【正文】 1)坐標系 i1的 Z軸 Zi1與關(guān)節(jié) i的軸線重合 ； ? 2) X軸 Xi1為相鄰 Z軸 (Zi與 Zi1)的公垂線 (指向由關(guān)節(jié) i1到關(guān)節(jié) i)； ? 3） Y軸則按右手系確定； ? 4） 0號坐標系在機座上位置和方向可任選，只要 Zo軸沿著第一關(guān)節(jié)運動軸； ? 5）最后一個坐標系可放在手的任何部位，只要 xn與 zn1軸垂直即可 。最后一個桿件與工具相連。 再平移（ 4， 3， 7）變換后：得 ? 它表示變換后，桿件動坐標系 xjyjzj各軸上單位矢量的頂點和坐標原點，在參考坐標系 xiyizi上的新坐標值。 而最右邊列矢量（ 0001） T表示兩個坐標重合的原點 Oi (Oj) 例：當桿件的附體坐標系 xjyjzj相對于參考坐標系 xiyizi先繞 zi軸轉(zhuǎn) θ =90176。 實際坐標和齊次坐標的關(guān)系如下： Px= wpx/w Py= wpy/w Pz= wpz/w 對于三維空間的位置矢量，齊次坐標表達并不是唯一的 ? 例如：齊次坐標 : P1=（ w1px,w1py,w1pz,w1） T P2=（ w2px,w2py,w2pz,w2） T 表示的是同一位置矢量 : P=（ Px,Py,Pz） T。（此外，旋轉(zhuǎn)矩陣的行列對右手坐標系為 +1，而對左手坐標系為 1。 也可寫成行矩陣 : E=[ cosθ cosα cosβ ]T ll??????????????c o sc o sc o se[例 ]有轉(zhuǎn)動坐標系 ouvw和參考坐標系 oxyz如圖所示。 繞 X軸旋轉(zhuǎn)軸 α 角的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ????????????????????c o ss i n0s i nc o s0001),( XRR jiij繞 Y軸旋轉(zhuǎn) β 角后的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ????????????????????c o s0s i n010s i n0c o s),( YRR jiij繞 Z軸旋轉(zhuǎn) θ 角后的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ??????????? ???1000c o ss i n00s i nc o s),( ??????ZRRjiij轉(zhuǎn)動矩陣的 4個特點 （ 1） 主對角線上有一個元素為 1， 其余均為轉(zhuǎn)角 d（ θβ） 的余弦 。關(guān)節(jié)的相對運動導致桿體運動，使手定位于所需的方位上。 ? ? Tn21 )( t )q,( t ) , .. .. . .q( t ) ,q(q ( t ) ?運動學逆問題 已知操作機桿件的幾何參數(shù)，給定操作機未端執(zhí)行器相對參考坐標系的期望位置和姿態(tài)（位態(tài)），操作機能否使其未端執(zhí)行器達到這個預期的位姿？如能達到，那么操作機有幾種不同形態(tài)可滿足同樣條件？ 兩種關(guān)系的簡單方框圖 桿件的幾何參數(shù) 運動學正問題 操作機未端執(zhí)行器位態(tài) 關(guān)節(jié)角 ( t)q,( t) ,.. .. ..q( t) ,q n21( t)q,( t) ,.. .. ..q( t) ,q n21關(guān)節(jié)角 運動學逆問題 桿件的幾何參數(shù) 二、 坐標系與坐標變換 ? (一 )、轉(zhuǎn)動矩陣 機器人的執(zhí)行機構(gòu)屬于空間機構(gòu)，因而可以采用空間坐標變換基本原理及坐標變換的矩陣解析方法建立描述各構(gòu)件（坐標系）之間相對位置和姿態(tài)的矩陣方程。 四、繞二個坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 ? 