【正文】 玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度 15 厘米 【總結(jié)】 鐵塊放入玻璃杯會出現(xiàn)三種情況： ①放入鐵塊后，水深不及鐵塊 高 ；②放入鐵塊后，水深比鐵塊 高但未溢出 玻璃杯； ③水有溢出 玻璃杯 ． 【說明】 教師可以在此穿插一個關于阿基米德測量黃金頭冠的體積的故事． 一天國王讓工匠做了一頂黃金的頭冠，不知道工匠有沒有摻假，必須知道黃金頭冠的體積是多少，可是又沒有辦法來測量． (如果知道體積，就可以稱一下純黃金相應體積的重量，再稱一下黃金頭冠的重量，就能知道是否摻假的結(jié)果了 )于是，國王就把測量頭冠體積的任務交給他的大臣阿基米德． (小朋友們，你們 能幫阿基米德解決難題嗎？ ) 阿基米德苦思冥想不得其解，就連晚上沐浴時還在思考這個問題． 當他坐進水桶里，看到水在往外滿溢時，突然靈感迸發(fā)，大叫一聲： ” 我找到方法了…… ” ，就急忙跑出去告訴別人，大家看到了一個還光著身子的阿基米德． 他的方法是：把水桶裝滿水，當把黃金頭冠放進水桶，浸沒在水中時，所收集的溢出來的水的體積正是頭冠的體積． 【例 16】 一個圓柱形玻璃杯內(nèi)盛有水，水面高 厘米，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是 72 平方厘米．在這個杯中放進棱長 6 厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒 鐵塊．這時水面高多少厘米 ？ 【解析】 把放入鐵塊后的玻璃杯看作一個底面如 右 圖的新容器，底面積是 72— 6 6=36(平方厘米 )． 水的體積是 72 180?? (立方厘米 )． 后來水面的高為 180247。 (3． 14 52 )=96(厘米 )． 【例 19】 一個圓錐形容器高 24 厘米，其中裝 滿水，如果把這些水倒入和圓錐底面直徑相等的圓柱形容器中，水面高多少厘米？ 【解析】 設 圓錐形容器 底面積為 S ，圓柱體內(nèi)水面的高為 h ，根據(jù)題意有： 1 243 S Sh? ? ?， 可得 8h? 厘米 ． 【例 20】 (2022 年 ” 希望杯 ” 一試六年級 )如圖，圓錐形容器中裝有水 50 升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容器最多能裝水 升． 12rr12hh 【解析】 圓錐容器的底面積是現(xiàn)在裝 水時底面積的 4 倍，圓錐容器的高是現(xiàn)在裝水時圓錐高的 2 倍，所以容器容積是水的體積的 8 倍，即 50 8 400?? 升． 【例 21】 如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的 13，乙容器中水的高度是錐高的 23，比較甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍 ？ 甲 乙 【解析】 設圓錐容器的底面半徑為 r ，高為 h ，則甲、乙容器中水面半徑均為 23r，則有 21π3V r h?容 器， 442 圓柱與圓錐 題庫 page 9 of 12 221 2 2 8π π3 3 3 8 1V r h r h? ? ?乙 水 （ ） ， 2 2 21 1 2 2 1 9π π π3 3 3 3 8 1V r h r h r h? ? ? ?甲 水 （ ）， 2219 π 19818 8π81rhVV rh??甲 水乙 水， 即甲 容器 中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的 198倍 ． 【例 22】 (2022 年仁華考題 )如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為 20 厘米，中間有一直徑為 8 厘米的卷軸，已知薄膜的厚度為 厘米，則薄膜展開后的面積是 平方米． 20 cm 8 cm100 cm 【解析】 纏繞在一起時塑料薄膜的體積為： 222 0 8π π 1 0 0 8 4 0 0 π22??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???(立方厘米 )，薄膜展開后為一個長方體，體積保持不變，而厚度為 厘米，所以薄膜展開后的面積為 8400 π 0 .0 4 6 5 9 4 0 0??平方厘米 ? 平方米 ． 另解：也 可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積 ． 由于展開前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開前為 222 0 8π π 84 π22? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(平方厘米 )，展開后為一個長方形，寬為 厘米，所以長為 84π 6594??厘米，所以展開后薄膜的面積為6594 100 659400?? 平方厘米 ? 平方米 ． 【鞏固】 圖為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為 20 厘米，中間有一直徑為 6 厘米的卷軸．已知紙的厚度為 毫米，問：這卷紙展開后大約有多長 ？ 【解析】 將這卷紙展開后，它的側(cè)面可以近似的看成一個長方形，它的長度就等于面積除以寬．這里的寬就是紙的厚度，而面積就是一個圓環(huán)的面積． 因此，紙的長度 ： ? ?22 3 . 1 4 1 0 0 93 . 1 4 1 0 3 . 1 4 3 7 1 4 3 . 50 . 0 4 0 . 0 4??? ? ?? ? ? ?紙 卷 側(cè) 面 積紙 的 厚 度 (厘米 ) 所以，這卷紙展開后大約 米． 【鞏固】 如圖，厚度為 毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱 (紙卷得很緊，沒有空隙 )，它的外直徑是 180厘米，內(nèi)直徑是 50 厘米．這卷銅版紙的總長是多少米？ 442 圓柱與圓錐 題庫 page 10 of 12 【解析】 卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為 221 8 0 5 0π π 7475 π22? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(平方厘米 )，如果將其展開，展開后橫截面的面積不變，形狀為一個長方形，寬為 毫米 (即 厘米 )，所以長為7475 π 0 .0 2 5 9 3 8 8 6 0??厘米 ? 米 ． 所以這卷銅版紙 的總長是 米 ． 本題也可設空心圓柱的高為 h ，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進行求解， 其中 h 在計算過程 將 會消掉 ． 【例 23】 (人大附中