【正文】 最大面積是多少 學(xué)習(xí)目標(biāo) : 掌握長(zhǎng)方形和窗戶透光最大面積問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)的模型思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值．學(xué)會(huì)分析和表示不同背景下實(shí)際問(wèn)題中的變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題． 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 本節(jié)的重點(diǎn)是應(yīng)用二次函數(shù)解決圖形有關(guān)的最值問(wèn)題，這是本書惟一的一種類型，也是二次函數(shù)綜合題目中常見(jiàn)的一種類型．在二次函數(shù)的應(yīng)用中占有重要的地位，是經(jīng)常考查的題型，根據(jù)圖形中的線段之間的關(guān)系，與二次函數(shù)結(jié)合，可解決此類問(wèn)題． 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 由圖中找到二次函數(shù)表達(dá)式是本節(jié)的難點(diǎn)，它常 用的有三角形相似，對(duì)應(yīng)線段成比例，面積公式等，應(yīng)用這些等式往往可以找到二次函數(shù)的表達(dá)式． 學(xué)習(xí)方法 : 教師指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法。線段 BC=2cm，動(dòng)點(diǎn) P、 Q分別從 B、 C同時(shí)出發(fā)， P 以每秒 1cm 的速度，沿由 B向 C 的方向運(yùn)動(dòng)； Q以每秒 2cm 的速度，沿由 C向 D的方向運(yùn)動(dòng)．設(shè) P、 Q 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒，當(dāng) t＞ 2時(shí)， PA交 CD于 E．（ 1）用含 t的代數(shù)式分別表示 CE和 QE的長(zhǎng)；（ 2）求△ APQ的面積 S與 t 的函數(shù)表達(dá)式；（ 3）當(dāng) QE恰好平分△ APQ 的面積時(shí)， QE 的長(zhǎng)是多少厘米？ 44 【例 13】 如圖所示，有一邊長(zhǎng)為 5cm的正方形 ABCD和等腰三角形 PQR， PQ=PR=5cm， PR=8cm，點(diǎn) B、 C、 Q、 R 在同一直線ι上．當(dāng) CQ 兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰△ PQR 以 1cm/秒的速度沿直線ι按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)， t秒后，正方形 ABCD與等腰△ PQR重合部分的面積為 Scm2．解答下列問(wèn)題： （ 1）當(dāng) t=3秒時(shí)，求 S的值； （ 2）當(dāng) t=5秒時(shí)，求 S的值； 【例 14】如圖 2416所示，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個(gè)柱子 OA， O恰在圓形水面中心， OA=1． 25米．由柱子頂端 A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向沿形狀相同的拋物線的路線落下．為使水流形狀較為漂亮，要求設(shè)計(jì)成水流在與高OA距離為 1米處達(dá)到距水面最大高度 2． 25米． （ 1）如果不計(jì)其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水不致落到池外？ （ 2）若水池噴出的拋物線形狀如（ 1）相同，水池的半徑為 3． 5米，要使水流不致落到池外，此時(shí)水流最大高度應(yīng)達(dá)多少米？（精確到 0． 1米，提示：可建立如下坐標(biāo)系：以O(shè)A所在的直線為 y軸，過(guò)點(diǎn) O垂直于 OA 的直線為 x軸，點(diǎn) O為原點(diǎn)） 【例 15】某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為 40只，且每日生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn) x只玩具熊貓的成本為 R（元） ，每只售價(jià)為 P（元），且 R， P 與 x的表達(dá)式分別為 R=500＋ 30x， P=170－ 2x． （ 1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲利為 1750元？ （ 2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 45 【例 16】閱讀材料，解答問(wèn)題． 當(dāng)拋物線的表達(dá)式中含有字母系數(shù)時(shí)，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)出將發(fā)生變化．例如 y=x2－ 2mx＋ m2＋ 2m－ 1①，有 y=（ x－ m） 2＋ 2m－ 1②，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ m， 2m－ 1），即 ??? ??? ．　④，　　?、?12my mx 當(dāng) m的值變化時(shí)， x、 y的值也隨之變化，因而 y值也隨 x值的變化而變化． 把③代入④，得 y=2x－ 1．⑤ 可見(jiàn)，不論 m取任何實(shí)數(shù)，拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y和橫坐標(biāo) x都滿足表達(dá)式 y=2x－ 1． 解答問(wèn)題： （ 1）在上述過(guò)程中，由①到②所學(xué)的數(shù)學(xué)方法是 ，其中運(yùn)用了 公式，由③、④到⑤所用到的數(shù)學(xué)方法是 ． （ 2）根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線 y=x2－ 2mx＋ 2m2－ 3m＋ 1 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo) y與橫坐標(biāo) x之間的表達(dá)式． 