【正文】 to obtain the force acting on the collection of atoms due to their interaction with the bodies outside the volume Vm, Le. Since the collection of atoms can be regarded as constituting a weakly dielectric body of susceptibility XNI(r, i~), Eq. (8) gives the Casimir force acting on such a body. Note that special cases of this formula were already used by Lifshitz [7] in the study of Casimir forces between dielectric plates. The question is how Eq. (8) can be generalized to an arbitrary groundstate body whose susceptibility XrvI (r,i~) is not necessarily small. An answer to this and related questions can be given by means of the Lorentzforce approach to dispersion forces, as developed in Refs. [8,9]. 2. Lorentz Force Let us consider macroscopic QED in a linearly, locally and causally responding medium with given (plex) permittivity c( r, w) and perrneability p( r, w). Then, if the current density that enters the macroscopic Maxwell equations is the sourcequantity representations of the electric and induction fields read as 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 23 頁(yè) where the retarded Green tensor G(r,r39。 感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過(guò)程中給予我了很多有用的素材，還在論文的撰寫和排版等過(guò)程中提供熱情的幫助。 這樣就表 明 ： 低維 Van der Waals 色散作用與漲落相對(duì)取向有著密切關(guān)系 ，并且得出 低維情形下出現(xiàn)排斥性 Van der Waals 作用的條件。另一方面 ， 在遠(yuǎn)距離極限下 ， ()式中的指數(shù)因子表明低頻貢獻(xiàn)居主要地位 ， 極化率可以取靜態(tài)情形 ， 即 ： ? ? ? ?0??? ?i ； 這時(shí) ， 完成 ()式的積分 ， 得到 ： ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ????027262 02 54/1202 ??????? ? R cedRcRRU ?? (式 ) 這就是縱向情形的一維 Casimir 色散作用能 。 必須指出一維色散作用不只一種形式 。 為抓住物理實(shí)質(zhì) ， 考慮兩個(gè)瞬時(shí)偶極矩滿足下述對(duì)稱性條件的中性體系 ： ? ? 2222, zyx dddnd ????? (式 ) 設(shè)體系 1 自發(fā)產(chǎn)生偶極矩為 ? ??,11 rd ?? ， 形成的電場(chǎng)譜分量為： ? ? ? ? ???????? ????? RRnrrRR dndnrE ??????????? ,3, 123 1121 ? (式 ) 該場(chǎng)在體系 2 產(chǎn)生一誘導(dǎo)偶極矩 ： ? ? ? ? ? ????? ., 2122 rErd i ???? ? (式 ) ???? 為極化率 。實(shí)驗(yàn)上最近也對(duì)其進(jìn)行了精確的 測(cè)定 [20]。 依量子力學(xué)，諧振子的能量為 ,2,1,21 ??????? ?? nhnE ?… ?，F(xiàn)在的問(wèn)題是 (b)狀態(tài)是如何產(chǎn)生的呢？我們可以這樣來(lái)理解，對(duì)時(shí)間平均來(lái)說(shuō)，惰性氣體分子的偶極矩 為零，但就瞬時(shí)而言，某一時(shí)刻惰性氣體也會(huì)呈現(xiàn)瞬時(shí)偶極矩，這一瞬時(shí)偶極矩對(duì)鄰近的惰性分子又極化作用，使它產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩。 