【正文】 30 . Mandelbrot 集與 Julia 集的關(guān)系 ............................ 32 . 牛頓法迭代分形 ............................................... 33 . Lsystem 分形 ................................................ 34 . IFS 迭代系統(tǒng) ................................................. 36 5. VC++ 下分形圖形的實(shí)現(xiàn) ....................................... 37 . 軟件開(kāi)發(fā)的工具 ............................................... 37 . 軟件開(kāi)發(fā)的設(shè)計(jì)思路 ........................................... 38 . 開(kāi)發(fā)分形軟件時(shí)的一些說(shuō)明和步驟 ............................... 38 . 分形軟件的實(shí)現(xiàn) ............................................... 45 . 軟件實(shí)現(xiàn)的界面 .......................................... 45 . 軟件中的主要菜單功能介紹 ................................ 46 . 本章小結(jié) ..................................................... 47 6. 分形生成和處理軟件的運(yùn)行實(shí)例 ................................... 48 . 牛頓迭代法生成分形圖形實(shí)例 ................................... 48 . 經(jīng)典分形圖形的生成實(shí)例 ....................................... 49 . Julia 集的生成過(guò)程 ....................................... 49 . 搖曳的分形樹(shù)的生成 ...................................... 49 結(jié)論 ............................................................... 50 參考文獻(xiàn) ........................................................... 51 致謝 ............................................................... 52 1 分形理論在圖形學(xué)中的應(yīng)用 摘 要 ： 分形理論是近幾十年才開(kāi)始興起和發(fā)展的一門(mén)學(xué)科，其主要描述自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑和不規(guī)則的幾何形體。 關(guān)鍵詞 ： 分形理論；分形維數(shù)；牛頓迭代； Koch曲線； Mandelbrot集； Julia集 Fractal Theory in the application of graphics Abstract: Fractal theory is a science newly started and developed in the past several ten years, it can describe roughness and irregular geometric shapes in the nature or in nonlinear system. Fractal theory is extensive applied to many fields, such as mathematics, physics, chemistry, material science, biology and medicine, geography, earthquake and astronomy, puter science and so on. So the research on fractal theory has both theoretical significance and extensive applied value. This thesis mainly studies the applications of fractal theory in the field of the puter technology, especially the problem of puter graphics design. It sums up some fractal algorithm on the basis of mastering the base knowledge of the fractal 2 theory and dimension of the fractal geometry. The paper can realized the software of drawing fractal graphics using VC++ language, it has already been realized on puter to draw some fractal graphics, such as Newton iteration fractal graphics, Koch curve, Sierpinski gaskets, Mandelbrot set, fractal trees and so on. It can change the value of fractal graphic’s figure, places and color through changing some parameters of the fractal graphics. Finally, drawn the beautiful fractal graphics can be saved as Bitmap files in the puter. Using the fractal theory to the device of puter graphic, it can not only create many flowery fractal graphics but also realize a bination between puter and arts, it can offer the width space of device graphic for the fashionable dress, the decoration of house, the device of advertisement and so on. Key words: Fractal theory, Fractal dimension, Newton iteration, Koch curve, Mandelbrot set, Julia set 3 1. 緒論 分形理論是近幾十年才開(kāi)始興起和發(fā)展的一門(mén)學(xué)科，其主要描述自然界和非線性系統(tǒng)中不光滑和不規(guī)則形體 [8,12]。計(jì)算機(jī)藝術(shù)是隨著軟件的發(fā)展而新興的藝術(shù)形式，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中分形研究的深入發(fā)展和計(jì)算機(jī)在藝術(shù)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，使得藝術(shù)家可以用更多的方式來(lái)進(jìn)行創(chuàng)作，也給圖形設(shè)計(jì)帶來(lái)了新的元素，分形幾何使我們可以用簡(jiǎn)單的計(jì)算方法得到復(fù)雜圖形 [9]。有關(guān)分形的國(guó)際會(huì)議及各種專題討論會(huì)有增無(wú)減。 