基本復習題word版(存儲版)
【正文】 ?1 ?3 =?3 －???????????? ????1113, ?1－???????????? ????2223, ?2 ? ?m =?m －???????????? ????111,m ?1－???????????? ????222,m ?2－ … －????????????????? ??111,mmmm ?1?m 則得到的 ??? m, 21 ? 是正交向量組，且與 ??? m, 21 ? 等價。 (2) A的正慣性指標為 n. (3) 存在可逆陣 P, 使得 A = PTP. (4) A的 n 個特征值 ??? , 21 n? 全大于零 . 定理 (霍爾維茨 ) (1)對稱矩陣 A正定 的充分必要條件是 A的各階主子式都為正 , 即 11a 0, 11 1221 22aa0, …, 11 11nn nnaaaa0 (2)對稱矩陣 A負定的充分必要條件是 : 奇數(shù)階主子式為負 , 偶數(shù)階主子式為正 . 即 )1r(? 11 11rr rraaaa0 , (r = 1, 2, … , n). 。 則 12,rα α α 是向量組 T 的一個最大無關組。 (2)T 中任意一個向量 α 都可以由向量組 12,rα α α 線性表示。 定理 若 A是 n 階實對稱矩陣 , 則下列命題等價 : (1) x TAx 是正定二次型 (或 A是正定矩陣 )。 上述定理 從線性無關組 ??? m, 21 ? 導出正交向量組 ??? m, 21 ? 的過程稱為 施密特 (Schmidt)正交化過程 。若干公式 |A*|=|A|n?1, A*A=I, |AT| = |A|, |?A| = ?n|A|, ?(A)的特征值 ?(?) 1 1a b d bc d c da d b c? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? 基本問題 一 、 Ch1 計算 行列式 二 、 Ch1 求逆矩陣 三、 Ch2 判斷線性相關性 四、 Ch2 求秩 , 求最大無關組 五、 Ch2 解線性方程組 (齊次的 ) 六、 Ch2 解線性方程組 (非齊次的 ) 七、 Ch3 求特征值和特征向量 八、 Ch3 矩陣的對角化 九、 Ch4 向量組的正交化 十、 Ch4 二次型的正交標準化 十 一 、 Ch4 二次型正定性的判斷 一 、 Ch1 計算 行列式 (2) 計算下列行 列式 x y x yy x y xx y x y???. ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 321312 2 3 32 2 2 1 1 121 1 12 0 2 1 2 1 2 .0r r rr y rr x y rx y x y x y x y x yy x y x y x y x x y y x y xx y x y x y x y x y x yx x yx y x x y x y x y x x y y x yyxyx?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 二 、 Ch1 求逆矩陣 (1)利用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣 : 1 2 22 1 22 2 1???????? 3 2 3 2212123231321321922121 0 2 0331 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0212 1 2 0 1 0 0 3 6 2 1 0 0 1 2 0332 2 1 0 0 1 0 3 3 0 1 10 0 9 2 2 11 2 21 0 09 9 92 1 20 1 09 9 92 2 10 0 19 9 9r r r rrrrrrrrrrr?????????????? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?????????????????????11 2 29 9 91 2 22 1 2, 2 1 29 9 92 2 12 2 19 9 9??????? ???? ??? ? ? ??? ???? ???????????? 三、 Ch2 判斷線性相關性 (3) 討論下列向量組的線性相關性 : 1 2 3 4( 1 , 2 , 1 , 2) , ( 3 , 1 , 0 , 1 )
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