【正文】 例7指出下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)：（1）y=(2x+1)；（2）y=解（1）y=u9,u=2x+1（2）y=u,u=logav,v=cosx+4u（3）y=10u=sinv,v=9loga(cosx+4)；（3）y=10xsin1x；x1 x對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，每個(gè)層次都應(yīng)是基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算式；當(dāng)分解到基本初等函數(shù)或常數(shù)與基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算時(shí)，就不再分解了。四、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)在函數(shù)y=sin2x中，我們不難看出，這個(gè)函數(shù)值不是直接由自變量x來(lái)確定的，而是通過(guò)2x來(lái)確定的，如果用u表示2x，那么函數(shù)y=sin2x就可以表示成y=sinu，而u=2x，這也就說(shuō)明了y與x的函數(shù)關(guān)系是通過(guò)變量u來(lái)確定的。)是非奇非偶函數(shù)。若f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，那么f(x)叫做非奇非偶函數(shù)。例如，y=x2在區(qū)間[0,+165。求反函數(shù)的過(guò)程可以分為兩步：第一步從y=f(x)解出x=f母x和y。分段函數(shù)在整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)。解因?yàn)?206。4232。2x1163。x+3179。,0247。230。)，而函數(shù)y=的定義域?yàn)?165。定義域D與對(duì)應(yīng)法則f唯一確定函數(shù)y=f(x)，故定義域與對(duì)應(yīng)法則叫做函數(shù)的兩要素。抽去上面兩個(gè)例子中所考慮的量的實(shí)際意義，它們都表達(dá)了兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，這種相依關(guān)系給出了一種對(duì)應(yīng)法則，根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有確定的值與之對(duì)應(yīng)。一個(gè)主要原因在于，對(duì)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點(diǎn)又無(wú)法解決。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度v0=32公里/小時(shí)32180。sinxdx,242。=2，xx33311所以242。⑶應(yīng)用舉例例1．計(jì)算下列定積分：311（1）242。baf(x)dx242。T2T1v(t)dt=S(T1)S(T2)而S162。211dx 5(x1)第四篇：微積分基本定理(教案)一：教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的內(nèi)容，會(huì)用牛頓萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分過(guò)程與方法通過(guò)實(shí)例探求微分與定積分間的關(guān)系，體會(huì)微積分基本定理的重要意義情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。ce174。ababbe174。f(x)dx+lim242。165。+165。⑴由曲線y=f(x)，y=g(x)[f(x)g(x)]及直線x=a，x=b[ab]圍成的圖形的面積為：S=242。③把P(x)化為如下形式Q(x)Aa A1A2P(x)=++L+Q(x)(xa)a(xa)a1(xa)2 +LLLLLBbB2 +B1+ +L+bb1(xb)(xb)(xb)+Mlx+NlM1x+N1M2x+N2++L+ 2l2l12(x+px+q)(x+px+q)(x+px+q)+LLLLL +Rmx+SmR1x+S1R2x+S2 ++L+2m2u12(x+rx+s)(x+rx+s)(x+rx+s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數(shù)，通過(guò)對(duì)上式進(jìn)行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數(shù)。為易積函數(shù)，v為冪函數(shù)。baf(x)dx=242。(t)dx jdx=162。注意：在定積分的換元法中，要相應(yīng)調(diào)整積分上下限。0x3t0x2四 求積分的各種方法⑴直接積分法（兩個(gè)積分表P174和P185）cos2x1+x+x2 例3 計(jì)算積分：①242。(x)。aaf(x)dx=0。M，則有m(ba)163。⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續(xù)；⑷定積分的幾何意義：設(shè)f(x)179。f(x)dx=F(x)+c，這里F162。162。(x)為負(fù)號(hào)則f(x)是凸函數(shù)。（用此定義可以證明一些不等式，見(jiàn)下例）。例12 求函數(shù)y=xln(x+1)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。求dy；dx238。(x)，f162。x0Dxxx0右導(dǎo)數(shù)：f+162。+165。0+limsinxlnx lim(sinx)x lim(x174。0x174。0xxf(x)x2 結(jié)論：當(dāng)x174。,當(dāng)nm 例2 計(jì)算極限：⑴ lim973x1 ⑵ (3x2)(2x+3)limx174。239。[b(t)G(t)]=242。(+)2．分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大建模及求解估計(jì)r=2 g=，利潤(rùn)為808=640（元），t 天出售，生豬體重 w=80+rt 銷售收入 R=pw 出售價(jià)格 p=8gt 資金投入 C=4t 利潤(rùn) Q=RC=pw –C Q(t)=(8gt)(80+rt)4t求 t 使Q(t)最大 t=4r40g2=10 rgQ(10)=660 640 10天后出售，可多得利潤(rùn)20元四、森林救火當(dāng)森林失火時(shí)，消防站應(yīng)派多少消防隊(duì)員去滅火呢？派的隊(duì)員越多，火災(zāi)損失越小，才能使總費(fèi)用（火災(zāi)損失+救援開(kāi)支）最小？