【正文】 擇題。,+165。[x1,x2],使得f(x)= 總上可知，原結(jié)論成立19. 證明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(0)=0取x0206。(0,1)使f(x)=0,即原方程在(0,1)上存在實根唯一性：16. 證明：設(shè)F(x)=f(x)x,則由題意有： F(a)=f(a)a0。1 由 h(0)=h(0+) 得：a=b=1 h(1)=h(1+)所以，當(dāng)a=b=1時，f(x)+g(x)在(165。[c,d]204。[0,a]使f()=f(a+)9. 解：設(shè)F(x)=(p+q)f(x)pf(c)qf(d)，則有 F(c)=qf(c)qf(d), F(d)=pf(d)pf(c) 所以，F(xiàn)(c)F(d)=pq[f(c)f(d)]2163。(0,3)使f()=0 即，方程x=2+sinx至少有一個小于3的正根8. 證明：設(shè)F(x)=f(x)f(a+x), 則有 F(0)=f(0)f(a)=f(2a)f(a)， F(a)=f(a)f(2a)所以，F(xiàn)(0)F(a)=[ f(a)f(2a)]2163。6. 解：時，都沒有極限。（不論它多么大），使得當(dāng)時，有，故它的極限不存在。解：時，則反函數(shù)為： ()時，則反函數(shù)為： 時，則反函數(shù)為： 則其反函數(shù)為：8．證明：函數(shù)在內(nèi)有界的充分必要條件是在內(nèi)既有上界，又有下界．證明：首先來看必要性 設(shè)在內(nèi)有界，且n m m，則有上界m；n ，則有下界n； 再來看充分性 設(shè)上界和下界分別是m和n，取 n m ，則，有界。解：，則為奇函數(shù)．(3)。(3)函數(shù)的定義域為。(2)函數(shù)的定義域為。解：，則為偶函數(shù)．(2)。解：則反函數(shù)為： (3)。（3） 極限存在么？解：（1）略（2） （3）因為，所以極限不存在3. 解：當(dāng)時，函數(shù)的極限不存在。當(dāng)，沒有極限， 不一定有極限（，）。(0,2)使f()=0 即，方程ex2= x在(0,2)內(nèi)至少有一個實根7. 證明：設(shè)f(x)=x2sinx，因為 f(0)f(3)=2(1sin3)0 由零點定理知，至少存在一點206。[0,a]使F()=0，即至少存在一點206。(c,d)使F()=0； 又因為abcd,所以對任何正數(shù)p,q，至少存在一點206。0 h(x)= 2x+1 0x1 x+a+1 x179。(10)0所以，存在x206。[x1,x2],使得f(x)= 若f(x1)f(x2),則有f(x1)f(x2),由介值定理知：至少存在一點x206。),因為： 所以，f(x)為(165。3|x1x2| 于是對e0,取d=，對x1,x2206?！喈?dāng)b=0時，保證在x=0處連續(xù)；又∵；，∴為保證在x=0處可導(dǎo)，a=b。（1）解：（2）解： （3）解： （4）解： （5）解：∴5. 計算題。（3）∵∴在x=0處連續(xù)；又∵；∴在x=0處不可導(dǎo)。 （3）證明：即要證當(dāng)時，設(shè)為定義域中的任意一元素，∵由的任意性知，結(jié)論成立。（1） B析：，∴（2） B析：，∴（3） B析：∴∴2. 將適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填入下列括號內(nèi)。解： （1）； ； 則，∴ （2）令； ； ∴（3）令； ； 則（4）球的體積∵由已知即∴∴測球半徑時，%習(xí)題 23 填空題。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）原式變形為 兩邊對求導(dǎo)，有 則；（9） 所以 ；（10） 所以 ；（11）；（12）；（13）；（14）所以 ；（15）。（2） 同理，代入即證。利用換元可得，所以。1在處連續(xù)，但是，所以在處不可導(dǎo)，在處不連續(xù)，所以。1解：由已知在處連續(xù)并且在處左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)，即。導(dǎo)數(shù)和微分。（2）用（1）的方法寫出切線方程，求截距并表示三角形面積，即可。解：， ，所以切線方程：。1解：設(shè)時刻仰角為，氣球上升的高度為，則，兩邊對求導(dǎo)，有。0≤a≤1,不可導(dǎo)。（5）解：由于而所求的導(dǎo)數(shù)是x=0點，所以只需求萊布尼茨公式的前兩項即可：習(xí)題31（A）1證明：顯然f（x）在[2,3]上連續(xù)、可導(dǎo)，且f(2)=f(3) ,顯然在[2,3]連續(xù)。易知極小值為，極大值為.（5） 解 ，令得，易知極小值為.（6） 解 ，令得，極大值為4. (1)證 令，在上連續(xù)，且.時，時，即.（2） 證 令，在上連續(xù)，故在上單調(diào)增加，時，即.（3） 證 令，在上連續(xù)，且.時，故在內(nèi)單調(diào)增加，從而，即.（4） 證 令，在連續(xù)，故在內(nèi)單調(diào)增加，且恒成立，進(jìn)而表明在內(nèi)單調(diào)增加，即當(dāng)時，于是得證.（5） 證 令，在內(nèi)連續(xù)，且。是函數(shù)在上的唯一極大值點即是最大值點，此時。 x時，, 故xa 是f(x)的極大值故選（B）2. 