【正文】 ? ? ? ? ? eC ( 1 ) , , 0 , 1 , 2 , .!m m n m nn p p n m n nn ? ???? ? ? ? ? X 和 Y 獨立，其中 X 的概率分布為 X~ ???????? 21，而 Y 的概率密度為 f(y)，求隨機變量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【解】 設(shè) F（ y）是 Y 的分布函數(shù)，則由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函數(shù)為 ( ) { } 0. 3 { | 1 } 0. 7 { | 2 }G u P X Y u P X Y u X P X Y u X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? { 1 | 1 } { 2 | 2 }P Y u X P Y u X? ? ? ? ? ? ? ? 由于 X 和 Y 獨立，可見 ( ) { 1 } { 2 }G u P Y u P Y u? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2) .F u F u? ? ? ? 由此，得 U 的概率密度為 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2)g u G u F u F u? ? ?? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2) .f u f u? ? ? ? 25. 25. 設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立，且均服從區(qū)間 [0,3]上的均勻分布，求 P{max{X,Y}≤ 1}. 解 ：因為隨即變量服從 [0， 3]上的均勻分布，于是有 1 , 0 3 ,() 30 , 0 , 3 。 Y X X Y X Y 21 e , 1,() 20,yYyfy ?? ???? ??? 其 他 . 故/21 e 0 1 , 0 ,( , ) , ( ) ( ) 20 , .yXYxyf x y X Y f x f y ?? ? ? ??? ???獨 立 其 他 題 14 圖 (2) 方程 2 20a Xa Y? ? ?有實根的條件是 2(2 ) 4 0XY? ? ? ? 故 X2≥Y， 從而方程有實根的概率為： 22{ } ( , ) d dxyP X Y f x y x y??? ?? 21/2001d e d21 2 [ (1) ( 0 )]0 .1 4 4 5 .x yxy???? ? ? ? ???? X 和 Y 分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設(shè) X和 Y 相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為 f（ x） =????? ?.,0,1000,10002其他xx 求 Z=X/Y 的概率密度 . 【解】 如圖 ,Z 的分布函數(shù) ( ) { } { }Z XF z P Z z P zY? ? ? ? (1) 當(dāng) z≤0時， ( ) 0ZFz? （ 2） 當(dāng) 0z1 時，（這時當(dāng) x=1000 時 ,y=1000z ） (如圖 a) 3 366102 2 2 21010 10( ) d d d dyzZ zxy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 33610 231 0 1 0=d 2z zyy z y?? ????????? 題 15 圖 (3) 當(dāng) z≥1時，（這時當(dāng) y=103時， x=103z）（如圖 b） 33662 2 2 210 1010 10( ) d d d dzyZ xy zF z x y y xx y x y??????? ? ? 3362310 1 0 1 0 1= d 1 2yy z y z?? ??? ? ?????? 即 11 , 1 ,2( ) , 0 1 ,20 , .Zzzzf z z? ?????? ? ??????其 他 故 21 , 1,21( ) , 0 1,20 , .Zzzf z z? ????? ? ??????其 他 （以小時計）近似地服從 N（ 160， 202）分布 .隨機地選取 4 只，求其中沒有一只壽命小于 180 的概率 . 【解】 設(shè)這四只壽命為 Xi(i=1,2,3,4)，則 Xi~N（ 160， 202）， 從而 1 2 3 4 1 2{m in ( , , , ) 1 8 0 } { 1 8 0 } { 1 8 0 }iP X X X X X P X P X? ? ?之 間 獨 立 34{ 180 } { 180 }P X P X?? 1 2 3 4[ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }] [ 1 { 1 8 0 }]P X P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? 4414418 0 16 0[ 1 { 18 0 }] 120[ 1 ( 1 ) ] ( 58 ) 00 63 .PX ? ? ???? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ? ? X， Y 是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（ k）， k=0， 1， 2， … ， P{Y=r}=q（ r）， r=0， 1， 2， …. 證明隨機變量 Z=X+Y 的分布律為 P{Z=i}=?? ?ik kiqkp0 )()(， i=0， 1， 2， …. 【證明】 因 X 和 Y 所有可能值都是非負(fù)整數(shù)， 所以 { } { }Z i X Y i? ? ? ? { 0 , } { 1 , 1 } { , 0 }X Y i X Y i X i Y? ? ? ? ? ? ? ? 于是 0{ } { , } ,ikP Z i P X k Y i k X Y?? ? ? ? ?? 