【正文】 M?? ，對? ?,iix x x??? ， 1,2, , 1in??，作 ? ?11() iiiiMMh x M x x??? ?? ? ?，此時 1()iiM h x M ???。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，總存在相應(yīng)的某一分割 T ,即 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?， 由 定理 3可知，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數(shù) ? 和 ? ，得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????， 且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ???? ， ( ( ) ( )) d 2ba x f x x ?? ??? ， ( ( ) ( ))d 2ba f x x x ????? 。于是若0 1lim ( )niiT i fx?? ? ??存在，其中 ? ?1max iinTx????，這個極限的存在性和數(shù)值不依賴于 i?在第 i 個子區(qū)間上的選取 ,即0 1lim ( )niiT iS f x?? ????。又若初等函數(shù)在定義域內(nèi)有直到 1n? 階的導(dǎo)數(shù)，那么初等函數(shù)在定義域內(nèi)有 Maclaurin展開式，即初等函數(shù)在定義域內(nèi)可以用多項式函數(shù)來逼近。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ()0 0 0 0 0 0 0 01 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! ! nnnf x f x f x x x f x x x f x x x o x xn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 6 0xx? 。 用多項式函數(shù)逼近初等函數(shù) 定義 1 設(shè)函數(shù) f 在點 0x 有直到 n 階的導(dǎo)數(shù)，這里 n 是任意給定的正整數(shù)，令 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ()0 0 0 0 0 0 0 01 1 1, 。 數(shù)學(xué)中的逼近思想大致上分為兩類：一類是問題解序列的逼近 , 另一類是問題序列的逼近。通過最簡單情形 使問題獲得解決，再逐步地 擴大（或縮?。┓秶鸩奖平?，以至最后達到問題所要求的解。 公元前五世紀(jì)希臘有一個哲學(xué)家 Zeno認(rèn)為，如果 Achiles與一頭烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜。 1 逼近思想的概述 逼 近思想產(chǎn)生的國內(nèi)外背景 古希臘的阿基米德從圓內(nèi)接和外切正六邊形開始 , 然后正十二邊形 , 正二十四邊形 ,?? 對圓周長進行逼近，其中就蘊含了逼近思想；牛頓的“流數(shù)術(shù)” 也運用了逼近思想； 中外許多數(shù)學(xué)家 證明 哥德巴赫猜想的過程也運用了逼近思想等等。 數(shù)學(xué)思想寓于數(shù)學(xué)知識之中 ,我們不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更重要的是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想。最后總結(jié)逼近思想在 L積分 中應(yīng)用與在 R積分中應(yīng)用的相似之處。 關(guān)鍵詞： 逼近思想； R 可積函數(shù)； 可測集；可測函數(shù)； L 積分； L 可積函數(shù) 2 Abstract： Firstly this paper provides background of approximation theory and illustrates approximation theory and its this article studies the application of approximation theory in Mathematical Analysis,In terms of differentiability,approximation of the elementary function by polynomial function。 逼近思想是 貫穿整個微積分學(xué)的基本思想，在數(shù)學(xué)的多個分支中都有應(yīng)用。下面我們主要介紹 劉徽的“割圓術(shù)”和“ Zeno’s paradoxes”，來形象地說明什么是逼近思想。 以常識來看，這是無稽之談！但是 Zeno給出的證明為：假設(shè) Achiles與烏龜相距 1000步 , Achiles每秒跑10步烏龜爬 1步；經(jīng)過 100秒 , Achiles跑了 1000步 , 在這段時間里 , 烏龜向前爬了 100步 ； 再過 10秒鐘 , Achiles跑完了這 100步 , 但烏龜又向前爬了 10步 ； 要克服這 10步 , Achiles還要花 1秒鐘 , 在這 1秒鐘里烏龜又向前爬了 1步。 在劉徽的“割圓術(shù)” 中，我們求圓周率 ? ，轉(zhuǎn)化為求單位圓的面積。 [3] 問題解序列的逼近是給問題一個可行或近似的初始解 ， 然后以此解為基礎(chǔ) ， 按固定的程序給出一個解序列 ， 這個解序列的極限就是該問題的精確解 ， 序列的每一項都是這個問題的近似解。 ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! ! nnnT f x x f x f x x x f x x x f x x xn? ??? ? ? ? ? ? ? ?， 稱之為 f 在 0x 處的 n 次 Taylor多項式。 這個公式的右邊，除了最后一項外，前面是不超過 n 次的多項式。 用階梯函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定義 2 ? ?:,ab? ?R ，如果有分割 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?，使得在每個子區(qū)間上， ? 為常值函數(shù)，則稱 ? 為 ? ?,ab 上的階梯函數(shù)。即 ? ? 0fx? ， ? ?,x ab? 時，定積分的幾何意義為該曲邊梯形的面積（圖 1）。 把階梯函數(shù) ()x? 按如下方式取得 ()gx，對充分小的 0?? ，若 1iimm?? ，對? ?,iix x x ???， 1,2, , 1in??，作 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ?（如圖 2所示），則1()iim g x m ???。 若 1iiMM?? ，對 ? ?,iix x x ???，作 ? ?1() iiiiMMh x M x x?? ?? ? ?，則 1 ()iiM h x M? ??。 當(dāng) ? ?1,iix x x??