【正文】 0 , 0 1 0 ,0 0 3 0 0 1? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?AI 則矩陣1( 2)??AI=_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)當 0x? 時 ,曲線 1sinyxx? (A)有且僅有水平漸近線 (B)有且僅有鉛直漸近線 (C)既有水平漸近線 ,又有鉛直漸近線 (D)既無水平漸近線 ,又無鉛直漸近線 (2) 已知曲面 224z x y? ? ? 上點 P 處 的 切 平 面 平 行 于 平 面2 2 1 0,x y z? ? ? ?則點的坐標是 (A)(1, 1,2)? (B)( 1,1,2)? (C)(1,1,2) (D)( 1, 1,2)?? (3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù) ,則該非齊次方程的通解是 (A) 1 1 2 2 3c y c y y?? (B) 1 1 2 2 1 2 3()c y c y c c y? ? ? (C) 1 1 2 2 1 2 3(1 )c y c y c c y? ? ? ? (D) 1 1 2 2 1 2 3(1 )c y c y c c y? ? ? ? (4)設(shè)函數(shù) 2( ) , 0 1,f x x x? ? ?而1( ) s in , ,nnS x b n x x???? ? ? ? ? ? ??其中 102 ( ) sin , 1 , 2 , 3 , ,nb f x n x d x n???? 則 1()2S? 等于 (A) 12? (B) 14? (C)14 (D)12 (5)設(shè) A 是 n 階矩陣 ,且 A 的行列式 0,?A 則 A 中 (A)必有一列元素全為 0 (B)必有兩列元素對應成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的線性組合 (D)任 一列向量是其余列向量的線性組合 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)設(shè) ( 2 ) ( , ) ,z f x y g x x y? ? ?其中函數(shù) ()ft 二階可導 , ( , )guv 具有連續(xù)二階偏導數(shù) ,求 2 .zxy??? (2)設(shè)曲線積分 2 ()c xy dx y x dy???與路徑無關(guān) ,其中 ()x? 具有連續(xù)的導數(shù) ,且 (0) 0,? ? 計算 (1,1 ) 2( 0 ,0 ) ()x y d x y x d y??? 的值 . (3) 計 算 三重 積分 ( ) ,x z dv? ????其中 ? 是 由 曲面 22z x y??與221z x y? ? ? 所圍成的區(qū)域 . 四、 (本題滿分 6分 ) 將函數(shù) 1( ) arcta n 1 xfx x?? ?展為 x 的冪級數(shù) . 五、 (本題滿分 7分 ) 設(shè)0( ) sin ( ) ( ) ,xf x x x t f t d t? ? ??其中 f 為連續(xù)函數(shù) ,求 ().fx 六、（本題滿分 7分） 證明方程0ln 1 c o s 2exx x d x?? ? ?? 在區(qū)間 (0, )?? 內(nèi)有且僅有兩個不同實根 . 七、（本題滿分 6分） 問 ? 為何值時 ,線性方程組 13xx??? 1 2 34 2 2x x x ?? ? ? ? 1 2 36 4 2 3x x x ?? ? ? ? 有解 ,并求出解的一 般形式 . 八、（本題滿分 8分） 假設(shè) ? 為 n 階可逆矩陣 A 的一個特征值 ,證明 (1)1? 為 1?A 的特征值 . (2) ?A 為 A 的伴隨矩陣 *A 的特征值 . 九、（本題滿分 9分） 設(shè)半徑為 R 的球面 ? 的球心在定球面 2 2 2 2 ( 0 )x y z a a? ? ? ?上 ,問當 R為何值時 ,球面 ? 在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大 ? 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知隨機事件 A 的概率 ( ) ,PA? 隨機事件 B 的概率 ( ) ? 及條件概率 ( | ) ,P B A ? 則和事件 AB的概率 ()P A B =____________. (2)甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次 ,其命中率分別為 和 ,現(xiàn)已知 目標被命中 ,則它是甲射中的概率為 ____________. (3)若隨機變量 ? 在 (1,6) 上服從均勻分布 ,則方程 2 10xx?? ? ? 有實根的概率是 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機變量 X 與 Y 獨立 ,且 X 服從均值為 標準差 (均方差 )為 2 的正態(tài)分布 ,而 Y 服從標準正態(tài)分布 .試求隨機變量 23Z X Y? ? ? 的概率密度函數(shù) . 1990 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學 (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) 2xt??? (1)過點 (1,2 1)M ? 且與直線 34yt?? 垂 直 的 平 面 方 程 是_____________. 1zt?? (2)設(shè) a 為非零常數(shù) ,則 lim( )xx xaxa?? ??=_____________. (3)設(shè)函數(shù) ()fx? 10 11xx??,則 [ ( )]f f x =_____________. (4)積分 2220 e yxdx dy???的值等于 _____________. (5) 已知向量組1 2 3 4( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 2 , 3 , 4 , 5 ) , ( 3 , 4 , 5 , 6 ) , ( 4 , 5 , 6 , 7 ) ,? ? ? ?α α α α 則該向量組的秩是 _____________. 二、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)設(shè) ()fx是連續(xù)函數(shù) ,且 e( ) ( ) ,xxF x f t dt?? ? 則 ()Fx? 