相 互 獨 立0 { } { }ik P X k P Y i k? ? ? ?? 0 ( ) ( )ik p k q i k???? X， Y 是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為 n， p 的二項分布 .證明 Z=X+Y 服從參數(shù)為 2n， p 的二項分布 . 【證明】 方法一： X+Y 可能取值為 0， 1， 2， … ， 2n. 0{ } { , }kiP X Y k P X i Y k i?? ? ? ? ? ?? 00202( ) { }2kiki n i k i n k iikk n kik n kP X i P Y k innp q p qi k innpqi k inpqk?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ???? ??????? 方法二：設(shè) μ1,μ2,…, μn。0,0 ,0,2 2 xxxe fY（ y） =??? ??? .0,0 ,0,4 4 yyye 求（ 1） E（ X+Y） 。E(Y)]. 由條件知 X 和 Y 的聯(lián)合密度為 2 , ( , ) ,( , ) 0 , 0 .x y Gf x y t ??? ? ?? { ( , ) | 0 1 , 0 1 , 1 } .G x y x y x y? ? ? ? ? ? ? 從而 11( ) ( , ) d 2 d 2 .X xf x f x y y y x??? ? ?? ? ??? 因此 1 1 12 2 30 0 031( ) ( ) d 2 d , ( ) 2 d ,22XE X x f x x x x E X x x? ? ? ? ?? ? ? 22 1 4 1( ) ( ) [ ( ) ] .2 9 1 8D X E X E X? ? ? ? ? 同理可得 31( ) , ( ) .2 1 8E Y D Y?? 11015( ) 2 d d 2 d d ,12xGE X Y x y x y x x y y?? ? ??? ? ? 5 4 1C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) ,1 2 9 3 6X Y E X Y E X E Y?。8 2 8 4 4EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) 1( 2 3 ) 2 ( ) 3 2 3 42E X E X? ? ? ? ? ? ? 100 個產(chǎn)品中有 10 個次品，求任意取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差 . 【解】 設(shè)任取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)為 X，則 X 的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C ? 1410 905100CC ? 2310 905100CC ? 3210 905100CC ? 4110 905100CC 0C ? 5105100C 0C ? 故 ( ) 0 1 2 3 0 4 0 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,? 5 20( ) [ ( ) ]iiiD X x E X P???? 2 2 2( 0 0 . 5 0 1 ) 0 . 5 8 3 ( 1 0 . 5 0 1 ) 0 . 3 4 0 ( 5 0 . 5 0 1 ) 00 . 4 3 2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? X 的分布律為 X ??1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（ X） =,E(X2)=,求 P1， P2， P3. 【解】 因 1 2 3 1P P P? ? ? …… ① , 又1 2 3 3 1( ) ( 1 ) 0 1 X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ② , 2 2 2 21 2 3 1 3( ) ( 1 ) 0 1 0. 9E X P P P P P? ? ? ? ? ? ?…… ③ 由①②③聯(lián)立解得 1 2 , , .P P P? ? ? N 只球，其中的白球數(shù) X 為一隨機變量，已知 E（ X） =n，問從袋中任取 1 球為白球的概率是多少？ 【解】記 A={從袋中任取 1 球為白球 }，則 0( ) { | } { }NkP A P A X k P X k? ???全 概 率 公 式 001{ } { }1 ( ) .NNkkk P X k k P X kNNnEXNN??? ? ? ????? X 的概率密度為 f（ x） =????? ??? ??.,0,21,2,10,其他xxxx 求 E（ X）， D（ X） . 【解】12201( ) ( ) d d ( 2 ) dE X x f x x x x x x x????? ? ? ?? ? ? 21 3320 11 ????? ? ? ????????? 122 2 3 201 7( ) ( ) d d ( 2 ) d 6E X x f x x x x x x x????? ? ? ? ?? ? ? 故 22 1( ) ( ) [ ( ) ] .6D X E X E X? ? ? X， Y， Z 相互獨立，且 E（ X） =5， E（ Y） =11， E（ Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望 . （ 1） U=2X+3Y+1； （ 2） V=YZ??4X. 【解】 (1) [ ] ( 2 3 1 ) 2 ( ) 3 ( ) 1E U E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? 2 5 3 11 1 44.? ? ? ? ? ? (2) [ ] [ 4 ] [ ] 4 ( )E V E Y Z X E Y Z E X? ? ? ?