惰性氣體分子的電子云分布是球形對(duì)稱的，偶極矩 p 等于零，由對(duì)取向力的認(rèn)識(shí)，它們之間的相互作用能 u 應(yīng)等于零．但實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明它們之間仍然有相互作用力存在．因此，除了前兩種力以外，分子之間一定還有第三種力， 1930 年倫敦用瞬時(shí)偶極矩的相互作用并結(jié)合量子力學(xué)證明了這種力的存在，稱為色散力 或 為色散相互作用 。同樣兩個(gè)極性分子間也能產(chǎn)生誘導(dǎo)相互作用， 這種情況第一分子受到第二分子電場(chǎng) 2E 的作用 發(fā)生 畸變，產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩 ，該誘導(dǎo)偶極矩與第二分子的偶極矩產(chǎn)生誘導(dǎo)相互作用 ；同樣，第二分子受到第一分子電場(chǎng) 1E 的作用，要產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩 ，該誘導(dǎo)偶極矩與第一分子的偶極矩產(chǎn)生誘導(dǎo)相互作用。 2p? 所產(chǎn)生的電 勢(shì) 為 2 22 cosrpV ?? ，而 ? ? ? ? 2 22222 2 221rVVE E E rr? ???????? ? ? ? ? ??????? ??1c o s3 2232 ?? ?rp (式 ) 圖 兩個(gè)偶極矩之間的相互作用 由于熱運(yùn)動(dòng)的影響， 1p? 與 2p? 的方向是隨機(jī)的，其相互作用應(yīng)取平均值。其性質(zhì)和大小與電偶極矩的相對(duì)取向有關(guān)， 當(dāng)電偶極矩的取向完全一致時(shí)，電偶極矩的相互作用勢(shì)能，也即分子間的吸引能為最低（絕對(duì)值最大）。這在學(xué)術(shù)界引起了轟動(dòng)，是范德瓦爾斯力 目前 的主要研究方向。這 3 種力分別稱為 取向 力 、誘導(dǎo)力 和 色散 力。固體對(duì)氣、液的吸附分為物理吸附和化學(xué)吸附，物理吸附的作用力是范德瓦爾斯力。 因此研究范德瓦爾斯力能讓我們更好的了解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，包括分子或原子內(nèi)部 的結(jié)構(gòu)變化， 以及 分子間的一些作用力 是 怎么形成的。 西安文理學(xué)院物理與機(jī)械電子工程學(xué)院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目 范德瓦爾斯力的產(chǎn)生機(jī)理及其計(jì)算 專業(yè)班級(jí) 09 物理學(xué) 01 班 學(xué) 號(hào) 07101090*** 學(xué)生姓名 ** ** 指導(dǎo)教師 ****** 設(shè)計(jì)所在單位 西安文理學(xué)院 2020 年 5 月 范德瓦爾斯力的產(chǎn)生機(jī)理及其計(jì)算 摘要： 本文從范德瓦爾斯力是分子間的弱的靜電相互作用出發(fā)，通過(guò)理論分析、構(gòu)建模型、數(shù)學(xué)計(jì)算等方法，分析了取向相互作用 、 誘導(dǎo)相互作用和色散相互作用 ， 研究了這三種力的產(chǎn)生機(jī)理 ， 得出了它們 各自 的計(jì)算式并以此得出了范德瓦爾斯力的計(jì)算式 。 它是分子間相互結(jié)合的主要原因，并且其中的色散力是惰性氣體在低溫下能液化甚至固化的重要原因。 三是 對(duì)物質(zhì)吸附能力的影響。 1912年葛生 keesom研究了極性分子之 間的相互作用， 1921 年德拜 Debye 研究了極性分子與非極性分子之間的相互作用， 1930 年倫敦 London 研究了非極性分子例如惰性原子之間的相互作用。最 新 的觀點(diǎn)認(rèn)為 ， 除以上三種范德華力以外，分子之間還存在另一種作用力 ， 即自由旋轉(zhuǎn)的電荷群之間的吸引力 [7]。兩個(gè)極性分子之間的電偶極矩會(huì)有靜電相互作用，我們把這種相互作用稱之為取向力。 當(dāng)兩分子的偶極矩取向不一致時(shí)， 如圖 所示，設(shè)兩分子的永久偶極矩分別為1p? 、 2p? ， 則 1p? 在 2p? 所產(chǎn)生的電場(chǎng) 2E? 的作用下所具有的 勢(shì) 能為 ? ? 121 co s?Epru k ?? ，1? 為 1p? 與 2E? 之間夾角 。 這種情況我們稱之為誘導(dǎo)相互作用。 后面將 通過(guò)宏觀響應(yīng)理論深入探討。也就是說(shuō)，非極性分子間瞬時(shí)偶極矩的吸引作用應(yīng)是非極性分子結(jié)合成晶體的動(dòng)力。