【正文】 x。F(x)=237。a+barcsin0=0,238。 2 隨機(jī)變量x具有密度函數(shù)236。b0ba+1yeaydy=Aba+1T(a+1)，故A=1ba+1T(a+1)。212sinpxdx=1/2。x1+L+xk246。1nn證：xj/229。都存在且相等i=1235。229。235。x1/229。nn248。1=1242。rrer。xpx(x)=Ex/e。1n1。(Dx!163。[Ex163。2pp1(|x|p+|y|p故Ex+hp163。0238。238。解：p(x,y)=px(x)ph|xph(y)=1242。242。2222s+t235。=2p(t12+s22236。(s+t)(2pts)exp237。1}獨(dú)立，證明：h165。E(229。s246。 =229。k=1165。s=k248。x0x163。costuu+a220du由拉普拉斯積分165。(3)[j(t)]（n22為正整數(shù)）證：（1）若j(t)是隨機(jī)變量x的特征函數(shù)，則j(t)是隨機(jī)變量h=x的特征函數(shù)； （2）若x與h獨(dú)立同分布，其特征函數(shù)為j(t)。；1+it2e1t232。0。238。 試舉一個(gè)滿足（1）j(t)=j(t)，（2）|j(t)|163。239。165。a247。t246。a t246。242。p232。h0，證明：jh(t)=p(t)sinthth 也是特征函數(shù)。249。247。xi的特征函數(shù)為i=1[j(t)]nn230。na，na所以229。0[]x1,y1其它 證明：x+h的特征函數(shù)等于x，h的特征函數(shù)的乘積，但是x與并不相互獨(dú)立。 =237。t248。 設(shè)隨機(jī)變量x服從柯西分布，其特征函數(shù)為et，又令h=ax(a0)，證明x+h的特征函數(shù)等于x、h的特征函數(shù)的乘積，但x與h不獨(dú)立。1不成立11it （4）不是，因?yàn)閖(t)=185。（2）不是，因?yàn)楫?dāng)1t0時(shí)，1t1+t21。 故x與h的特征函數(shù)皆為sintt，所以x+h的特征函數(shù)等于x、h的特征函數(shù)的乘積。247。2236。4239。b232。n。0的特征函數(shù)230。232。230。11cosatdt。dx=231。ax是密度函數(shù)由于p(x)179。248。ej(t)dt=12p242。 242。 解：由于242。0 則j(t)滿足（1），（2），但j(t)在t=0點(diǎn)不連續(xù)，故j(t)不是特征函數(shù)。1=229。4239。0。（5）it。(itb)xitaa1aaxdx=b/t(a)t(a)/(bit)=(1)b=(1itb)a 若j(t)是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）j(t)。u+a=22apeitb242。T(a)239。P(h=s)247。165。230。s=1165。249。故在h=y時(shí)，x的條件分布為N(sm+tys222+t2,2+t2st)。x故 h~N(m,s2+t).px|h(x|y)2=p(x,y)ph(y)=2+s222236。dxms+yt234。p(x,y)dx=exp237。 222pst2t2s238。故p|x236。p(x,y)=237。1時(shí)，x是x的下凸函數(shù)，故x+y2pp163。（設(shè)x,h都是連續(xù)型或離散型隨機(jī)變量）： （1）若x與h都有p179。ij163。證：0163。xxeepx(x)dxr1r242。Exr 若對連續(xù)型隨機(jī)變量x，有Er165。165。i=1235。k247。所以i=1i=1235。(j=1,L,n)。xj/229。 n248。k163。 解：Eh=242。165。1xdxx220=2p242。 解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，236。 設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為236。0238。x163。1 0x,y163。239。0238。dy)dt=x14239。0|x|1,|y|1其它 證明：x與h不獨(dú)立，但x與h獨(dú)立。px(xy)ph(y)|y|dyly=242。12239。1時(shí)，px(x)=1a2242。 u12eudu=12pey22 所以xh服從N(0,1)分布。1 x0x163。px2239。lmemx239。165。