等于 (A) e (e ) ( )xxf f x?? (B) e (e ) ( )xxf f x???? (C) e (e ) ( )xxf f x??? (D) e (e ) ( )xxf f x??? (2)已知函數(shù) ()fx具有任意階導數(shù) ,且 2( ) [ ( )] ,f x f x? ? 則當 n 為大于 2 的正整數(shù)時 , ()fx 的 n 階導數(shù) ()()nfx是 (A) 1![ ( )]nn f x ? (B) 1[ ( )]nn f x ? (C) 2[ ( )]nfx (D) 2![ ( )] nn f x (3)設(shè) a 為常數(shù) ,則級數(shù)21 sin ( ) 1[]n nan n?? ?? (A)絕對收斂 (B)條件收斂 (C)發(fā)散 (D)收斂性與 a 的取值有關(guān) (4)已知 ()fx在 0x? 的某個鄰域內(nèi)連續(xù) ,且0 ()( 0 ) 0 , lim 2 ,1 c o sx fxf x????則在點 0x? 處 ()fx (A)不可導 (B)可導 ,且 (0) 0f? ? (C)取得極大值 (D)取得極小值 (5)已知 1β 、 2β 是非齊次線性方程組 ?AXb 的兩個不同的解 1,α 、 2α 是對應其次 線性方程組 ?AX 0 的基礎(chǔ)解析 1,k 、 2k 為任意常數(shù) ,則方程組 ?AXb 的通解 (一般解 )必是 (A) 121 1 2 1 2() 2kk ?? ? ? β βα α α (B) 121 1 2 1 2() 2kk ?? ? ? β βα α α (C) 121 1 2 1 2() 2kk ?? ? ? β βα β β (D) 121 1 2 1 2() 2kk ?? ? ? β βα β β 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求 120 ln(1 ) .(2 )x dxx??? (2)設(shè) ( 2 , si n ),z f x y y x?? 其中 ( ,f uv 具有連續(xù)的二階偏導數(shù) ,求 2 .zxy??? (3)求微分方程 24 4 e xy y y ??? ?? ? ?的通解 (一般解 ). 四、 (本題滿分 6分 ) 求冪級數(shù)0 (2 1)nn nx?? ??的收斂域 ,并求其和函數(shù) . 五、 (本題滿分 8分 ) 求曲面積分 2SI y zd zd x d x d y???? 其中 S 是球面 2 2 2 4x y z? ? ? 外側(cè)在 0z? 的部分 . 六、（本題滿分 7分） 設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,在開區(qū)間 (, )ab 內(nèi)可導 ,且 ( ) ( ).f a f b? 證明在 (, )ab 內(nèi)至少存在一點 ,? 使 得 ( ) ?? ? 七、（本題滿分 6分） 設(shè)四階矩陣 1 1 0 0 2 1 3 40 1 1 0 0 2 1 3,0 0 1 1 0 0 2 10 0 0 1 0 0 0 2?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?BC 且矩陣 A 滿足關(guān)系式 1()? ????A E C B C E 其中 E 為四階單位矩陣 1, ?C 表示 C 的逆矩陣 ,?C 表示 C 的轉(zhuǎn)置矩陣 .將上述關(guān)系式化簡并求矩陣 .A 八、（本題滿分 8分） 求一個正交變換化二次型 2221 2 3 1 2 1 3 2 34 4 4 4 8f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?成標準型 . 九、（本題滿分 8分） 質(zhì)點 P 沿著以 AB 為直徑的半圓周 ,從點 (1,2)A 運動到點 (3,4)B 的過程中受變力 F 作用 (見圖 ).F 的大小等于點 P 與原點 O 之間的距離 ,其方向垂直于線段OP 且與 y 軸正向的夾角小于 .2? 求變力F 對質(zhì)點 P 所作的功 . 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知隨機 變量 X 的概率密度函數(shù) 1( ) e ,2 xf x x?? ?? ? ? ?? 則 X 的概率分布函數(shù) ()Fx =____________. (2)設(shè)隨機事件 A 、 B 及其和事件的概率分別是 、 和 ,若 B 表示 B的對立事件 ,那么積事件 AB 的概率 ()PAB =____________. (3)已知離散型隨機變量 X 服從參數(shù)為 2 的泊松 ()Poisson 分布 ,即22e{ } , 0 , 1 , 2 , ,!kP X k kk ?? ? ?則 隨 機 變 量 32ZX??的 數(shù) 學 期 望()EZ =____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)二維隨機變量 ( , )XY 在區(qū)域 : 0 1,D x y x? ? ?內(nèi)服從均勻分布 ,求關(guān)于 X 的邊緣概率密度函數(shù)及隨機變量 21ZX??的方差 ( ).DZ 1991 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學 (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè) 21cosxtyt???,則 22dydx=_____________. (2) 由方程 2 2 2 2x y z x y z? ? ? ?所確定的函數(shù) ( , )z z x y? 在點(1,0, 1)? 處的全微分 dz =_____________. (3)已知兩條直線的方程是121 2 3 2 1: 。 : .1 0 1 2 1 1x y z x y zll? ? ? ? ?? ? ? ??則過 1l 且平行于 2l 的平面方程是 _____________. (4)已知當 0x? 時 12 3,(1 ) 1ax??與 cos 1x? 是等價無窮小 ,則常數(shù)a =_____________. (5)設(shè) 4 階方陣5 2 0 02 1 0 0 ,0 0 1 20 0 1 1????? ?????A 則 A 的逆陣 1?A =_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四 個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) ) (1)曲線 221e1exxy???