【正文】 6655443322110606554433221616554433262655443636554646565TMMMMMMTMMMMMTMMMMTMMMTMMTMT????????????????????10006zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT手部位置的正向求解 上式中： ???????????65264542z65216465416465421y65216465416465421xcsc)ssc6c(csncsss)sccc(sc)sscc(ccsncssc)ccss(ss)sscc(cc??????????????251646542z65216465416546421y65216465416546421xscc)cscc(cs0ssss)cccc(sc)cccc(scs0sssc)cccc(ss)cccc(scc0???????????s 2 s 5 c 4c 2 c 5azs 1 s 2 c 5c 1 s 4 s 5s 1 s 5 c 2 c 4ayc 1 c 5 s 2s 1 s 4 s 5c 1 c 2 c 4 s 5ax??????????322121321213dcpzdcssdpydsscdpx6系的原點 ? 這里，我們把 6的坐標(biāo)原點與 ,3,4,5的坐標(biāo)原點重合在一起，實際上，也可把 6的原點移動到工件的中心及夾持器的中心，這樣就可少乘一個矩陣，而求出手部的位姿，但這時的 d6≠0 ，而是 d6=dT。 4)di為繞 Xi軸從 Zi1到 Zi的轉(zhuǎn)角，也以逆時針為正。 ? 解 : ??????????????????????????????????????????????113912341000310000105001ia?????????????????????????????????????????????1121114261000310000105001ib平移后的兩點是 ai=(9,3,1)T和 bi=(11,2,1)T [例 ]若動坐標(biāo)系先繞 ox軸轉(zhuǎn) α 角，再沿轉(zhuǎn)動后的 oyj,軸平移 b個單位，求對應(yīng)的合成齊次變換矩陣 M。 p?基本齊次旋轉(zhuǎn)矩陣 ????????????????100000000001, ????? csscM x????????????????100000001000,?????csscM y?????????????? ??100001000000,?????csscM z基本齊次平移矩陣 ? 齊次變換矩陣的右上角 3*1子矩陣具有使ouvw附體坐標(biāo)系平移的作用。 ? 類似地 ， 若取點 P(0,1,0) T 和 （ 0， 0， 1）T， 則可看出旋轉(zhuǎn)矩陣的第二列和第三列分別表示 ouvw坐標(biāo)系的 ov軸和 ow軸單位矢量在 oxyz坐標(biāo)中的坐標(biāo)分量 。 剛體位置和方向的矩陣表示 ? 設(shè)有一剛體如圖所示， O’為剛體上任意一點， oxyz為固定坐標(biāo)系，剛體在 O系中的坐標(biāo)可用一個列矩陣表示 ???????????????????0000ZYXRX Y Z O o’ 在剛體上建立一個坐標(biāo)系 O’X’Y’Z’ 剛體的方向可以由 O’系坐標(biāo)軸的方向表示，令 代表 x’、 y’、 z’坐標(biāo)軸方向的單位矢量 btn ??? ,X Y Z O o’ X’ Y’ n?Z’ t?b?剛體在固定坐標(biāo)系內(nèi)的方向表示 每個單位矢量在 O系上的分量為 O’系各坐標(biāo)軸投影在 O系上的方向余弦，于是剛體在固定坐標(biāo)系內(nèi)的方向 可用由三個矢量組合起 來的 3階矩陣 C表示。 先看繞 x軸的旋轉(zhuǎn)， 如圖 oXj Yj Zj 系可認(rèn)為 是 oXi Yi Zi系繞 X軸旋轉(zhuǎn)角 而成 。這是正交坐標(biāo)系的一個基本性質(zhì)。前三個對角元素形成局部擴(kuò)大或比例變化，例如： ??????????????????????????????????????111000000000000czbyaxzyxcba第四個對角元素產(chǎn)生整體比例變換 ? 例如 : ??????????????????????????????????????szyxzyxs 1000010000100001這里 s＞ 0,實際矢量的坐標(biāo)為 : sxpx ? sypy ?szpz ?1?? ssw齊次變換矩陣把在 ouvw坐標(biāo)系中用齊次坐標(biāo)表示的矢量映射到 oxyz參考坐標(biāo)中 ? 這就是說，當(dāng) w=1時 = xyzp?uvwpM?????????????????????????10001000333231232221131211pasnpAAApAAApAAAMzyx四 ,齊次變換矩陣的幾何解釋 ? 當(dāng)變換矩陣為單位矩陣時，即 ???????????????1000010000100001M 說明桿件的附體坐標(biāo)系與參考坐標(biāo)系完全重合自左至右的列矢量 （ 1 0 0 0） T （ 0 1 0 0）T 和 (0010)T表示兩坐標(biāo)系的各對應(yīng) xi (xj)軸 ，yi (yj)軸和 zi (zj)軸 。因此， N個自由度的操作機(jī)就有 N對關(guān)節(jié) 桿件， 0號桿件固聯(lián)在支座上，通常在這里建立一個慣性坐標(biāo)系。 桿件坐標(biāo)系之間變換的步驟 ? 將 Xi1軸繞 Zi1軸轉(zhuǎn) θ i角，使它同 Xi軸對準(zhǔn)（即 Xi1軸與 Xi軸平行并指向同一方向）； ? 沿 Zi1軸平移距離 di，使 Xi1軸與 Xi軸重合， ? 