00x1 在0x1時(shí)，|xh|的分布函數(shù)F(x)=P(|xh|x)=P(xxhx)=242。2lx239。0x0x163。p(y+4)2所以p12(z)=(x+h)2p[(2z)+4]22=1p(1+z)2 即V=12(x+h)也服從相同的柯西分布。px+h(y)====1242。x exy+yady+242。|xy|+|y|252。解： px(x)=ph(x)=px+h(x)=12aex/a，242。px(x)=0，其它，ph(x)=1/a,0xa。ph(y)=0，其它。解：因?yàn)閤在任一有限區(qū)間[a,b]上的概率均大于0，所以Fx(x)是嚴(yán)格上升函數(shù)。237。x 設(shè)隨機(jī)變數(shù)x服從N(a,s)分布，求e的分布密度。3p6b,3 其它。x163。0x100x163。由于p(x,y)185。0x+y22163。238。當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)(x,y)=P(xx,hy)=P(hy)=Fx(x)Fh(y)。0) 證明：若隨機(jī)變數(shù)x只取一個(gè)值a，則x與任意的隨機(jī)變數(shù)h獨(dú)立。165。2ey+131x2edy=2x3,(x1)px(x)=0,(x163。0或x163。x3239。242。165。165。120)=1F(120+0,165。0其它 求兩個(gè)組件的壽命都超過120的概率。1212)200。2239。xy4xydxdy=242。 2411011P(0x,h1)=24P(x=h)=242。)12(arctg+p2)(arctg+p2) 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)(x,h)的密度函數(shù)為236。xy165。165。165。(1e3x)(1e4y) F(x,y)=237。165。y163。(x0)200。[sinx+sinysin(x+y)]239。p2，0163。238。)=0。0Dy175。當(dāng)x+Dx+y163。0x+y0x+y163。ey2dyx=12p12pe2.1x12p1x3242。；x35（2）P(axxa+x)=P( =F(即x35)F(x35)=2F(xx30035x35 35)1179。1。 在半徑為R,球心為O的球P(x)=P(x)=1242。165。Ax2239。（1）p(x)=Aex；p2236。ydy+(2y)dy=2xx11x163。0236。x239。x1其它 隨機(jī)變數(shù)x的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctgx，求常數(shù)A與B及相應(yīng)的密度函數(shù)。1238。238。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)x的分布函數(shù)為236。x163。1x163。limF(x)=lim[aF1(x)+bF2(x)]=a+b=1x174。 設(shè)F1(x)與F2(x)都是分布函數(shù)，又a0,b0是兩個(gè)常數(shù)，且a+b=1。p(x)dx=1F(a)=1 （2）P(a=242。 證：（1）F(a)=242。x165。a)；（3）P(x179。x0，在其它場合適當(dāng)定義。165。a p(x)dx=a12242。aF1(x2)+bF2(x2)=F(x2)F2(x都是分布函數(shù)，當(dāng)x1x2時(shí)，F(xiàn)1(x1)163。165。0239。0239。0x179。1)=F(1)=1。1求常數(shù)A及密度函數(shù)。p2)=0limF(x)=A+Bx174。0238。1239。12239。239。01163。2pAcosxdx=2A242。 設(shè)隨機(jī)變數(shù)x服從（0，5）上的均勻分布，求方程4x+4xx+x+2=02有實(shí)根的概率。1)=P(x179。即x179。165。)=0，F(xiàn)(165。F(x+Dx,y)。0所以F(x,y)對x、y左連續(xù)。h2)=F(2,2)F(2,0)F(0,2)+F(0,0)=1， 所以F(x,y)不是一個(gè)分布函數(shù)。其它p2,0163。x0242。2239。p2,0163。238。 e3xdx=k12，所以k=12；（2）x0,y0時(shí)， F(x,y)=242。3．25 設(shè)二維隨機(jī)變數(shù)(x,h)有密度函數(shù)Ap(x,y)=p(16+x)(25+y)222