設坐標系 OXi Yi Zi 先繞 Zi 軸旋轉(zhuǎn) θ 角形成坐標系 OXm Ym Zm ,再繞 Xm 軸旋轉(zhuǎn) α角 ， 形成坐標系OXj Yj Zj 繞二個坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 前一個旋轉(zhuǎn) : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mmimmii rRrZRr ???? ?? ,),(后一個旋轉(zhuǎn) : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? jjmjjmm rRrXRr ???? ?? ,),(坐標系 j向 i進行坐標變換的矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? jjijjijjmmijmimiirRrRrRRrZRZRr??????????????????,),(),(),( 此式表明，運用轉(zhuǎn)動矩陣的依次連乘，可進行坐標系的連續(xù)變化 此時的轉(zhuǎn)動矩陣為 : ? ? ? ??????????????????????????????????? ???????????????????????????c o ss i n0s i nc o sc o sc o ss i ns i ns i nc o ss i nc o sc o ss i n0s i nc o s00011000c o ss i n0s i nc o s),(, jijiRR繞三個坐標軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣 次序是 1繞 Z軸轉(zhuǎn)過 θ 角； 2繞新的 Xk軸轉(zhuǎn)過 α 角； 3繞新的 Yl軸轉(zhuǎn)過 β 角形成j坐標系 ? ? ? ? ? ? ? ????????????????????????????????? ????????????????????????cssccssccsscRRRRjllkkiji001000000110000,注意 : ? 矩陣相乘一般是不可交換的， 即 [A] [B] ≠[B] [A] 。 ) ),( zyx kji ),( wvu kji? 如選擇固定在 ouvw坐標系上的點 p為 （ 1，0， 0） T即 Puvw =iu ,那么旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列就表示此點在 oxyz坐標系中的坐標分量 。 旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì) 四 : 旋轉(zhuǎn)矩陣的逆陣就是它的轉(zhuǎn)置 。那么，利用變換矩陣的概念，對純轉(zhuǎn)動的動作 , 3*3旋轉(zhuǎn)矩陣可擴展成 4*4齊次變換矩陣，由此，前面的旋轉(zhuǎn)矩陣用齊次變換矩陣表示。 則 : xi zj yi xj zi yj θ β Y’j ?????????????? ??100001000090c o s90s i n0090s i n90c o s0000?zM????????????????1000090cos090sin0010090sin090cos0000?yM由于是繞固定參考轉(zhuǎn)動。利用合適的齊次變換矩陣決定兩個點的新位置 ai和 bi。其中只有旋轉(zhuǎn)和棱柱形關(guān)節(jié)是機器人操作中常見的。 3)ai為沿 Xi軸從 Zi1到 Zi的距離，與 Xi正方向一致時為正 。 ? 機器人機構(gòu)可以認為是一系列桿件由關(guān)節(jié)連接起來，我們把描述桿件之間關(guān)系的齊次變換矩陣記為 M陣 從固定系到手部的各坐標系之間的變換矩陣 ? M1描述第一個桿系相對固定系的位姿 。 …… 而最后的一個坐標系的原點只要其 X6軸與 Z5軸垂直即可，故和 3， 4， 5，6，共原點。 β )=sindsocβ 177。 PUMA機器人操作機達到同一位置有八種可能 ? 其手臂相對于機座可形成左臂和右臂兩種位形 。4? 39。5? 39。39。 ? 若給出關(guān)節(jié)角的取值范圍： 150o≤ θ 3≤ 0o； 90o≤ θ 2≤ 0o ? 下面分兩種情況討論上式： ? 