【正文】 ????? ?11 )(nij jjii abab （ 3） 法三 ： 如 n 階行列式 nD 的第 i 行（列）由兩個分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且 nD 中含有 n 個分行（列）組成的Vandermonde 行列式，那么將 nD 的第 i 行（列）乘以（ 1? ）加到（ 1?i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成 Vandermonde 行列式 [8]. 例 4 計算行列式 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1s i n1s i n1s i n11111???????????????????????????????? 解 在 △ 4的第 2 行中去掉與第一行成比例的分行，得到 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1111???????????????????????????? 在上面行列式的第 3 行中去掉與第 2 行成比例的分行，得到一個新的行列式，在此新行列式的第 4 行中去掉與第 3 行成比例的分行，得 : △ 4=433323213423222124321s ins ins ins ins ins ins ins ins ins ins ins in1111????????????= ???? ?41 )s in(s inij ji ?? （ 4） 法 四 ： 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）的元素不是相應元素的零次冪（即該行（列）元素都不是 1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式 的 性質(zhì)將這一行（列）元素化為全是 1 的元素 . 寧夏師范學院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 10 例 5 證明 △ 3 =baaccbcbacba???222 證 明 將 △ 3 的第 1 行加到第 3 行上，得到 △ 3 =cbacbacbacbacba??????222 =222111)(cbacbacba ?? ))()()(( bcacabcba ?????? Vandermonde 行列式 在多項式與向量空間中的應用 在線性方程組中， Cramer 法則有著非常重要的作用，它給出了一類重要 的線性方程組的解的存在唯一性 .而 在許多行列式的計算與證明中， Vandermonde行列式 又是一個十分重要的行列式 .兩個如此“重要”的數(shù)學元素相結(jié)合，其產(chǎn)生的作用將更重要 .Vandermonde 行列式 在多項式 與向量空間 中的應用，主要就是結(jié)合 Cramer 法則來證明相關 的問題 [9].下面一起來看幾個典型的例子 . Vandermonde 行列式 在多項式中的應用 例 6 證明一個 n 次多項式至多有 n 個互異的根 . 證 明 用 反 證法 . 設 nn xaxaxaaxf ????? ?2210)( 有 n+1 個互異的根，分別為 ： 121 , , , ?nxxx ? ，則有： 0)( 2210 ?????? niniii xaxaxaaxf ? （ 11 ??? ni ） 即????????????????????????? 0 00122111022221201221110nnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa??????? 這個關于 naaa , , , 10 ? 的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是一個 寧夏師范學院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 11 Vandermonde 行列式 : 0)( 1 1 111121!22221211??? ????????nijjinnnnnnxxxxxxxxxxx???????則 由 Cramer法則知該方程組只有零解，即 0210 ????? naaaa ?， 而 n 次多項式)(xf 的最高次項的系數(shù) na 是不為 零 的 .這個矛盾表明 )(xf 至多有 n 個互異的根 . 例 7 設多項式 nknkk xaxaxaxf ???? ?21 21)( ， 0?ia ， ji kk? ，ji? ， },2,1{, nji ?? ，則 )(xf 不可能有非零且重數(shù)大于 1?n 的 根 . 證明 用 反 證法 . 設 0?? 是 )(xf 的重數(shù)大于 1?n 的根，則 0)(,0)(,0)( )1(39。 ???? ?61 )(ij ji aa = 1 2 3 1 2 4 4 5 6( ... )a a a a a a a a a? ? ? ()nkV ， 在 上 式右端，由多項式計算 知 12, ,..., nx x x 為 ( ) 0fx? 的 n 個不同根 ， 根據(jù)根與系數(shù)的關系，kx 項的系數(shù)為 ： ( 1)nknka ?? ?? nA2 2x? 2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ?? 注意到行列式2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來 ,降了一階，并且少了一元 1a .重復用上述方法對 1?nV 再 進行求解，經(jīng)過有限步 則 可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) ? 1 1 1( )( )nna a a a? ??） ? ? ? ? ))(( 11 ?? ?? nnn xxxx 1 (x x )ijj i n? ???， 則1212() , ... ... nknkn k p p pp p pV x x x ??? ? !2 ?????????????????????????????0 00 10??nkkk ， 其中??????????????????nnnnnncccccccccA121122221211 1 1 1???????