20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一23冪函數(shù)學(xué)案-免費(fèi)閱讀
【正文】 2． 3 冪函數(shù) [學(xué)習(xí)目標(biāo) ] ，會(huì)求冪函數(shù)的解析式 . y＝ x， y＝ x2， y＝x3， y＝ 1x， y＝ x12的圖象，掌握它們的性質(zhì) .． [知識(shí)鏈接 ] 函數(shù) y＝ x， y＝ x2， y＝ 1x(x≠0) 的圖 象和性質(zhì) 函數(shù) 圖象 定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性 y＝ x R R 增 奇 y＝ x2 R [0，＋ ∞) 在 (－ ∞ ， 0]上減 偶 在 [0，＋ ∞) 上增 y＝ 1x {x|x≠0} {y|y≠0} 在 (－ ∞ ， 0)上 減 奇 在 (0，＋ ∞) 上 減 [預(yù)習(xí)導(dǎo)引 ] 1．冪函數(shù)的概念 一般地，函數(shù) y＝ xα 叫做冪函數(shù)，其中 x是自變量， α 是常數(shù)． 2．冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 冪函數(shù) y＝ x y＝ x2 y＝ x3 y＝ x21 y＝ x－ 1 圖象 定義域 R R R [0，＋ ∞) (－ ∞ ， 0)∪ (0，＋ ∞) 值域 R [0，＋ ∞) R [0，＋ ∞) {y|y∈ R，且 y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 單調(diào)性 增 x∈[0 ， ＋ ∞) 增 增 增 x∈(0 ，＋ ∞) 減 x∈( － ∞ ， 0)減 x∈( － ∞ ， 0]減 定點(diǎn) (1,1) 要點(diǎn)一 冪函數(shù)的概念 例 1 函數(shù) f(x)＝ (m2－ m－ 1)xm2＋ m－ 3是冪函數(shù)，且當(dāng) x∈(0 ，＋ ∞) 時(shí)， f(x)是增函數(shù)，求 f(x)的解析式． 解 根據(jù)冪函數(shù)定義得， m2－ m－ 1＝ 1，解得 m＝ 2或 m＝－ 1， 當(dāng) m＝ 2時(shí)， f(x)＝ x3在 (0，＋ ∞) 上是增函數(shù)， 當(dāng) m＝－ 1時(shí)， f(x)＝ x－ 3，在 (0，＋ ∞) 上是減函數(shù)，不合要求． ∴ f(x)的解析式為 f(x)＝ x3. 規(guī)律方法 “ m2－ m－ 1＝ 1” 這一等量關(guān)系，導(dǎo)致解題受阻． 2．冪函數(shù) y＝ xα (α ∈ R)中， α 為常數(shù)，系數(shù)為 1，底數(shù)為單一的 為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的解析式形同而實(shí)異，解題時(shí)一定要分清，以防出錯(cuò)． 跟蹤演練 1 已知冪函數(shù) f(x)＝ xα 的圖象經(jīng)過點(diǎn) (9,3)，則 f(100)＝ ________. 答案 10 解析 由題意可知 f(9)＝ 3，即 9α ＝ 3， ∴ α ＝ 12， ∴ f(x)＝ x12， ∴ f(100)＝ 10012＝ 10. 要點(diǎn)二 冪函數(shù)的圖象 例 2 如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù) y＝ xn在第一象限的圖象，已知 n取 177。2 ， 177。 12四個(gè)值，則相應(yīng)于 c1， c2， c3， c4的 n依次為 ( ) A．－ 2，－ 12， 12， 2 B． 2， 12，－ 12，－ 2 C．－ 12，－ 2,2， 12 D． 2， 12，－ 2，－ 12 答案 B 解析 考慮冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的增減性．注意當(dāng) n＞ 0 時(shí)，對于 y＝ xn， n 越大， y＝ xn增幅越快， n＜ 0時(shí)看 |n|的大?。鶕?jù)冪函數(shù) y＝ xn的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng) n＞ 0時(shí)，n越大， y＝ xn遞增速度越快，故 c1的 n＝ 2， c2的 n＝ 12，當(dāng) n＜ 0時(shí)， |n|越大，曲線越陡峭，所以曲線 c3
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