解 1．問(wèn)題分析（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積有關(guān)，而被燒面積又與從起火到火滅的時(shí)間有關(guān)，而這時(shí)間又與消防隊(duì)員人數(shù)有關(guān).（2）救援開(kāi)支由兩部分構(gòu)成：①滅火劑的消耗與消防隊(duì)員酬金（與人數(shù)和時(shí)間有關(guān)）；②運(yùn)輸費(fèi)（與人數(shù)有關(guān)）.（3）在無(wú)風(fēng)的情況下，可認(rèn)為火勢(shì)以失火點(diǎn)為圓心，．模型假設(shè)（1）火災(zāi)損失與森林被燒面積成正比記開(kāi)始失火的時(shí)刻為t=0，開(kāi)始滅火的時(shí)刻為t=t1，火被完全撲滅的時(shí)刻為t=(t)，C1表示單位面積被燒的損失，則總損失為C1B(t2).（2）被燒面積與時(shí)間關(guān)系dBdBdB表示單位時(shí)間被燒面積(燃燒速度：m2/min),當(dāng)t＝0與t=t2時(shí)為零，當(dāng)t=t1時(shí)最dtdtdtdBdB|t=t1=，B(t)與t2成正比,故不妨設(shè)在區(qū)間[0,t1]與[t1,t2]上，大，記 [0,t1]上，斜率為b0，b稱為火勢(shì)蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率為blx0,.（3）救援開(kāi)支設(shè)x為消防隊(duì)員人數(shù)，滅火劑消耗與消防隊(duì)員酬金每單位時(shí)間的費(fèi)用為C2, 運(yùn)輸費(fèi)平均每人費(fèi)用為C3, 則救援開(kāi)支為C3x+C2x(t2t1).3．模型建立與求解圖143 由假設(shè)2，大面積為B(tt2dB2)=B(tdt＝DOMN面積＝bt22)B(0)=242。**2C1(C2+C3)rC2C3=2180。有C2+C3C=1+2174。C． ,182。T10q(t)dt，缺貨損失費(fèi)．貯存費(fèi)=每天每噸貨物的存貯費(fèi)180。天數(shù) ＝C2180。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的分析知道：當(dāng)公司定價(jià)為12元時(shí)，公司擁有60000用戶，此時(shí)公司每月的最大收益為72萬(wàn)元。(1)n1n=0n2n(x2)n二、小結(jié)泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)用間接法展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)三、作業(yè)：P312 102n第二篇：微積分教案微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的應(yīng)用微分模型一、光纖收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)模型某地有多家有線電視公司。(2)=23，L，f(2)=(1)nn11故229。162。(ln2)nn!xn在(165。n+12qx(ln2)(0q1)又因?yàn)閷?duì)任何x，余項(xiàng) Rn(x)=xn+1 (n+1)!n+1(ln2)n+1n+12qx(ln2)n+1qx=0（級(jí)數(shù)收斂，一般項(xiàng)趨于0）因此級(jí)數(shù)而limRn(x)=limx =2limxn174。165。() x=ln2，f(x)=2(ln2)，Lf(x)=2(ln2)f2/2即f162。n!n=0n!n=03．兩個(gè)重要函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式(1)ex=229。例1 將f(x)=ex展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。(0)x+2!n!(n)165。這里a0,a1,a2,...為待定系數(shù)。165。165。xn165。2246。anxn=1165。f162。xn=0n+1n165。n的收斂區(qū)間(R,R)內(nèi)任意一點(diǎn)x，有 xn第七章242。(an+bn)xnn=0n=0n=0165。n所以R=4,當(dāng)x=4時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?29。14[2]分析 令X=x+1則229。2n 的收斂半徑x2n=0(n!)165。n174。ann174。2232。1+247。xnn1n[1]229。165。unn174。uu由定理6知，當(dāng)limn+11時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，limn+11時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n174。2）當(dāng)x0=0時(shí)（1）式變?yōu)?29。 且229。165。232。un5 (n+1)5u230。232。Qlimn+1=lim=lim231。1=1，而npnp1是 p 1的p級(jí)數(shù)，收斂 229。165。二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂絕對(duì)收斂和條件收斂的定義：如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的絕對(duì)值所組成的級(jí)數(shù)收斂，則稱此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，如果級(jí)數(shù)收斂，而由它的各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱此級(jí)數(shù)條件收斂由P287的定理知，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂。(n174。nn+1un+1\原級(jí)數(shù)收斂[2]Qlimun=limn174。n=1165。un+1(n=1,2,...)[2]limun=0n174。un=lim35...(2n1)(2n+1)35..(2n1)2n1n174。n(n1)!第七章5n+155n5n+1[2] Qlim=lim=lim=51∴級(jí)數(shù)發(fā)散 n5n174。[2] 229。n174。0∴函數(shù)y 是減函數(shù)故當(dāng)n0時(shí)，ln(n+1)nln(n+1)1而229。==2(n=2,3,...)n!123...n122...22n12n165。P282 注意：上面定理中，關(guān)系式中n從1開(kāi)始，其實(shí)n從任意項(xiàng)m開(kāi)始都可以。