由此可得 2ek ?? ，代入上式并引入新坐標(biāo) ? ?211 21 xx ??? (式 ) ? ?212 21 xx ??? (式 ) 可得 2222221121 212 1212 1 ?? kpmkpmE ???? (式 ) 西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 10 頁(yè) 可見(jiàn)，引入新坐標(biāo)后，系統(tǒng)的能量可以表示為兩個(gè)獨(dú)立振子的能量之和，系統(tǒng)的力常數(shù)分別為 1k 和 2k ，振動(dòng)頻率分別為 3011 2121 rmk ???? ???， (式 ) 3022 2121 rmk ???? ??? (式 ) 這說(shuō)明原來(lái)頻率為 0? 的兩個(gè)振子，經(jīng)相互作用后，以不同的頻率 1? 與 2? 振動(dòng)著，一個(gè)較原先的頻率小，另一個(gè)較原先的頻率大 。 根據(jù) ()、 ()、 ()式的討論，可知極性分子總的相互作用能 為 ? ? ? ? ? ? ? ?LDK rurururu ??? ? ??????? ??????2121216202222122216 234321 ????????? hrppTk pprB (式 ) 對(duì)相同的分子，則有 ? ? ?????? ???? ????? 2202246 83432 hpTkprru B (式 ) 宏觀響應(yīng)理論計(jì)算低維色散作用勢(shì) 近幾年來(lái)，由于漲落性質(zhì)的長(zhǎng)程相互作用在 JC 模型，二聚物，圈閉電離以及超導(dǎo)物理和液晶物理研究中的成功應(yīng)用，特別是激光幽閉原子冷阱的實(shí)現(xiàn)，引起人們對(duì) Van der Waals 力研究的新的興趣 [17～ 19]。對(duì)其基本公式稍加推廣便能用來(lái)處理各種復(fù)雜的實(shí)際情況。下面分別研究一維和二維兩種情形 。 同時(shí) 還須考慮到真空漲落場(chǎng)誘導(dǎo)的偶極矩 ? ? ? ?00 Ed i ?? 及它們的相關(guān)性 ， 即 [23]： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?RzzzzDzEzE R ???? 212102020 ,Im ?? ? (式 ) 利用 ()式及電動(dòng)力學(xué)中熟悉的鏡像法 (取二次鏡像近似 )， 可以得到如下的適用于任意距離的表達(dá)式 ： ? ? ? ? ? ? ? ?? ???????? 20 ,2Im RDdRU R ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?????????? ?????? ????0 234442/22/1/2/12 cRcRcRcReidRc?????????? (式 ) 容易證明 ， 在近距離極陰下 ? ?0/ ?cR? ， 上式即化為 ()式 (考慮到 ()式 )。 至于其它情形 ， 其比值則介于這兩者之間 。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻(xiàn)，如果沒(méi)有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。39。,w39。s stress tensor), which is (formally) identical with the stress tensor in microscopic electrodynamics. Note that in going from Eq. (18) to Eq. (19), a term resulting from the (slowly varying part of the) Poynting vector has been omitted, which is valid under stationary conditions. If IN(r) can be regarded as being a classical current density producing classical radiation, IN(r) ~ jclass (r, t), then the Lorentz force puted in this way gives the classical radiation force that acts on the material inside the chosen space region of volume Vm (see also Ref. [10]). 3. Dispersion Force As already mentioned in Sec. 1, the dispersion force is obtained if IN(r) is identified with the noise current density attributed to the polarization and magization of the material.