【正文】 交 x 軸、直線 OB于點 E、 F，點 E為垂足，連結(jié) CF. H P A B C O D E F G （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。為了避免觸礁，輪船 P 與 A、B 的張角 ∠ APB 的最大值為 ______176。 13. （ 2020 湖南常德， 7， 3 分）如圖 2，已知 ⊙ O 是 △ ABC 的外接圓，且 ∠ C =70176。 【答案】 260 6. （ 2020 山東威海， 15， 3 分） 如圖，⊙ O 的直徑 AB 與弦 CD 相交于點 E，若AE=5,BE=1, 42CD? ,則 ∠ AED= . 【答案】 30176。 7. （ 2020 山東煙臺， 16,4 分） 如圖， △ ABC 的外心坐標(biāo)是 __________. 【答案】（－ 2，－ 1） 8. （ 2020 浙江杭州 ， 14， 4）如圖，點 A， B， C， D 都在 ⊙ O 上， 的度數(shù)等于 84176。則 ∠ OAB =__________. 圖 2OBCA 【答案】 20176。． 【答案】 40 20． （ 2020上海， 17， 4 分）如圖， AB、 AC 都是圓 O 的弦， OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分別為 M、 N，如果 MN＝ 3，那么 BC＝ _________． 【答案】 6 21. （ 2020 江蘇無錫， 18， 2 分）如圖，以原點 O 為圓心的圓交 x 軸于點 A、 B 兩點，交 y軸的正半軸于點 C， D 為第一象限內(nèi) ⊙ O 上的一點，若∠ DAB = 20176。時，求弧 AB 的長； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時，求線段 EF 的長； （ 3）在點 B 運動過程中，是否存在以點 E、 C、 F 為頂點的三角形與 △ AOB 相似，若存在，請求出此時點 E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . FEDCBAO xy 解：（ 1）連結(jié) BC, ∵ A（ 10， 0） , ∴ OA=10 ,CA=5, ∵ ∠ AOB=30176。. ∵∠ Q＝∠ C，∴∠ QFD＝∠ P. ∵∠ FOE＝∠ POF，∴△ FOE∽△ POF. ∴ OE OFOF OP?.∴ OE ∴ ∠ ABC＝ 30176。 7. （ 2020 浙江麗水， 21， 8 分） 如圖，射線 PG平分 ∠ EPF， O為射線 PG 上一點，以 O 為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結(jié) OA，此時有 OA∥PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標(biāo)明的點 (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過點 O 作 OH⊥ AB 于點 H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH=12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一點， ∠ ABC=45176。 ∴ B、 C、 E三點共線． （ 2） 連接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。 ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176?！?D=20176。 . （ 3）∵∠ BCO=∠ A+∠ D，∴∠ BCO＞∠ A，∠ BCO＞∠ D. ∴要使△ DAC與△ BOC相似，只能∠ DCA=∠ BCO=90176。 BE，即 b2=a（ 4a） . ∴ 2S1S3S22=4a（ 82a） 4b2=4a2+16a=4（ a2） 2+16. ∴當(dāng) a=2 時， b=2， 2S1S3S22有最大值 16. 14. （ 2020江蘇泰州， 26， 10 分）如圖，以點 O 為圓心的兩個同心圓中，矩形 ABCD的邊BC 為大圓的弦，邊 AD 與小圓相切于點 M， OM 的延長線與 BC 相交于點 N． （ 1）點 N 是線段 BC 的中點嗎？為什么？ （ 2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差） 為 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圓的半徑． MODACBN 【答案】 解： (1)N 是 BC 的中點。=90176。 又 ∵ EG⊥ AC ∴△ CEG∽△ CAE ∴CECGACCE? ∴ 84105422 ????? CGACCE ∴ 21284 ??CE . 17. （ 2020 江西南昌， 21， 8 分）如圖，已知 ⊙ O 的半徑為 2，弦 BC 的長為 23，點 A 為弦 BC 所對優(yōu) 弧上任意一點（ B， C 兩點除外）。∴ MN=2ME=4． 19. （ 2020湖北黃岡， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點， BC=AF，延長 DF 與 BA的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴ 弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， 第 22題圖 B A F E D C M E NM DCBAO ∴ AC?AF=DF?FE 20． （ 2020 廣東茂名， 24， 8分）如圖，⊙ P與 y 軸相切于坐標(biāo)原 點 O(0， 0)，與 x 軸相交于點 A(5， 0)，過點 A 的直線 AB 與 y 軸的正半軸交于點 B，與 ⊙ P 交于點 C． (1)已知 AC＝ 3， 求點 Ｂ 的坐標(biāo)； (4 分 ) (2)若 AC＝ a , D 是 OＢ 的中點．問：點 O、 P、 C、 D 四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為 1O ，函數(shù)xky?的圖象經(jīng)過點 1O ，求 k 的值 (用含 a 的代數(shù)式表示 )． (4 分 ) 【答案】解： (1)解法一：連接 OC，∵ OA 是⊙ P 的直徑，∴ OC⊥ AB， 在 Rt△ AOC 中， 492522 ????? ACOAOC 在 Rt△ AOC 和 Rt△ ABO 中，∵∠ CAO＝∠ OAB ∴ Rt△ AOC∽ Rt△ ABO， ∴ △ FDA ∽△ ADB ∴ ABAFDBAD? ∴在 Rt△ ABD 中， tan∠ ABD＝ 4310215 ??? ABAFDBAD ，即 tan∠ ABF＝ 43 22. （ 2020 內(nèi)蒙古烏蘭察布， 21， 10 分） 如圖，在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB＝ 90176。－ ∠ BPM=180－ （ ∠ APC+∠ BPC） =180176?！唷?ABD+∠ BAD=∠ AEB+∠ BAE=90176。. ∴ PH= 332. ∴ S 梯形 PBCM= 1 1 3 1 5( ) ( 2 3 ) 3 32 2 2 4P B C M P H? ? ? ? ? ?. 25. （ 2020湖北宜昌， 21， 8分） 如圖 D是 △ABC 的邊 BC 的中點，過 AD 延長線上的點 E作 AD的垂線 EF， E為垂足， EF與 AB 的延長線相交于點 F，點 0 在 AD 上， AO = CO， BC//EF. (1)證明 :AB=AC； (2)證明 :點 0 是 AABC 的外接圓的圓心； (3)當(dāng) AB=5,BC=6時，連接 BE 若 ∠ABE=90176。 ∠ OED=∠ F 又因為 OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設(shè) ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點， BC=AF，延長 DF 與 BA的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴ AC?AF=DF?FE 24. （ 2020 湖北孝感， 23， 10 分） 如圖，等邊△ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， P是 AB 上任一點（點 P不與點 A、 B重合） .連 AP、 BP，過點 C作 CM∥ BP 交 PA的延長線于點 M. （ 1）填空：∠ APC＝ 度，∠ BPC＝ 度；（ 2分） （ 2）求證：△ ACM∽△ BCP；（ 4分） （ 3）若 PA=1， PB=2，求梯形 PBCM的面積 . （ 4分） 【答案】 解：（ 1） 60,60； （ 2） ∵ CM∥ BP， ∴∠ BPM+∠ M=180176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。. （ 2）因為 △ ABC 中的邊 BC的長不變，所以底邊上的高最大時， △ ABC面積的最大值 ,即點A是 BAC 的中點時， △ ABC