1）=2f（0）=2 （3）解：要使F（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則有 b=f(0),而要函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，則只需有 a= （4）解法一：令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 則Sm=則解法二：思路，對(duì)Sm等式兩旁同乘以x，然后分別減去原等式的兩邊進(jìn)行變化即可。上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得代入解得。（1）證明：在處，所以， 得切線方程： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以為定值。1解：在處無導(dǎo)數(shù)，在處不連續(xù)，所以。令，則，即，所以 。利用一階微分形式不變性求函數(shù)導(dǎo)數(shù)。12.解：∴13.解：∴令，得原式=14.解：∴15.解：連續(xù)性，，∴要連續(xù)，則b+a+2=0 ① 可導(dǎo)性，∴要可導(dǎo)，則 a=b ②由①②兩式得 a=b=116.解：，，又∵有界∴ ， M為常數(shù)∴∴17.解：由可以看出令t=x1，則x→1等效于t →0∴18.解：令則∴又令∴19.證明：充分性可導(dǎo)，則存在當(dāng)時(shí)存在即在x=0處可導(dǎo)必要性又所以，要存在，則∴綜上，得證習(xí)題 2—2 （A）1. 單項(xiàng)選擇題。（2）由y表達(dá)式可知，∴函數(shù)在x=0處連續(xù)，又∵∴函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。（3） C解：函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，則函數(shù)在x=0處連續(xù)。,+165。)上連續(xù)14. 解：化簡(jiǎn)得： x, |x|1f(x)= ax2+bx, |x|1 (a+b+1) x=1 (ab1) x=1由 f(1)=f(1+)=f(1) 得：a=0，b=1 f(1)=f(1+)=f(1)15. 證明：設(shè)f(x)=x33x29x+1,則f(0)f(1)=1180。0，則由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)206。7. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因?yàn)椋?. 解；則且=，則，習(xí)題15(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(1)mn (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解： 5. (1) 錯(cuò)，無窮小是極限為零的變量，無窮大是其值無限增大的變量(2) 錯(cuò)(3) 正確(4) 正確(5) 錯(cuò)，(6) 錯(cuò)，反例：(7) 錯(cuò)，6. 解： ，故它們是等價(jià)無窮小7. 解：，故是的高階無窮小8. 解：，故與是同階無窮小 ，故與是等價(jià)無窮小9. (1) 0，mn (2) 1，m=n ∞，mn(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 證明： 原極限不存在13. 解： 原式=114. 解：15. 證明：(1) 設(shè)t=arctanx，則(2) 16. 證明：(1) 因?yàn)椋视?2) 由有 所以，故有(3) 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋?，所以所以，故有?xí)題16(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) 1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (1) x=1是可去間斷點(diǎn)，x=2是無窮間斷點(diǎn)(2) x, |x|1f(x)= x, |x|1 0, x=1x=1是跳躍間斷點(diǎn)(3) , x=1是跳躍間斷點(diǎn) ， f(x)在x=2處連續(xù)(4) , x=0是無窮間斷點(diǎn) ，x=1是跳躍間斷點(diǎn)(5) , x=0是跳躍間斷點(diǎn)(6) 0, |x|1 f(x)= , x=1 1, |x|1 x=1是跳躍間斷點(diǎn)5. 解：由得： a=2， b=16. 證明：設(shè)f(x)=ex2x, 因?yàn)? f(0)f(2)=2(e24)0 由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)206。2. 設(shè)（1） 作出函數(shù)的圖形（2） 根據(jù)函數(shù)圖形寫出。(5)函數(shù)的周期為.2．設(shè)，求及．解： 則3．設(shè)求解：4．將函數(shù)用分段形式表示，并做出函數(shù)圖形．