求下列函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點（1）解：函數(shù)的定義域為 令，得x=1 x10曲線y凹拐點凸 由表可知：曲線在內(nèi)是凹的，在內(nèi)是凸的，拐點為（1，2）（2） 解：函數(shù)的定義域為 令 ，得 ax(,)00曲線y凹拐點凸拐點凹 由表可知：曲線在，內(nèi)是凹的，在(,)內(nèi)是凸的,拐點為（）（3） 解：函數(shù)的定義域為 x=0時二階導(dǎo)數(shù)不存在當(dāng) 時， ，曲線是凸的；當(dāng)時， ，曲線是凹的。證明：設(shè)F（x）=f（x）f（1x） 因為f（x）在[]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)F（x）在[]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)根據(jù)羅爾定理得在[]內(nèi)必有使=0=0在[]內(nèi)f（x）≠0 此式成立。所以，該函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為。令，即，因為，故。且和時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，現(xiàn)列表如下：不存在0不存在增極大值增極大值減極小值增所以，該函數(shù)在處存在極大值，極大值為；在處存在極小值，極小值為0。當(dāng)時，增；時，減。證明：因為（可以利用兩式相減，通分后得到），所以， 。 時，； 時， 時。，令，則，即；，則，即；所以，時，函數(shù)為凹函數(shù)； 時，函數(shù)為凸函數(shù)。（2）解：，因為在[0,1]上x2x3≥0且x2x3不恒等于0，所以0，所以。顯見x2+1在[1,4]上單調(diào)增加，有m=2,M=17,即2≤x2+1≤17，x∈[1,4],而ba=3,所以2*3=6≤≤17*3=51，即 6≤≤51.（2）解：記f(x)=1+sin2x,令f’(x)=2sinxcosx=sin2x=(x)在區(qū)間上的駐點x1=,x2=,計算f()=1+1=2,f()=1+0=1,f()=1+1/2=3/2,f()=1+=3/2,所以m=minf(x)=1,M=maxf(x)=2,其中x∈,這里ba=,所以≤≤2.（3）解：記f(x)= ,x∈[0,2],因為f’(x)=(2x1) ,令f’(x)=0,得到唯一駐點x=1/2,又f(1/2)= ,f(0)=1,f(2)= ,所以m=minf(x)= ,M=maxf(x)= ,有因為ba=2，所以2e≤≤2.(x)與g(x)在任何有限區(qū)間上可積（1）如果，那么f(x)與g(x)在[a,b]上是否相等？（2）如果在任意區(qū)間[a,b]上都有，那么f(x)是否等于g(x)?(3)如果（2）中的f(x)與g(x)都是連續(xù)函數(shù)，那么又有怎么樣的結(jié)論？解：（1）不一定。證：令L(x)=f(x)+ g(x),則L2(x)=f2(x)+2f(x)g(x)+ g2(x)≥0,從而有，即≥。(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，且，證明：f(x)在（a,b）內(nèi)至少存在不同的兩個零點。假設(shè)（a, ）上f(x)0, （，b）上f(x)=0可知0=≠0得出矛盾，所以至少在（a,b）上還有一個零點。,，與都是同一個函數(shù)的原函數(shù)，你能解釋為什么同一個函數(shù)的原函數(shù)在形式上的這種差異嗎？同一個函數(shù)的原函數(shù)在形式上的差異只是一個常數(shù)C。正確解：3x2（3）正確（4）沒有談?wù)摚?，）上sinx的正負(fù)性。(x)在x=1的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0, ,計算根據(jù)洛必達(dá)法則：（1）（2）（1）解：原式=（2）解：原式=（B）(x)在[a,b]上可積，證明：至少存在∈[a,b],使得證明：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)羅爾定理，存在∈[a,b]，使得(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)：（1）存在唯一的∈（a,b）,使得；（2）證明：構(gòu)造函數(shù)根據(jù)羅爾定理，至少存在一個∈（a,b）,使得。（C）二、填空題 解：原式== =解：原式== 解：當(dāng)時， 當(dāng)時， 得， 解：由已知得，于是有， ，則三、判斷題 正確 不正確 正確 不正確分析，右邊=，右邊=，故不相等 正確 不正確四、求不定積分解：解：解：解：解： = 解： 解：令則 ， 原式 解：解：1解：1解：1解：1解：1解： 1解：1解：1解：1解：解：2解： 2解：2解：2解：2解：2解：五、解：設(shè)任一點該曲線的切線斜率為，則 ，則有 又曲線經(jīng)過（），即 ，得C=1故該曲線方程為六、解： 當(dāng)時，；得C=0 故（1） 將時，（2） 當(dāng)經(jīng)過的路程為512m時，；解得七、利用換元積分法求下列不定積分解：解：解：解：解： 解：解：解：解：解：1解：1解：1解：1解： 1解： 1解： 1解： 18 解： 1解： 解：2解： 2解:2解： 2解：2解：2解： 2解： 2解： ，令，則,變量代換得，原式 2解： ，令解:八、用分部積分發(fā)解下列不定積分.解：解： 解：解：解： 解：7.解：解：=解： = 1解：1解： = 1解： 1解：1解：1解：1解： 于是有，即，1解： 得， 即，19 、解：解：2解： 九、證明下列遞推公式（1）證明： 可求得，即，命題得證。因為無論弦由垂直位置向順時針或逆時針方向轉(zhuǎn)動時，（以x軸將圖像分為兩部分考慮）增大面積總是大于極小