在 150o≤ θ 3≤ 0o范圍內(nèi) ， 取 θ 3為參數(shù) ，θ 2為變量 ， 由上式得： y=(h2+h3cθ 3)sθ 2(h3sθ 3)cθ 2 zd1d0=(h3cθ 3+h2)cθ 2(h3sθ 3)sθ 2 將上兩式平方在相加得： y2+(zd1d0)2=(h2+h3cθ 3)2+(h3sθ 3)2=R2 它是在 yz平面內(nèi)以 01點為圓心， R為半徑的同心圓族，這里 R是 θ 3的函數(shù)， 圖中 : 情況 1: θ 3=0o , θ 3=90o θ 3=120o， θ 3=150o 情況 2: θ 2=0o , θ 2=30o θ 2=60o， θ 2=90o ? 在 90o≤ θ 2≤ 0o范圍內(nèi) ， 取 θ 2為參數(shù) ，θ 3為變量 ， 由上式得： y+h2sθ 2=(h3cθ 2)sθ 3(h3sθ 2)cθ 3 zh2cθ 2dod1=(h3cθ 2)cθ 3(h3sθ 2)sθ 3 ? 得方程： ? （ y+h2sθ 2） 2+(zh2cθ 2d1d0)2=h32 ? 它是在 yz平面內(nèi) ， 以 (h2sθ 2， h2cθ 2+d1+d0)點為圓 心 ,h3為半徑的圓 。 機器人的微運動 ? 設機器人運動鏈中某一桿件對于固定系的位置為 T， 經(jīng)過微運動后該桿對固定系的位姿為 T+dT， 若這個微運動是相對于固定系進行的 ， 總可以用微小的平移和旋轉(zhuǎn)來表示 ， 即： （ 左乘 ） I]T))M (k . [M (dT)T)M (k . (dT)T)M (k . (ddTTzyxzyxzyx????????d相對于某個桿系 i進行 ? 根據(jù)齊次變換的相對性，若微運動是相對于某個桿系 i進行的，則 T+dT可以表示。 ? 它是一個有一段開口的環(huán)形空間，其極限位置取決于 θ 1的轉(zhuǎn)角范圍。 （ 2）用運動學矩陣方程確定工作空間 ? 求 6r機器人操作機即 PUMA機器人的工作空間 。6? 39。39。 1? 39。因此前三關(guān)節(jié)連同其桿件稱為位置機構(gòu)。 以 0M11左乘 (a) 式 :0M4=1M22M33M4得 : 0M11 0M4=1M22M33M4或簡寫成 : 0M11 0M4=1M4 (b) ? 同樣可以有 : 1M21 0M11=0M4=2M4 (c) 2M31 1M21 0M10M4=3M4 (d) ? 以上面（ b） (c)(d)的每一個矩陣方程可得 12個方程，在這些關(guān)系式中可選擇只包含一個或不多于兩個待求運動參數(shù)的關(guān)系式，使在求解運動參數(shù)時，不用或少用數(shù)學上的消元法，在多數(shù)情況下，前面由 (b)(d)的逆推過程不一定全部作完，就可利用等式兩端矩陣中所包含對應元素的關(guān)系式，求得所需的全部待求運動參數(shù)。其中桿件 2和 3形成移動關(guān)節(jié)，其余 5個均為方程旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。 桿件坐標系之間變換的步驟 ? 將 Xi1軸繞 Zi1軸轉(zhuǎn) θ i角，使它同 Xi軸對準（即 Xi1軸與 Xi軸平行并指向同一方向）； ? 沿 Zi1軸平移距離 di，使 Xi1軸與 Xi軸重合， ? 沿 Xi軸移動距離 hi，使兩坐標系。 1?n?表達相鄰桿件相互關(guān)系的兩個參數(shù) di是沿關(guān)節(jié) i的軸線兩個公垂線的距離 (兩連桿的偏置 ) ，θ i是垂直于關(guān)節(jié) i軸線的平面內(nèi)兩個公垂線的夾角 (兩連桿之間的關(guān)節(jié)角 ) 建立桿件的坐標系 ? 按 DH的方法 : ? i1系的坐標原點設在關(guān)節(jié) i1的軸線和關(guān)節(jié) i的軸線的公垂線與關(guān)節(jié) i的軸線相交之處 . ? i1系的 Z軸 Zi1與關(guān)節(jié) i的軸線重合 ? X軸 Xi1與上述公垂線重合，且方向從關(guān)節(jié) i1指向關(guān)節(jié) i ? 。因此， N個自由度的操作機就有 N對關(guān)節(jié) 桿件， 0號桿件固聯(lián)在支座上，通常在這里建立一個慣性坐標系。 繞 yi軸轉(zhuǎn) 90176。前三個對角元素形成局部擴大或比例變化，例如： ??????????????????????????????????????111000000000000czbyaxzyxcba第四個對角元素產(chǎn)生整體比例變換 ? 例如 : ??????