【正文】 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】 設(shè)向量 、 的夾角為 θ，由數(shù)量積的定義代入已知可得關(guān)于 cosθ 的方程，解之可得． 【解答】 解：設(shè)向量 、 的夾角為 θ， θ∈ [0， π] 則由題意可得（ ﹣ ） ? = ﹣ =2 1 cosθ﹣ 12=0， 解之可得 cosθ= ，故 θ=60176。 B． 45176。 B． 45176。 ∴ = =3a2， ∵ AC⊥ AB1， ∴ ， ∴ AC=AB1= a， ∵ AB⊥ 側(cè)面 BB1C1C， BC?側(cè)面 BB1C1C， ∴ AB⊥ BC， ∴ 在 Rt△ ABC 中， AB= = ， ∵ 三棱錐 A﹣ BB1C 的體積為 ， ∴ ， 解得 a=2， ∴ AB= ， BC=a=2， ∴△ ABC 的面積 S△ ABC= BC AB= = ． 【點評】 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 19．（ 12 分）（ 2017?汕頭一模）二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的 A 型號二手汽車的使用年數(shù) x 與銷售價格 y（單位：萬元 /輛）進行整理，得到如下數(shù)據(jù)： 使用年數(shù) x 2 3 4 5 6 7 售價 y 20 12 8 3 z=lny 下面是 z 關(guān)于 x 的折線圖： （ 1）由折線圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合 z 與 x 的關(guān)系，請用相關(guān)數(shù)加以說明； （ 2）求 y 關(guān)于 x 的回歸方程并預測某輛 A 型號二手車當使用年數(shù)為 9 年時售價約為多少？（ 、 小數(shù)點后保留兩位有效數(shù)字）． （ 3）基于成本的考慮，該型號二手車的售價不 得低于 7118 元，請根據(jù)（ 2）求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年？ 參考公式：回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： = = ， = ﹣ ，r= ． 參考數(shù)據(jù)： = ， = ， =139 ， = ， =， =， ≈ ， ≈ ﹣ ． 【考點】 線性回歸方程． 【分析】 （ 1）由題意計算 、 ，求出相關(guān)系數(shù) r，判斷 z 與 x 的線性相關(guān)程度； （ 2）利用最小二乘估計公式計算 、 ， 寫出 z 與 x 的線性回歸方程， 求出 y 關(guān)于 x 的回歸方程，計算 x=9 時 的值即可； （ 3）利用線性回歸方程求出 ≥ 時 x 的取值范圍，即可得出預測結(jié)果． 【解答】 解：（ 1）由題意，計算 = （ 2+3+4+5+6+7） =， = （ 3+++++） =2， 且 xizi=， =， =， ∴ r= = =﹣ （或﹣ ） ≈ ﹣ ； ∴ z 與 x 的相關(guān)系數(shù)大約為 ，說明 z 與 x 的線性相關(guān)程度很高； （ 2）利用最小二乘估計公式計算 = = =﹣ ≈ ﹣ ， ∴ = ﹣ =2+ =， ∴ z 與 x 的線性回歸方程是 =﹣ +， 又 z=lny， ∴ y 關(guān)于 x 的回歸方程是 =e﹣ +； 令 x=9，解得 =e﹣ 9+≈ ， 即預測某輛 A 型號二手車當使用年數(shù)為 9 年時售價約 萬元； （ 3）當 ≥ 時， e﹣ +≥ ==e﹣ ， ∴ ﹣ +≥ ﹣ ， 解得 x≤ 11， 因此預測在收購該型號二手車 時車輛的使用年數(shù)不得超過 11 年． 【點評】 本題考查了線性回歸方程與線性相關(guān)系數(shù)的求法與應用問題，計算量大，計算時要細心． 20．（ 12 分）（ 2017?