沿 Xi軸移動距離 hi，使兩坐標(biāo)系。 以 0M11左乘 (a) 式 :0M4=1M22M33M4得 : 0M11 0M4=1M22M33M4或簡寫成 : 0M11 0M4=1M4 (b) ? 同樣可以有 : 1M21 0M11=0M4=2M4 (c) 2M31 1M21 0M10M4=3M4 (d) ? 以上面（ b） (c)(d)的每一個矩陣方程可得 12個方程，在這些關(guān)系式中可選擇只包含一個或不多于兩個待求運動參數(shù)的關(guān)系式，使在求解運動參數(shù)時，不用或少用數(shù)學(xué)上的消元法，在多數(shù)情況下，前面由 (b)(d)的逆推過程不一定全部作完，就可利用等式兩端矩陣中所包含對應(yīng)元素的關(guān)系式，求得所需的全部待求運動參數(shù)。 1? 39。6? 39。 ? 它是一個有一段開口的環(huán)形空間，其極限位置取決于 θ 1的轉(zhuǎn)角范圍。 ? 若給出關(guān)節(jié)角的取值范圍： 150o≤ θ 3≤ 0o； 90o≤ θ 2≤ 0o ? 下面分兩種情況討論上式： ? 在 150o≤ θ 3≤ 0o范圍內(nèi) ， 取 θ 3為參數(shù) ，θ 2為變量 ， 由上式得： y=(h2+h3cθ 3)sθ 2(h3sθ 3)cθ 2 zd1d0=(h3cθ 3+h2)cθ 2(h3sθ 3)sθ 2 將上兩式平方在相加得： y2+(zd1d0)2=(h2+h3cθ 3)2+(h3sθ 3)2=R2 它是在 yz平面內(nèi)以 01點為圓心， R為半徑的同心圓族，這里 R是 θ 3的函數(shù)， 圖中 : 情況 1: θ 3=0o , θ 3=90o θ 3=120o， θ 3=150o 情況 2: θ 2=0o , θ 2=30o θ 2=60o， θ 2=90o ? 在 90o≤ θ 2≤ 0o范圍內(nèi) ， 取 θ 2為參數(shù) ，θ 3為變量 ， 由上式得： y+h2sθ 2=(h3cθ 2)sθ 3(h3sθ 2)cθ 3 zh2cθ 2dod1=(h3cθ 2)cθ 3(h3sθ 2)sθ 3 ? 得方程： ? （ y+h2sθ 2） 2+(zh2cθ 2d1d0)2=h32 ? 它是在 yz平面內(nèi) ， 以 (h2sθ 2， h2cθ 2+d1+d0)點為圓 心 ,h3為半徑的圓 。5? 39。 PUMA機(jī)器人操作機(jī)達(dá)到同一位置有八種可能 ? 其手臂相對于機(jī)座可形成左臂和右臂兩種位形 。 …… 而最后的一個坐標(biāo)系的原點只要其 X6軸與 Z5軸垂直即可，故和 3， 4， 5，6，共原點。 3)ai為沿 Xi軸從 Zi1到 Zi的距離，與 Xi正方向一致時為正 。利用合適的齊次變換矩陣決定兩個點的新位置 ai和 bi。那么，利用變換矩陣的概念，對純轉(zhuǎn)動的動作 , 3*3旋轉(zhuǎn)矩陣可擴(kuò)展成 4*4齊次變換矩陣，由此，前面的旋轉(zhuǎn)矩陣用齊次變換矩陣表示。 ) ),( zyx kji ),( wvu kji? 如選擇固定在 ouvw坐標(biāo)系上的點 p為 （ 1，0， 0） T即 Puvw =iu ,那么旋轉(zhuǎn)矩陣的第一列就表示此點在 oxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量 。 ? ? Tn21 )( t )q,( t ) , .. .. . .q( t ) ,q(q ( t ) ?運動學(xué)逆問題 已知操作機(jī)桿件的幾何參數(shù)，給定操作機(jī)未端執(zhí)行器相對參考坐標(biāo)系的期望位置和姿態(tài)（位態(tài)），操作機(jī)能否使其未端執(zhí)行器達(dá)到這個預(yù)期的位姿？如能達(dá)到，那么操作機(jī)有幾種不同形態(tài)可滿足同樣條件？ 兩種關(guān)系的簡單方框圖 桿件的幾何參數(shù) 運動學(xué)正問題 操作機(jī)未端執(zhí)行器位態(tài) 關(guān)節(jié)角 ( t)q,( t) ,.. .. ..q( t) ,q n21( t)q,( t) ,.. .. ..q( t) ,q n21關(guān)節(jié)角 運動學(xué)逆問題 桿件的幾何參數(shù) 二、 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換 ? (一 )、轉(zhuǎn)動矩陣 機(jī)器人的執(zhí)行機(jī)構(gòu)屬于空間機(jī)構(gòu)，因而可以采用空間坐標(biāo)變換基本原理及坐標(biāo)變換的矩陣解析方法建立描述各構(gòu)件（坐標(biāo)系）之間相對位置和姿態(tài)的矩陣方程。 繞 X軸旋轉(zhuǎn)軸 α 角的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ????????????????????c o ss i n0s i nc o s0001),( XRR jiij繞 Y軸旋轉(zhuǎn) β 角后的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ????????????????????c o s0s i n010s i n0c o s),( YRR jiij繞 Z軸旋轉(zhuǎn) θ 角后的轉(zhuǎn)動矩陣 ? ? ? ??????????? ???1000c o ss i n00s i nc o s),( ??????ZRRjiij轉(zhuǎn)動矩陣的 4個特點 （ 1） 主對角線上有一個元素為 1， 其余均為轉(zhuǎn)角 d（ θβ） 的余弦 。（此外，旋轉(zhuǎn)矩陣的行列對右手坐標(biāo)系為 +1，而對左手坐標(biāo)系為 1。 而最右邊列矢量