【正文】 ：第7節(jié)1：解：2：解：由于：則有：時(shí)，；時(shí)，3：解：對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：4：解：由得：兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：5：解：由得： 6：解：由可得：7：解：由兩邊對(duì)得8：證明：由得： 得證.9：解：由得根據(jù)可得：漸屈線參數(shù)方程為：即：.10：解：由得：由得：漸屈線參數(shù)方程為：所以漸屈線方程為：即：.11：解：由得：根據(jù)公式得：根據(jù)的公式可得：則有所求曲率圓方程為：.12：解：由得：根據(jù)得：.13：解：由已知：可令則有：14：解：由得15：解：可另：，則有：由此可得：根據(jù)公式可得曲率中心為：所有所求的漸屈線參數(shù)方程為：.16：解：由得：則有：根據(jù)公式得曲率中心為：則有漸屈線的參數(shù)方程為：第三章總復(fù)習(xí)題設(shè)f（x）在[]上連續(xù)，在()內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，對(duì)任意的x∈（）有f（x）≠0證明：存在∈（）使。（1）解：，即 ，解得，解得。（1）解：。（2）解：， ，令，即，解得。令，即，因?yàn)?，故?5 證明不等式。該在和處不存在，所以在閉區(qū)間[0，2]可能的極值點(diǎn)為。解：（1）凹凸性。 第四章第一節(jié)：定積分的概念1：注：2：注：3：注：由均分可得：再由定義可知：由夾逼原理知：4（1）：4（2）： =4（3）： =5（1）：由得：可知：原式的幾何意義為：以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在第一象限的面積，即為：5（2）：由圖象可知：面積代數(shù)和為：0所以：5（3）：由圖象知：所以：6：金屬絲的質(zhì)量為：7：以水面上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，垂直向下為軸方向建立直角坐標(biāo)系，在處所受到的壓強(qiáng)為：；面積元為：所以：8：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有與與軸圍成的圖形面積相等，符號(hào)相反，所以有： 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，則有與與軸圍成的圖形面積相等，符號(hào)相同，所以有：習(xí)題42 （A）（1）解：，當(dāng)f(x)不等于0時(shí)，因?yàn)閒(x)≥0,而是數(shù)值，它只有是零和不是零兩種可能，設(shè)若=0，在[a,b]上必有f(x)≡0,與f(x) 不恒等于0矛盾，所以得出結(jié)論：若在[a,b]上，f(x)≥0且f(x)不恒等于0，則0. 在[0,1]上ex≥0且ex不恒等于0，所以0，所以。（1）解：只須求出f(x)在區(qū)間上的最大、最小值M與m，便可用估值定理估計(jì)。（3）反證法：假設(shè)f(x)不恒等于g(x),設(shè)f(x)0, ,所以，(x)≡g(x)矛盾，所以f(x)≡g(x).：若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間上可積，則。 （B）：若函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則。那么在（a, ）和（，b）內(nèi)f(x)異號(hào)。c=2. 當(dāng)x=0和x=時(shí)的導(dǎo)數(shù)。解：(1) arctanx (2) (3) (4) (5) (6) ，錯(cuò)在何處（1）(2) (3) (4) 解：（1）忘記了x3對(duì)x的一步求導(dǎo) 正確解：（2）計(jì)算過程失誤，先化簡，再求導(dǎo)。連續(xù)（1） （2） （3）（4） （5）解：（1）根據(jù)洛必達(dá)法則（2）根據(jù)洛必達(dá)法則(3)根據(jù)洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮?。?）根據(jù)洛必達(dá)法則（5）根據(jù)洛必達(dá)法則(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)且f’(x)≤0, .證明：在（a,b）內(nèi)有F’(x)≤0.其中用到積分中值定理和拉格朗日微分中值定理。一、 選擇題（A）（D） 解:求的原函數(shù)，即對(duì)f(x)求不定積分 ，令C=1，即得D。(1)證明：令1x=t,則即 (2) 證明：令 則即 (1)解：(2)解： 12.(1) 解：當(dāng)時(shí)由于 所以 當(dāng)x=0時(shí)，由： 所以： 所以(2)由于，所以連續(xù)：由于f(x)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 由積分中值定理 所以： ，：：所以 即16.(1) 證明：由于f(x)是偶函數(shù)，所以 即是偶函數(shù)(2) 證明：由于又由于f(x)單調(diào)不減所以 即 因此單調(diào)不減習(xí)題47（A）(1) 所求的面積為：(2) 所求的面積為：(3) 所求的面積為：(4) 所求的面積為：(5) 所求的面積為：(6) 所求的面積為：(7) 所求的面積為：(8) 所求的面積為：(9) 所求的面積為：(10) 所求的面積為：(11) 所求的面積為：，當(dāng)弦垂直于x軸時(shí)面積最小?？偭?xí)題四：、1. 。因此當(dāng)弦垂直于x軸時(shí)面積最小。（2）證明：整理得，兩邊同除以n得， ，即，命題得證。再證唯一性，,（2）得證。正確解：4，試證明下列各題（1） （2）（3） （4），且k≠m,試證明下列各題（1） （2） （3）=f(x)的一階導(dǎo)數(shù)。例如，與都是函數(shù)2sinxcosx的原函數(shù)。習(xí)題43 （A）1. 單項(xiàng)選擇題（1） 設(shè)，則當(dāng)x→0時(shí)f(x)是g(x)的 （ B ）（A） 低階無窮小 （B）高階無窮小 （C）等價(jià)無窮小 （D）同階但非等價(jià)無窮小提示：洛必達(dá)法則（2） 設(shè)f(x)是連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，f(0)=0,f’(0)≠0, 。證明：根據(jù)積分中值定理，在[a,b]上，存在，滿足=0,得到=0，是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。