汕頭一模）已知 O 為坐標原點，圓 M：（ x+1） 2+y2=16，定點 F（ 1， 0），點 N 是圓 M 上一動點，線段 NF 的垂直平分線交圓 M 的半徑MN 于點 Q，點 Q 的軌跡為 E． （ 1）求曲線 E 的方程； （ 2）已知點 P 是曲線 E 上但不在坐標軸上的任意一點，曲線 E 與 y 軸的交點分別為 B B2，直線 B1P 和 B2P 分別與 x 軸相交于 C、 D 兩點，請問線段長之積|OC|?|OD|是否為定值 ？如果是請求出定值，如果不是請說明理由； （ 3）在（ 2）的條件下，若點 C 坐標為（﹣ 1， 0），過點 C 的直線 l 與 E 相交于 A、 B 兩點，求 △ ABD 面積的最大值． 【考點】 直線和圓的方程的應用． 【分析】 （ 1）通過連結(jié) FQ，利用中垂線的性質(zhì)及橢圓的定義即得結(jié)論； （ 2）證明：設(shè) P（ x0， y0），可得 3x02=4（ 3﹣ y02），直線 B1P 的方程為：y= ．令 y=0，得 ， |OC|?|OD|=|xC|?|xD|=| |=4（定值）； （ 3）當點 C 的坐標為（﹣ 1， 0）時，點 D（﹣ 4， 0）， |CD|=3， 設(shè)直線 l 的方程為 ： x=my﹣ 1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 聯(lián)立 得（ 3m2+4） y2﹣ 6my﹣ 9=0 解得： ． |y1 ﹣ y2|= ， △ ABD 面積 s= |y1 ﹣y2|= = = ； 【解答】 （ 1）解：連結(jié) FQ，則 FQ=NQ， ∵ MQ+FQ=MQ+QN=MN=4＞ ME，橢圓的定義即得點 Q 的軌跡為以點 M、 F 為焦點，長軸為 4 的橢圓 ∴ 2a=4，即 a=2，又 ∵ 焦點為（ 1， 0），即 c=1， ∴ b2=a2﹣ c2=4﹣ 1=3， 故點 Q 的軌跡 C 的方程為： （ 2）證明：設(shè) P（ x0， y0），直線 B1P 的方程為： y= ． 令 y=0，得 ， |OC|?|OD|=|xC|?|xD|=| | ∵ 點 P 是曲線 E 上但不在坐標軸上的任意一點， ∴ ．即 3x02=4（ 3﹣ y02）， ∴ =4， |OC|?|OD|是否為定值 4． （ 3）當點 C 的坐標為（﹣ 1， 0）時，點 D（﹣ 4， 0）， |CD|=3， 設(shè)直線 l 的方程為： x=my﹣ 1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2） 聯(lián)立 得（ 3m2+4） y2﹣ 6my﹣ 9=0 解得： ． |y1 ﹣ y2|= ， △ ABD 面積 s= |y1 ﹣y2|= ? = = ； ∵ ，根據(jù) ∵ 在 [1， +∞ ）遞增 可得 3 ． ∴ ∴ m=0，即直線 AB： x=﹣ 1 時， △ ABD 面積的最大為 ． 【點評】 本題考查了軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，主要考查運算能力，屬于難題． 21．（ 12 分）（ 2017?汕頭一模）已知函數(shù) f（ x） =﹣ x2+alnx， a∈ R． （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）當 a=4 時，記函數(shù) g（ x） =f（ x） +kx，設(shè) x x2（ x1＜ x2）是方程 g（ x）=0 的兩個根， x0是 x x2的等差中項， g′（ x）為函數(shù) g（ x）的導函數(shù)，求證：g′（ x0） ＜ 0． 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 a 的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ 2）求出函數(shù) g（ x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 ln ＜ = ，令 t= ，即 t∈ （ 0， 1），問題轉(zhuǎn)化為證 lnt＜ =2﹣ ，令 h（ t） =lnt+ ﹣ 2，（ 0＜ t＜ 1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x）的定義域是（ 0， +∞