二、課后練習(xí)： 1．拋物線 y=－ 2x2＋ 6x－ 1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，對(duì)稱軸為 ． 2．如圖，若 a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0，則拋物線 y=ax2＋ bx＋ c的大致圖象為（ ） 3．已知二次函數(shù) y=41 x2－ 25 x＋ 6，當(dāng) x= 時(shí)， y 最小 = ；當(dāng) x 時(shí)，y隨 x的增大而減?。? 4． 拋物線 y=2x2 向左平移 1 個(gè)單位，再向下平移 3 個(gè)單位，得到的拋物線表達(dá)式 為 ． 5．二次函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c的圖象如圖所示，則 ac 0．（填“＞”、“＜”或“ =”＝）。 學(xué)習(xí)重點(diǎn) : 畫出形如 與形如 的二次函數(shù)的圖象，能指出上述函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo) . 學(xué)習(xí)難點(diǎn) : 理解函數(shù) 、 與 及其圖象間的相互關(guān)系 學(xué)習(xí)方法 : 探索研究法。 二、議一議： ？與同伴交流。 25 第二章 二次函數(shù) 167。 x 軸有交點(diǎn)嗎？如果有，交點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？ x0 時(shí)， y隨著 x的增大， y 的值如何變化？當(dāng) x0時(shí)呢？ x 取什么值時(shí)， y的值最小 ？ ？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？請(qǐng)你找出幾對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，并與同伴交流。 學(xué)習(xí)過(guò)程 : 一、復(fù)習(xí)引入 提問(wèn)： 1．什么是二次函數(shù)？ 2．我們已研究過(guò)了什么樣的二次函數(shù)？ 3．形如 的二次函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo) 各是什么？ 二、新課 復(fù)習(xí)提問(wèn)：用描點(diǎn)法畫出函數(shù) 的圖象，并根據(jù)圖象指出：拋物線 的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo) . 例 1 在同一平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù) 、 、 的圖象 . 由圖象思考下列問(wèn)題： （ 1）拋物線 的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？ （ 2）拋物線 的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？ （ 3）拋物線 ， 與 的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)有何異同？ （ 4）拋物線 與 同 有什么關(guān)系？ 38 繼續(xù)回答： ①拋物線的形狀相同具體是指什么？ ②根據(jù)你所學(xué)過(guò)的知識(shí)能否回答：為何這三條拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小都相同？ ③這三條拋物線的位置有何不同？它們之間可有什么關(guān)系？ ④拋物線 是由拋物線 沿 y軸怎樣移動(dòng)了幾個(gè)單位得到的？拋物線 呢？ ⑤你認(rèn)為是什么決定了會(huì)這樣平移？ 例 2在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出 與 的圖象． 三、本節(jié)小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了二次函數(shù) 與 的圖象的畫法，主要內(nèi)容如下。 6．已知點(diǎn)（－ 1， y1）、（－ 321 ， y2）、（ 21 ， y3）在函數(shù) y=3x2＋6x＋ 12的圖象上，則 y y y3的大小關(guān)系是（ ） A． y1＞ y2＞ y3 B． y2＞ y1＞ y3 C． y2＞ y3＞ y1 D． y3＞ y1＞ y2 46 7．二次函數(shù) y=－ x2＋ bx＋ c的圖象的最高點(diǎn)是（－ 1，－ 3），則 b、 c的值是（ ） A． b=2， c=4 B． b=2， c=－ 4 C． b=－ 2， c=4 D． b=－ 2， c=－ 4 8．如圖，坐標(biāo)系中拋物線是函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c 的圖象，則下列式子能成立的是（ ） A． abc＞ 0 B． a＋ b＋ c＜ 0 C． b＜ a＋ c D． 2c＜ 3b 9．函數(shù) y=ax2＋ bx＋ c和 y=ax＋ b在同一坐標(biāo)系中，如圖所示，則正確的是（ ） 10．已知拋物線 y=ax2＋ bx＋ c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 4， 2）和 B（ 5， 7）．（ 1）求拋物線的表達(dá)式；（ 2）用描點(diǎn)法畫出這條拋物線． 11．如圖，已知二次函數(shù) y=21 x2＋ bx＋ c，圖象過(guò) A（－ 3， 6），并與 x軸交于 B（－ 1，0）和點(diǎn) C，頂點(diǎn)為 P． （ 1）求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式； （ 2）設(shè) D為線段 OC上的一點(diǎn)，且滿足∠ DPC=∠ BAC，求 D點(diǎn)坐標(biāo)． 12．已知矩形的長(zhǎng)大于寬的 2 倍，周長(zhǎng)為 12，從它的一個(gè)點(diǎn)作一條射線將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于 21 ．設(shè)梯形的面積為 S，梯形中較短的底的長(zhǎng)為 x，試寫出梯形面積關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式，并指出自變量 x的取值范圍． 