畢業(yè)論文-沃利斯公式的證明及其應(yīng)用(存儲版)
【正文】 0nnb b x b x b x? ? ? ? ?， 0 0b? 假如有 n 個不同的根1,k 2,k 3,k ,nk ，那么左邊的多項(xiàng)式就可以表示為 k 線性因子乘積 ，即 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 2 頁 共 14 頁 20 1 21 2 31 1 1 1nnnx x x xb b x b x b x k k k k? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 比較 這個恒等式兩邊 x 的同次冪的系數(shù)，就可以得到根和系數(shù)的關(guān)系 . 特別 是 偶 數(shù) 次 方 程 2 4 20 1 2 ( 1 ) 0nnna a x a x a x? ? ? ? ? ?有 2n 個 不 相 同 的 根1 1 2 2, , , , , ,nn? ? ? ? ? ?? ? ?，則有 2 4 20 1 2 ( 1 ) nnna a x a x a x? ? ? ? ? ?2 2 2 202 2 2 21 2 31 1 1 1 nx x x xa a? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 我們比較二次項(xiàng)系數(shù)有 10 2 2 2121 1 1naa ? ? ???? ? ? ?????. 根據(jù)冪級數(shù)展開式 ??1 ， 在 0x? ，則 2 4 6 8s in 1 3 ! 5 ! 7 ! 9 !x x x x xx ? ? ? ? ? ?. 利用無窮多項(xiàng)方程 2 4 6 8103 ! 5 ! 7 ! 9 !x x x x? ? ? ? ? ?. （ 12） 由于方程 （ 12） 的根為： , 2 , 3 , 4 , 5 , 6? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 則 2 4 6 8 2 2 2 2 22 2 2 2 21s in 1 1 1 1 1 13 ! 5 ! 7 ! 9 ! ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( )nx x x x x x x x x xx n n? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??即 221sin 1nxxxn????????????? . （ 13） 因?yàn)?221 ()n xn????絕對收斂，所以這無窮乘積是絕對收斂的 . 在（ 13）中 令 12x? ，得 22211( 2 ) 2 1 ( 2 ) ! ! 1l im l im2 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1 ( 2 1 ) ! ! 2 1tttnnn n tn n n n t t? ?? ? ? ???????? ? ? ????? ? ? ? ? ??? ????, 沃利斯公式 （ 11） 得證 . 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 3 頁 共 14 頁 應(yīng)用含參量積分證明 沃利斯 公式 引理 1??3 設(shè) 20( , ) s in c o s d ( , )mnJ m n x x x m n? ?? ? ?? ，則有 11( , ) ( , 2 ) ( 2 , )nmJ m n J m n J m nm n m n??? ? ? ???. 定理 1 設(shè) 1 20 1dnnI x x x???， n ??? ，證明212nnnIIn ??? ?. 證 明 令 sinxt? ，根據(jù) 引理 1 得 2 2 22200 11s in c o s d ( , 2 ) ( 2 , 2 ) s in c o s d22n nnI t t t J n J n t t t?? ???? ? ? ? ????? sintx?令 2112 2 222022 1 1 1d 1 d2 2 21nn nn x n nx x x x x In n nx?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ????. 由于 1 200 1d 4I x x ?? ? ??， 1 21 0 11d 3I x x x? ? ??， 因此當(dāng) 2 ( 1, 2, )n m m??時， 即 2 2 1 2 3 3 1 ( 2 1 ) ! !2 2 2 6 4 4 ( 2 2 ) ! ! 2m m m mI m m m??? ? ?? ? ? ? ???. 當(dāng) 2 1( 0 ,1, 2 , )n m m? ? ? 時， 21 2 2 2 4 2 1 ( 2 ) ! !2 3 2 1 7 5 3 ( 2 3 ) ! !m m m mI m m m? ?? ? ? ? ?? ? ?. 則 1 20( 2 1 ) ! ! ,( 2 2 ) ! ! 21d( 2 ) ! ! ,( 2 3 ) ! !nnmmI x x xmm???? ??? ? ? ??? ??? 2 .2,1nmnm??? 另一方面，由定積分的保不等式性質(zhì)知，當(dāng) (0,1)x? 時，有 1 1 12 1 2 2 2 2 1 20 0 01 d 1 d 1 dm m mx x x x x x x x x??? ? ? ? ?? ? ?, 從而 得到 ( 2 ) ! ! ( 2 1 ) ! ! ( 2 2 ) ! !( 2 3 ) ! ! ( 2 2 ) !1 2 ( 2 1 ) ! !m m mm m m?????? ? ?， 從上式可得到 鹽城師范學(xué)院畢業(yè)論文 第 4 頁 共 14 頁 22( 2 ) ! ! 1 2 2 ( 2 ) ! ! 1 2 2( 2 1 ) 2 1 2 3 2 ( 2 1 ) ! ! 2 1 2 1m m m mm m m m m m?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?. 在上式中，令 2( 2 ) !! 1( 2 1 ) !! 2 1m mA mm??????????，則 2 2 1 2 22 3 2 2 1mmmm A m?????. 由于 2 2 2 2lim lim 12 3 2 1mmmm? ? ? ?????，因此根據(jù)迫斂性可知 1lim 12m mA??? ??， 因而 lim 2mm A ??? ? ? 2( 2 ) !! 1lim ( 2 1 ) !! 2 1 2m mmm ??? ?? ???????. Wallis 公式 （ 11） 得證 . 沃利斯公式的推 廣 含參數(shù)的沃利斯公式 對 任意 非負(fù)實(shí)數(shù) x 和正整數(shù) n ，則有 2( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) 1l im( 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) 2 1n x x n xx x n x n x?? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ???1(1 )x xIxI?? （ 14） 其中 20 sin dxxI t t??? [4] . 證 明 由分部積分法知，當(dāng) 2u? 時，則有 12200si n d s
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