時，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111( ) ( )i i i i i iiif x w x x x f x x x f x x x x x f xxx ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1111111i i i iiii i ii i i if x f x x x x x f x f xxxx x x xx x x x? ? ?????????? ? ? ? ? ??????? ? ? 于是 ? ? ? ?111( ) d ( ) diinnbx iiax iif x w x x f x w x x x?????? ? ? ? ? ????? 。 從 例 1可以看出 R可積函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)列來逼近。于是 ? ? ? ?* 1*nm G E m G E n? ? ? ?。又 nE 有界，則nmE??? 。 例 2 設(shè) nE?R ， E 為可測集的充要條件為對任意的 0?? ，存在閉集 F ,使 FE? ,且 ? ?*m E F ???。又 ? ?*m E F ???，則 ? ?* cm G E ???，由 定理 5知 cE 為可測集，則 E 為可測集。 當(dāng) ,kjxE? 時，? ? kk jx 2 1??? ， ? ??????????????????,2 12,2 12,1112,11jkkjkkkExjExjx? 于是 1( ) ( )kkxx???? ， xE? , 1,2,k? 。 從此例題可以看出可用簡單函數(shù)來逼近可測函數(shù)。 [11] 證明 由 Lusin定理可知，對任意 0?? ，存在閉集 FE? ,使 ()fx在 F 上連續(xù)，且? ?m E F ???。即 ? ?lim ( ), . .nn x f x a e??? ? 于 E 。即 ? ?mE 為單調(diào)遞增可測列。 ? ?( ) dn nE f x x? 單調(diào)遞增且有界，這是因為 1nnEE?? ， ? ? ? ? 1( ) ( )nnf x f x ?? ，則 ? ? ? ? ? ?11 1( ) d ( ) d ( ) dn n nnnnE E Ef x x f x x f x x?? ?? ? ? ? ?? ? ?， 于是 ? ?lim ( ) dn nEn f x x???存在。 ( )nE x f x E x f x n??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，記 。 16 此定理說明 L可積函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)逼近。 因為有了你們，讓我學(xué)會了面對任何新領(lǐng)域，都對自己滿懷信心，堅定自己一定可以做得很出色；因為有了你們，讓我感染了老師們求學(xué)態(tài)度嚴(yán)謹(jǐn)和思考問題的方式；因為有了你們，讓我感受到數(shù)學(xué)的抽象美等等。t help but sing the folk songs, Nasun says. The vastness of Inner Mongolia and the lack of entertainment options for people living there, made their lives lonely. The nomadic people were very excited about our visits, Nasun recalls. We didn39。s cultural foray overseas, has been widely panned by its home audience. Retitled Empresses in the Palace, the American version has been shortened from its original 76 episodes at 45 minutes each, to six 90minute episodes. The quick pacing threw off many native viewers, who are accustomed to a more leisurely daytimesoapstyle narrative rhythm. (Chinese TV stations would run two or three episodes every day.) I did not finish the fulllength version and found the truncated one not difficult to follow. What39。s president, who is also a renowned tenor, tells China Daily. During a tour in 1985, he went to a village and met an elderly local man, who told him a story about his friendship with a solider from Shenyang, capital of Northeast China39。s Zhangye city during their journey to Kazakhstan, May 5, 2021. The caravan, consisting of more than 100 camels, three horsedrawn carriages and four support vehicles, started the trip from Jingyang county in Shaanxi on Sept 19, 2021. It will pass through Gansu province and Xinjiang Uygur autonomous region, and finally arrive in Almaty, formerly known as AlmaAta, the largest city in Kazakhstan, and Dungan in Zhambyl province. The trip will cover about 15,000 kilometers and take the caravan more than one year to plete. The caravan is expected to return to Jingyang in March 2021. Then they will e back, carrying specialty products from Kazakhstan A small art troupe founded six decades ago has grown into a household name in the Inner Mongolia autonomous region. In the 1950s, Ulan Muqir Art Troupe was created by nine young musicians, who toured remote villages on horses and performed tr