圓柱與圓錐題庫教師版(存儲(chǔ)版)
【正文】 的縱切面，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱體的高為 10 厘米，寬為圓柱底面的直徑，設(shè)為 2r ，則 2 10 2 40r? ? ? ， 1r? (厘米 )．圓柱體積為： 2π 1 10 30? ? ? (立方厘米 )． 【例 7】 一個(gè)圓柱體的體積是 立方厘米，底面半徑是 2 厘米．將它的底面平均分成若干個(gè)扇形后，再截開拼成一個(gè)和它等底等高的長(zhǎng)方體， 表面積增加了多少平方厘米 ？ (π ? ) 【解析】 從圖中可以看出，拼成的長(zhǎng)方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長(zhǎng)方體的前后兩個(gè)側(cè)面面積與原來圓柱體的側(cè)面面積相等，所以增加的表面積就是長(zhǎng)方體左右兩個(gè)側(cè)面的面積 ． (法 1)這兩個(gè)側(cè)面都是長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑 ． 可知，圓柱體的高為 ? ?250 .2 4 3. 14 2 4? ? ?(厘米 )，所以增加的表面積為 2 4 2 16? ? ? (平方厘 米 )； (法 2)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo) ． 增加的兩個(gè)面是長(zhǎng)方體的側(cè)面，側(cè)面面積與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的乘積就是長(zhǎng)方體的體積 ． 由于長(zhǎng)方體的體積與圓柱體的體積相等，為 立方厘米，而拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)等于圓柱體底面周長(zhǎng)的一半，為 2 ?? 厘米，所以側(cè)面長(zhǎng)方形的面積為 8??平方厘米，所以增加的表面積為 8 2 16?? 平方厘米 ． 442 圓柱與圓錐 題庫 page 4 of 12 【例 8】 右圖是一個(gè)零件的直觀圖．下 部是一個(gè)棱長(zhǎng)為 40cm 的正方體，上部是圓柱體的一半．求這個(gè)零件的表面積和體積． 【解析】 這是一個(gè)半圓柱體與長(zhǎng)方體的組合圖形，通過分割平移法可求得表面積和體積分別為： 11768 平方厘米 ， 89120 立方厘米 ． 【例 9】 輸液 100 毫升，每分鐘輸 毫升．如圖，請(qǐng)你觀察第 12 分鐘時(shí)圖中的數(shù)據(jù)，問：整個(gè)吊瓶的容積是多少毫升？ 【解析】 100 毫升的吊瓶在正放時(shí)，液體在 100 毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算．但倒過來后，變成圓柱體，根據(jù)標(biāo)示的格子就可以算出來． 由于 每分鐘輸 毫升， 12 分鐘已輸液 12 30?? (毫升 )，因此開始輸液時(shí)液面應(yīng)與 50 毫升的格線平齊，上面空的部分是 50 毫升的容積．所以整個(gè)吊瓶的容積是 100 50 150?? (毫升 )． 【例 10】 (2022 年 ” 希望杯 ” 五年級(jí)第 2 試 )一個(gè)擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水 (如圖 )，由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是 _______ 立方厘米 ． (π 取 ) 8(單位 ： 厘米 )4106 【解析】 由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水構(gòu)成高為 6 厘米的圓柱，空氣部分構(gòu)成 高為 10 8 2?? 厘米的圓柱， 瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容積為： 24π ( ) ( 6 2 ) 3 .1 4 3 2 1 0 0 .4 82? ? ? ? ? ?(立方厘米 )． 【鞏固】 一個(gè)酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形 (不包括瓶頸 )，如圖．已知它的容積為 立方厘米．當(dāng)瓶子正 442 圓柱與圓錐 題庫 page 5 of 12 放時(shí)，瓶?jī)?nèi)的酒精的液面高為 6 厘米 ； 瓶子倒放時(shí)，空余部分的高為 2 厘米．問：瓶?jī)?nèi)酒精的體積是多少立方厘米？合多少升？ 26 【解析】 由題意，液體的體積是不變的，瓶?jī)?nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的 6 2 3?? 倍．所以酒精的體積為 π 7231???立方厘米，而 立方厘米 ? 毫升 ? 升． 【鞏固】 一個(gè)酒瓶里面深 30cm ，底面內(nèi)直徑是 10cm ，瓶里酒深 15cm ． 把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時(shí)酒深 25cm ． 酒瓶的容積是多少？ (π 取 3) 253015 【解析】 觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變． 當(dāng)酒瓶倒過來時(shí)酒深 25cm ，因?yàn)榫破可?30cm ，這樣所?？臻g為高 5cm 的圓柱，再加上原來 15cm 高的酒即為酒瓶的容積． 酒的體積： 10 1015 π 375 π22? ? ? 瓶中剩余空間的體積 1 0 1 0(3 0 2 5 )π 125 π22? ? ? ? 酒瓶容積： 375 π 125 π 500 π 15 00 ( m l)? ? ? 【鞏固】 一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為 10 平方厘米， (如下圖所示 )，請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積是＿＿＿＿＿＿． 7cm4cm 5cm 【解析】 由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為 7 5 2cm?? ，從而水與空著的部分的比為 4:2 2:1? ，由圖 1 知水的體積為 104? ，所以總的容積為 ? ?40 2 2 1 60? ? ? ? 立方厘米． 【鞏固】 一個(gè)透明的封閉盛水容器，由一個(gè)圓柱體和 一個(gè)圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是 12 厘米．其內(nèi)有一些水，正放時(shí)水面離容器頂 11厘米，倒放時(shí)水面離頂部 5 厘米，那么這個(gè)容器的容積是多少立方厘米？ (π3? ) 442 圓柱與圓錐 題庫 page 6 of 12 5 cm11 cm 【解析】 設(shè)圓錐的高為 x 厘米 ． 由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有： ? ?2 2 215 π 6 1 1 π 6 π 63xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 9x? ， 所以容器的容積為： 221π 6 1 2 π 6 9 5 4 0 π 16203V ? ? ? ? ? ? ? ? ?(立方厘米 )． 【例 11】 (第四屆希望杯 2 試試題
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