解：5．判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)。(4)函數(shù)的定義域?yàn)閤3。9．某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1200t，每噸定價(jià)100元，銷售量在900t以內(nèi)時(shí)，按原價(jià)出售；超過900t時(shí)，超過的部分打8折出售，試將銷售總收入與總銷售量的函數(shù)關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示．解：依題意，設(shè)總銷售量為x噸，銷售總收入為y元10．在半徑為r的球內(nèi)嵌入一圓柱，試將圓柱的體積表示為其高h(yuǎn)的函數(shù)，并確定此函數(shù)的定義域．解：設(shè)圓柱底面半徑為R由幾何關(guān)系得： 即圓柱體積為： ()(B)12．填空題．(1)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，有，則是周期為1的周期函數(shù)；(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?3)已知，則的定義域?yàn)椋?3．計(jì)算題．(1)已知，且，求，并寫出它的定義域；解：，則定義域?yàn)椋?，即?2)設(shè)，令，求；解：則：．(3)設(shè)，并討論的奇偶性和有界性；解：以此類推：，為奇函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)時(shí)，則有界．(4)設(shè)試將表示成分段函數(shù)；解：．(5)求的反函數(shù)．解： 則反函數(shù)：14．證明題．(1)若周期函數(shù)的周期為T且，則得的周期為；證明：由已知： 則： 得證．(2)若函數(shù)滿足 則為奇函數(shù).證明： (1)則， (2)(1)+ (2)得：由，則 即為奇函數(shù)．習(xí)題12(A)1．觀察下列一般項(xiàng)為的數(shù)列的變化趨勢(shì)，判斷它們是否有極限？若存在極限，則寫出它們的極限．(1) ；有極限，極限為1；(2) ；有極限，極限為1；(3) ；有極限，極限為0；(4) ；有極限，極限為1；(5) ；無極限；(6) ；無極限．2．利用數(shù)列極限的定義證明．(1) ；證明：．(2) ；證明：．(3) ；證明：．(4) ；證明：．3．證明：若，則，并舉例說明：數(shù)列有極限，但數(shù)列未必有極限．證明：由及數(shù)列極限定義，對(duì)，存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有，則：．故．舉例：數(shù)列的極限為1， 而數(shù)列 無極限．5．設(shè)，證明：．證明：由極限定義可知， 取則當(dāng)nN時(shí)，則7．求極限解：由于 由夾逼準(zhǔn)則可得．8．設(shè)，證明：數(shù)列的極限存在，并求其極限．證明：顯然10．求下列極限．(1) ；解：．(2) ；解：．(3) ；解：．(4) ；解：．(5) ；解：．(6) ；解：．12．設(shè)數(shù)列收斂，證明：中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．證明：由數(shù)列收斂，則此數(shù)列有界，即則中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．13．設(shè)，且ab，證明：存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有．證明：由，存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，對(duì)，有取為無窮小，則．16．設(shè)證明：數(shù)列收斂，并求其極限．證明：顯然17．設(shè)，證明：數(shù)列發(fā)散．證明：數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列：=0， ，而，數(shù)列發(fā)散數(shù)列發(fā)散．（P47）1. 答案：D解：例：在處沒有定義但是有極限。不一定有極限（例如：），不一定有極限（當(dāng)時(shí)，時(shí)沒有極限；當(dāng)時(shí)，）。0 若F(c)F(d)=0，則F(c)=F(d)=0； 若F(c)F(d) 163。,+165。(165。（1） C解：（2） A解：所以在x=1處不連續(xù)。（3） 解：若平行于直線則 設(shè)點(diǎn)為（）即，∴∴要求的點(diǎn)為（1，1）或（1，1）（4） 解：由可知，∴（5） 解：由可知，又∴（6） 解： （7）解：∴6. 解：（1）∵∴∴在處連續(xù)；又∵∴即不存在，∴y在x=0處不可導(dǎo)。10.解：由7（3）中證明知，又等價(jià)于∴即為所求的切線斜率∴法線斜率11.解：可去間斷點(diǎn)∵為奇函數(shù)，∴∴；又∵在x=0處可導(dǎo)∴即函數(shù)在