5 分形幾何應(yīng)用在圖案設(shè)計(jì)中已經(jīng)成為了一個(gè)研究熱點(diǎn)，基礎(chǔ)圖案一般是由單個(gè)紋樣來(lái)顯示的，單個(gè)紋樣的拼接得到二方連續(xù)紋樣、四方連續(xù)紋樣等圖案形式，圖案設(shè)計(jì)是用手繪或者計(jì)算機(jī)程序繪制。 1985 年，曼德布勞特獲得 Barnard 獎(jiǎng)?wù)隆? 分形圖形可以用計(jì)算機(jī)來(lái)生成，這得益于分形理論的理論基礎(chǔ)， 即相似性和復(fù)雜性。 我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)說(shuō)了分形圖形可以應(yīng)用在許多方面，如分形服裝、分形壁畫(huà)、分形掛歷等，確實(shí)分形圖形應(yīng)用在這些方面可以給人耳目一新的感覺(jué)，但 我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中并沒(méi)有看到許多的分形圖案，分形圖案并沒(méi)有深入人心 [10]。 分形理論是一門(mén)新的學(xué)科，其理論基礎(chǔ)不是十分完善，還有待于更進(jìn)一步的發(fā)展和完善。通過(guò)計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)牛頓迭代分形圖形的生成，同時(shí)提供一些設(shè)置參數(shù)，對(duì)生成的分形圖形顏色及顯示效果進(jìn)行修改，生成各種自己喜愛(ài)的絢麗圖形，最后將生成的分形圖形保存起來(lái)。為此，必須建立圖形所描述的場(chǎng)景的幾何表示，再用某種光照模型，計(jì)算在假想的光源、 紋理 、材質(zhì)屬性下的光照明效果。 60年代中期，美國(guó)的 MIT、通用汽車公司、貝爾實(shí)驗(yàn)室和洛克希德等眾多的公司紛紛開(kāi)展了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用和研究。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)經(jīng)過(guò)將近 40 年的發(fā)展，已進(jìn)入了較為成熟的發(fā)展期。 6) 從追求絕對(duì)的真實(shí)感向追求與強(qiáng)調(diào)圖形的表意性轉(zhuǎn)變 。 Cantor 于 1872 年引入一類現(xiàn)今稱為Cantor 三分集的全不連通的緊集。同時(shí)，維數(shù)的乘積理論、投影理論、位勢(shì)方法、網(wǎng)測(cè)度技巧、隨機(jī)技巧均先后建立并成熟，使得分形幾何的研究具有自己的特色與方法。 Mandelbrot 在對(duì) 19 世紀(jì)下半葉到 20 世紀(jì) 上半葉出現(xiàn)的當(dāng)時(shí)被人們形象的稱為“數(shù)學(xué)怪物”的數(shù)學(xué)實(shí)例及許多物理和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行研究后，終于創(chuàng)立了這門(mén)重要學(xué)科 — 分形幾何（ Fractal Geometry）， Fractal 這個(gè)詞是 Mandelbrot 創(chuàng)造的，來(lái)源于拉丁文 Fractus, 其英文意思是 broken。 （ 2）分形集是如此的不規(guī)則，以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。如果算法的多次重復(fù)仍然產(chǎn)生同一個(gè)分形圖，這種分形稱之為確定性分形。為 了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度， 1919 年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限 [8,12]。其實(shí)， Koch 曲線的維數(shù)是： 26 3ln 4ln ??D。 假定 F是 Rn的子集， p是非負(fù)數(shù)，對(duì)任意的 ? 0，定義 ，覆蓋的是 }F}{:i nf{)( 1 ?? ??? ?? ipi ip UUFH () 并約定空集 0p ?? ，當(dāng) ? 遞減時(shí)，上式的下確界（縮寫(xiě)為： inf）是非遞減的。 集合 F的 Hausdorff 維數(shù) )(dim FH 的精確數(shù)學(xué)描述為： })(:s u p {}0)(:i n f {d i m ????? FHpFHpF ppH （ ） 16 圖 Hausdorff 測(cè)度從無(wú)窮猛降為零時(shí)的臨界值 于是 ???????).(di m,0),(di m,)(FpFpFHHHp () . 盒維 由于這種維數(shù)易于數(shù)學(xué)計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，所以盒維是一種普遍使用的維定義。 DN ?? ?)( 在ε→ 0 之所以為有限，這意味著當(dāng)ε接近 0 時(shí)， N(ε )與 cD?? 成比例。對(duì)規(guī)整幾何圖形的幾何測(cè)量是指長(zhǎng)度（邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、以及對(duì)角線長(zhǎng)等）、面積與體積的測(cè)量，它們都有特定的計(jì)算公式。我們可以為歐式幾何和分形幾何在區(qū)別上作一個(gè)總體的概括。 ?? } void Recur_B(n) {?? Recur_C(m)。比如第二步迭代就得到 FF++FFFF++FF++FF++FFFF++FF 這樣的迭代式，越到后面迭代式就越長(zhǎng)也越復(fù)雜。令 0Z 為一定值， 22 把任意不同值的復(fù)數(shù) C 帶入上式來(lái)迭代，得到了 ??,321 , ZZZ 序列，每一不同的初始 C 值對(duì)應(yīng)于不同序列 nZ 值，通過(guò)研 究這些序列的分布情形從而了解復(fù)平面里復(fù)數(shù) C所構(gòu)成曼德勃羅特集。上面用迭代算法得到的 M 集和 J 集也可以用逃逸時(shí)間算法得到。但是，表征自相似系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的定 量性質(zhì)如分形維數(shù)，并不會(huì)因?yàn)榉糯蠡蚩s小等操作而變化，所改變的只是其外部的表現(xiàn)形式。 圖 三分 Cantor 集 去掉中間三分之一的 Cantor 集，也稱為三分 Cantor 集，它是一種人們最了解，同時(shí)也是最容易構(gòu)造的分形，顯示出許多典型的分形特征。當(dāng) k充分大，曲線 Ek和 Ek1只在精細(xì)的細(xì)節(jié)上不同，而當(dāng) k→∞ ,折線序列趨于極限曲線 F,稱 F 為三次 Koch 曲線。雖然稱 F為曲線是合理的，但它是如此不規(guī)則，以至于在傳統(tǒng)的意義下，它沒(méi)有任何切線。 首先將一個(gè)等邊三角形四等分，得到四個(gè)小等邊三角形，去掉中間的一個(gè)，保留它的三條邊。一個(gè)原來(lái)規(guī)整的正方形，經(jīng)上述操作之后，成了千窗百孔。如果根據(jù)不同的λ值對(duì)應(yīng)的 Julia 集的連通性對(duì)參數(shù)λ進(jìn)行分類，還可以在參數(shù)空間做出稱為 Mandelbrot 集的λ的點(diǎn)集，而且 Mandelbrot集局部與其上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 Julia 集還有某種“相似性”。精確的定下： 設(shè) D 是 nR 的一個(gè)子集 (通常就是 nR 本身 )，并且設(shè) f: D→ D是一個(gè)連續(xù)映射，表示 f的 k次迭代。若 f 為任一亞純函數(shù)（除去有限個(gè)外，在 C∪ {∞ }上是解析的），一般理論的大部分也是成立的。 . Mandelbrot 集 Mandelbrot集是由分形理論的創(chuàng)始人美國(guó)科學(xué)家 Mandelbrot開(kāi)發(fā)的經(jīng)典分形圖形， Mand