二、收斂性的判別對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，其s1,s2,s3,Lsn,L為單調(diào)增加的，如果它是有界的，則必有極限。三、小結(jié)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義。4）Qsn==(n+1n) nn+11 \limsn=lim(n+11)=lim=165。n都是收斂的等比級(jí)數(shù)，由性質(zhì)1知229。n174。()解：1）由于229。3）229。注意：這是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，經(jīng)常用來(lái)判別級(jí)數(shù)發(fā)散 6．舉例例判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 1）1+2+…+100+229。cun= c229。S2n=1n=1n=1165。(un177。165。n174。2n12n+1248。247。1 230。(2)判定級(jí)數(shù)229。例判別級(jí)數(shù)229。165。14n都是收斂級(jí)數(shù)而n=1229。n=1165。a。165。248。aqn1=a+aq+aq2+aq3+...+aqn1+...165。n2）取極限limsnn174。165。+142+...+1n2+...229。是求和號(hào) 例如：1+2+3+4+5+6+…+n+…=229。從今天開(kāi)始我們就系統(tǒng)的介紹一些無(wú)窮項(xiàng)之和的理論。(2): 掌握級(jí)數(shù)的基本概念及基本性質(zhì)，: 重點(diǎn): : : : ：2課時(shí)一、引入課題在初等數(shù)學(xué)里，我們學(xué)過(guò)有限項(xiàng)的和例如1+2+3+4+5+….+100=100180。165。2nn=1n=1n229。數(shù)。一個(gè)級(jí)數(shù)有無(wú)和，亦即級(jí)數(shù)是收斂還是發(fā)散，其步驟為：1）先求出級(jí)數(shù)229。un發(fā)散。a1231。165。n174。229。230。5248。p163。()()()()2n12n+11335572n12n+1n=1229。232。1+++...+=231。232。=1，因此所給級(jí)數(shù)收斂，其和為1。2=1n=1(2n1)(2n+1)165。vn收斂，n=1n=1229。un177。到的級(jí)數(shù)229。un收斂，則limun==1n174。165。6n247。\229。(1)n(1)n11246。56n247。n174。un=u1+u2+...+un+...滿足條件un179。v=v+vn=1n1165。1 229。2 而229。n=1++...229。165。165。165。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，絕對(duì)收斂主要教學(xué)內(nèi)容(1)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念；(2)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理；(3)絕對(duì)收斂，條件收斂教學(xué)目的及要求: 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理以及絕對(duì)收斂，條件收斂的概念重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn):萊布尼茲定理難點(diǎn): 絕對(duì)收斂、條件收斂 解決措施: : ：2課時(shí)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)1．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念第七章交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式：229。例判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性 [1]229。165。1n+1=un+1由萊布尼茲定理知原級(jí)數(shù)收斂。165。165。(1)229。n=1|(1)n1n!nn|=229。165。5nn5|=229。165。 而 ln(n+1)ln(n+2)un+1lim=lim=lim=limn+1=11n174。1ln(n+1)n+2165。ln(n+1)三、小結(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)的概念交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂與絕對(duì)收斂四、作業(yè)：P310 5167。0時(shí)，給定一個(gè)x的值，冪級(jí)數(shù)成為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。165。在收斂區(qū)間以外，冪級(jí)數(shù)（2）發(fā)散。再判斷x=177。xnn=1nn+1n+11230。165。nn=1故級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（2，2）。165。1(1)n當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)229。limun+1un=lim[(n+1)!](n!)122n+1x2()n174。ann=04nn+11=lim4=4n174。即4二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)229。=n0165。0n=0n=0x165。165。232。x的收斂區(qū)間和和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)229。 =1n=1n232。x)162。247。可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂，因此，所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋郏?，１］三、小結(jié)冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間、和函數(shù)的求法四、作業(yè)：P311 6第七章167。(0)=2!a2，L，f(n)(0)=n!anf162。anxn，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)與f(x)的馬克勞林級(jí)