47 13．心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力 y與提出概念所用的時(shí)間 x（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系 y=－ 0． 1x2＋ 2． 6x＋ 43（ 0≤ x≤ 30）． y值越大，表示接受能力越強(qiáng)． （ 1） x 在什么 范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？ x 在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐漸降低？ （ 2）第 10分時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？ （ 3）第幾分時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？ 14．某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40 元的水產(chǎn)品．據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克 50元銷售，一個(gè)月能售出 500千克；銷售單位每漲 1元，月銷售量就減少 10千克．針對(duì)這種水產(chǎn)品的銷售情況，請(qǐng)解答以下問(wèn)題： （ 1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克 55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)； （ 2）設(shè)銷售單價(jià)為每千克 x元，月銷售利潤(rùn)為 y元，求 y與 x的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出 x的取值范 圍）； （ 3）商店想在月銷售成本不超過(guò) 10000 元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到 8000 元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？ 15．欣欣日用品零售商店，從某公司批發(fā)部每月按銷售合同以批發(fā)單價(jià)每把 8 元購(gòu)進(jìn)雨傘（數(shù)量至少為 100 把）．欣欣商店根據(jù)銷售記錄，這種雨傘以零售單價(jià)每把為 14 元出售時(shí)，月售銷量為 100把，如果零售單價(jià)每降低 0． 1元，月銷售量就要增加 5把．現(xiàn)在該公司的批發(fā)部為了擴(kuò)大這種雨傘的銷售量，給零售商制定如下優(yōu)惠措施：如果零售商每月從批發(fā)部購(gòu)進(jìn)雨傘的數(shù)量超過(guò) 100 把，其超過(guò) 100 把的部分每把按原批發(fā)單價(jià) 九五折（即95%）付費(fèi)，但零售單價(jià)每把不能低于 10 元．欣欣日用品零售商店應(yīng)將這種雨傘的零售單價(jià)定為每把多少元出售時(shí)，才能使這種雨傘的月銷售利潤(rùn)最大？最大月銷售利潤(rùn)是多少元？（銷售利潤(rùn) =銷售款額－進(jìn)貨款額） 48 16．如圖 2424，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90176。 學(xué)習(xí)過(guò)程 : 一、例題及練習(xí)： 例 如圖 ,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形 ABCD，其中 AB和 AD 分別在兩直角邊上 . (1).設(shè)矩形的一邊 AB=xcm,那么 AD邊的長(zhǎng)度如何表示？ (2).設(shè)矩形的面積為 ym2,當(dāng) x取何值時(shí) ,y的最大值是多少 ? 練習(xí) 如圖⑴，在 Rt△ ABC中， AC=3cm， BC=4cm，四邊形 CFDE為矩形，其中 CF、 CE在兩直角邊上，設(shè)矩形的一邊 CF=xcm．當(dāng) x取何值時(shí)，矩形 ECFD的面積最大？最大是多少？ 58 如圖⑵，在 Rt△ ABC中，作一個(gè)長(zhǎng)方形 DEGF，其中 FG邊在斜邊上， AC=3cm， BC=4cm，那么長(zhǎng)方形 OEGF的面積最大是多少？ 如圖⑶，已知△ ABC，矩形 GDEF的 DE邊在 BC邊上． G、 F分別在 AB、 AC邊上， BC=5cm，S△ ABC為 30cm2， AH為△ ABC在 BC邊上的高，求△ ABC的內(nèi)接長(zhǎng)方形的最大面積． 例 某建筑物的窗戶如 圖所示 ,它的上半部是半圓 ,下半部是矩形 ,制造窗框的材料總長(zhǎng) (圖中所有的黑線的長(zhǎng)度和 )為 x等于多少時(shí) ,窗戶通過(guò)的光線最多 (結(jié)果精確到 )?此時(shí) ,窗戶的面積是多少 ? 練習(xí)：某建筑物窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形．制造窗框的材料總長(zhǎng)（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和）為 15m．當(dāng) x等于多少時(shí)，窗戶透過(guò)的光線最多（結(jié)果精確到0． 01m）？此時(shí)，窗戶的面積是多少？ 59 二、課后練習(xí)： 1．如圖，隧道的截面 由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 8m，寬是 2m，拋物線可以用 y=－ x2＋ 4表示． （ 1）一輛貨運(yùn)卡車高 4m，寬 2m，它能通過(guò)該隧道嗎？ （ 2）如果隧道內(nèi)設(shè)雙行道，那么這輛貨運(yùn)車是否可以通過(guò)？ （ 3）為安全起見(jiàn)，你認(rèn)為隧道應(yīng)限高多少比較適宜？為什么？ 2．在一塊長(zhǎng)為 30m，寬為 20m的矩形地面上修建一個(gè)正方形花臺(tái)．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xm，除去花臺(tái)后，矩形地面的剩余面積為 ym2，則 y與 x之間的函數(shù)表達(dá)式是 ，自變量 x的取值范圍是 ． y有最大值或最小值嗎？若有，其最大值是 ，最小值是 ，這個(gè)函數(shù)圖象有何特點(diǎn)？ 3．一養(yǎng)雞專業(yè)