因?yàn)锳x2+Bx+C≥0,可知B24AC≤0,從而有，從而有。f(x)，g(x)恰巧在某一區(qū)間[a,b]積分值相等，但是不能說明f(x),g(x)是相等的，例如f(x)= ,g(x)= ,但是實(shí)際上sinx≠tanx.(2)不恒等，前提必須f(x),g(x)都是連續(xù)函數(shù)。（3）解：，因?yàn)樵赱1,2]上x2x3 0且x2x3不恒等于0，所以0，所以。（2）漸近線因?yàn)?，所以為函?shù)的垂直漸近線。所以，在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值分別是和。17 求在閉區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值。所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，因?yàn)閿?shù)列{}中，取和分別代入原函數(shù)，解得和，因?yàn)椤?4 求數(shù)列{}的最大項(xiàng)。當(dāng)時(shí)，為增；時(shí)，為減。（2）解：，故函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，該函數(shù)的定義域?yàn)椋栽摵瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增。設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在一點(diǎn)使得。拐點(diǎn)為（0，0）（4） 解：函數(shù)的定義域?yàn)? 令 則,其中k=0,1,2,3…… 當(dāng) 時(shí)， ，曲線是凸的；當(dāng) 時(shí)， ，曲線是凹的。所以當(dāng)時(shí)，24. 證 記, 令，即在內(nèi)單調(diào)增加，又因?yàn)椋?。時(shí)，即在內(nèi)單調(diào)增加，即.（6） 證 令，在內(nèi)連續(xù)，即在內(nèi)單調(diào)增加，即.5. （1）解 函數(shù)在上連續(xù)，必能取得最大值和最小值.，比較后知在上的最大值為，最小值為.（2） 解 由于，故即為最小值點(diǎn).（3）解 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)或時(shí)，； 由得，比較知的最大值為，最小值為.（4） 解 ，知函數(shù)的最大值為，最小值為.6. 解 令，.由得，有在內(nèi)單調(diào)減少，在內(nèi)單調(diào)增加，所以僅在內(nèi)有一實(shí)根.7. 解 令。 則有介值定理可知，在[2,3]區(qū)間上必存在一點(diǎn)使得 所以羅爾定理對(duì)f（x）在區(qū)間[2,3]上成立2證明：顯然函數(shù)在[0,]上連續(xù)、可導(dǎo)， ， 又，而10所以由介值定理可知必存在一點(diǎn)，使得所以拉格朗日中值定理對(duì)f（x）在區(qū)間[0,]上成立3證明：令，顯然其在[0,1]上連續(xù)、可導(dǎo)。a1可導(dǎo)。習(xí)題25（A）1（1）解： …… 設(shè) 則 （A）（2）解：當(dāng)x0時(shí)： 當(dāng)x0時(shí)： 所以答案選（C）2（1） （2） （3） 對(duì)方程兩端求導(dǎo)，得 再次求導(dǎo) 得將代入得 （4）， 對(duì)方程兩端求導(dǎo)，將y（0）=1代入得再次求導(dǎo)得：將代入得 3（1）解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得 即 注意到y(tǒng)即y的一階導(dǎo)數(shù)都是x的函數(shù)所以對(duì)兩端再次求導(dǎo)得：（2）解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得 所以 對(duì)上式求導(dǎo)得 ）（3）對(duì)方程兩端求導(dǎo)得：注意到f是x，y的函數(shù) 所以（4）觀察方程兩邊，可對(duì)其取對(duì)數(shù)簡化計(jì)算 再對(duì)方程兩邊求導(dǎo)得 ：再次求導(dǎo)得：（5）解：有參數(shù)方程所確定函數(shù)的倒數(shù)公式得 所以（6） （7） （8） （9）由于應(yīng)用萊布尼茨公式，得4（1）因?yàn)? 所以（2） （3） 5（1）解：因?yàn)? 所以（2） 依此類推 （3） （4） （5） 6（1） （2）左式==右式==左式（3） （4） 將之代入方程得： （5） 將上兩式代入方程得習(xí)題25（B）7解：要使f（x）在x=0處有二階導(dǎo)數(shù)則需滿足以下條件8解： 所以9解： ，顯然 ，極限不存在依導(dǎo)數(shù)定義可知f（x）在x=0處存在2階導(dǎo)數(shù)，在x=0處不連續(xù)。解：， ，所以切線方程：，法線方程：即。， 所以 。（1），；（2）；（3）；（4）；（5） ；（6）， ；（7）；（8），所以；（1），所以得 ；（2），所以；（3）同（1），有；（4）；（5）；（6）將兩個(gè)式子分開，和，分別求導(dǎo)有和，所以原式 ；（7）；（8）；（9）；（10）；（1）；（2）；（3）。1解：其中表示的同階或高階無窮小。1解：，若在處連續(xù)，則存在，即存在，所以。（），則 。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）2；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）微分的幾何意義：對(duì)應(yīng)曲線的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。習(xí)題 2—1 （B）8.解：在處的線密度即為質(zhì)量對(duì)長度的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在處的值，9.證明：在x=0處可導(dǎo)∴原式=證畢。（4），∴在x=0處連續(xù)；又∵∴在x=0處不可導(dǎo)。（1） 解：，可知，在處的切線及法線斜率分別為 ∴切線方程為即；法線方程為即（2） 解：可知，在處的切線及法線斜率分別為 ∴切線方程為 即；法線方程為 即。2. 填空題。[0,1]，當(dāng)|x1x2|d時(shí)，就有：|x13x32|e. 故f(x)=x3在區(qū)間[0,1]上一致連續(xù)21. 習(xí)題 2—1 （A）1. 單項(xiàng)選