數(shù)學(xué)中的變換--幾種常見變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 影變換，根據(jù)基本定理有 ? ? ? ? 139。1 2 1 2 239。32 2 2 20 0 3 31 1 0 0??????? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? 可得 39。1139。 39。 注 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 39。 。1 2 3 233 6 0 0, , 0 1 6 0 00 0 3 6xx x x xx?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 化為非齊次坐標(biāo)為 22149xy?? . 四、相似變換 （一）相似變換的定義 如果存在可逆函數(shù) ??hx，使得函數(shù) ??Fx和 ??Gx滿足? ? ? ?1F x h G h x?? ，則稱 ??Fx和 ??Gx相似 .[1] 20 注 一般地有兩個(gè)函數(shù) ? ? ? ?, , , ,y f u u D u g x s? ? ? ? ?? ??* |,x g x D? ? ? ?x?? ?? ，由于對(duì)任意的 x?? ，存在唯一的 u ，使得 ? ?u g x? ，同時(shí)也存在唯一的 y ，使得 ? ?y f u? ，所以確定了一個(gè)定義在 *? 上，以 x 為自變量， y 為因變量的函數(shù)，記作 ? ?? ? *,y f g x x? ??或 ? ?? ? *,y f g x x? ? ?，稱為由函數(shù) ??fx和 ??gx經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算得到的復(fù)合函數(shù)。139。 39。139。1 2 3,?? ? 為方程組 ? ?39。1139。1 2 3 4 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 339。 39。1 1 139。4 4 4 1 2 3 239。 39。 39。4 4 4TT?? ??? （ 4） （ 1），（ 2），（ 3）式可寫成 ? ? ? ?139。3,T T T T???????? ? ? ? ???????確定。而常數(shù) 39。 其中 15 39。39。 39。12 121 5 51 6 4O P P O O P P OSS ???. 我們通過(guò)仿射變換不僅能夠求出橢圓面積，也能求出橢圓的扇形面積，只要給出橢圓上的兩點(diǎn)即可，橢圓的有關(guān)仿射性質(zhì)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題來(lái)解決，為解題或證明帶來(lái)了極大的方便。1? y 2? 1? o ? x y x 14 而 39。 在 39。? 13 221122TS aab a?? ， 因此所給的橢圓的面積為 ab? . 例 2 求橢圓 2219 25xy??上兩點(diǎn)1 352, 222p ??????，2 352 , 222P ???????和中心的連線以及橢圓弧 12?? 所 圍成的面積12oppoS。 39。39。 解：設(shè) 39。 （ 4）在仿射變換下平行線段的長(zhǎng)度比值不變。求多元函數(shù) ? ?12, , , nf x x x 在某點(diǎn) 0P 的 Tarlor 公式，困難在于求其混合偏導(dǎo)數(shù)的繁瑣，計(jì)算量較大，如果我們能適時(shí)引入正交變換就可以使求混合偏導(dǎo)數(shù)變得相對(duì)簡(jiǎn) 單，甚至可以避 9 免求混合偏導(dǎo)數(shù)。, 1,x y zu v w? ? ? ? ??，由式（ 1）知： ax by cz bu? ? ? ， 于是由三重積分變量替換公式得 : ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2221111 2211,x y z x y zuwf a x b y c z d x d y d z f k u d u d v d wf k u d u u d v d w u f k u d u?? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ???? ???? ?? ? 7 則 ? ? ? ? ? ?1 21 1f ax by c z dx dy dz u f k u du??? ? ? ???? ?. （ 2）正交變換在曲面積分中的應(yīng)用 例：證明 ? ? ? ?12 2 a x b y c z d s f a b c u d u? ?? ? ? ? ???? ?其中∑是單位球面： 2 2 2 1x y z? ? ? . 分析：因?yàn)?? ? 2 2 22 2 2 2 2 2a x b yf a x b y c z f a b c a b c a b c??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 2 2czabc ??? ?????? ?，如果令 2 2 2 2 2 2c o s , c o s ,aba b c a b c????? ? ? ? 2 2 2co scabc? ? ?? ，則 2 2 2c os c os c os 1? ? ?? ? ?，因此可以聯(lián)想到用正交變換 。它要同時(shí)兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)。 2.? ? ?? ? ? ? 當(dāng) 127????時(shí)，解齊次方程組 ? ?70X?? ? ? ，可得其基礎(chǔ)解系為： 12100 , 122??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 將 12,??正交化 ? ?? ?121 1 2 2 11141 5,0 , 1,225??? ? ? ? ?????????????? ? ? ? ??????? ????????? 4 再單位化，得： 111151025???????????????????? ， 2224351535235??????????????????????? . 當(dāng) 3 2??? 時(shí)， 解齊次方程組 ? ?20X?? ? ? ，可得其基礎(chǔ)解系為： 3221??????????? 單位化得： 3332312313???????????? ? ??????????? 由于 3? 與 12,??一定正交，因此以 1 2 3,??? 作為列向量得正交矩陣： 1 4 235 3 55203352 2 135 3 5??????? ? ???????? 令 39。E??? ，可知 2 1??或者 1??? 。靈活的運(yùn)用仿射變換，能使一些初等幾何問(wèn)題由繁到簡(jiǎn)。仿射變換是幾何中的一個(gè)重要變換，它是從運(yùn)動(dòng)變換到射影變換的橋梁。 如果 ? 是正交矩陣 ,那么由 39。11( , , ( ) )nnij i j ij ji ij n nij a x x a a a ??? ? ? ??? 例 1 用 正交變換法將二次型 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 33 3 6 8 4 4f x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換 . 解： 先寫出二次型的矩陣： 3 4 24322 2 6?????????? 解特征方程 ? ? ? ?23 4 24 3 2 7 2 02 2 6?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 得 ? 的全部特征值為： 1 2 37。用變量替換的方法就容易解決 ,但 是變量替換只不過(guò)是改變積分區(qū)域的分劃 ,而選擇替換有著很大的隨意性 ,存在一定的難度。???? ，而 ? ?? ? 39。u u uw w wu v wu v w?????? 8 則 ? ?? ?2222c o s 1 s in,1, s in 1 c o s1u uvw u uuuw uu????? ??? ?? ? ??? ?? 同樣可以算得： ? ?? ? ? ?? ?22,1 c o s , 1 s i nw u u vuuu w u w????? ? ? ? . 所以： ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2, 1 c os si n 1 1u w u u u u??? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故 ? ?,ds u w dudw? 其中 D 在 uw 平面上 . 再把曲面積分化為二重積分得： ? ? ? ?? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 12 2 2 2 2 21 0 1Df a b c u d s f a b c u d u d
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