【正文】 ﹣ 2y39。（ x） =0，得 x1=0 或 ， ∵ a＞ 0， ∴ x1＜ x2， 列表如下： x （﹣ ∞， 0） 0 f39。． 故答案為： 60176。（ x），且存在 x∈ [1， 2]使 h（ x） =f（ x），求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）若 g（ x） =lnx，試討論函數(shù) h（ x）（ x＞ 0）的零點個數(shù)． 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步 驟． [選修 41：幾何證明選講 ] 21．如圖， AB 是圓 O 的直徑，弦 BD， CA的延長線相交于點 E，過 E 作 BA的延長線的垂線，垂足為 F．求證： AB2=BE?BD﹣ AE?AC． [選修 42：矩陣與變換 ] 22．已知二階矩陣 M 有特征值 λ=8 及對應的一個特征向量 = ，并且矩陣 M將點（﹣ 1，3）變換為（ 0， 8）． （ 1）求矩陣 M； （ 2）求曲線 x+3y﹣ 2=0 在 M 的作用下的新曲線方程． [選修 44：極坐標與參數(shù)方程 ] 23．已知平面直角坐標系 xOy 中，圓 C的參數(shù)方程為 （ θ為參數(shù)， r＞ 0）．以直角坐標 系原點 O為極點， x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l的極坐標方程為 ρsin（ θ+ ） +1=0． （ 1）求圓 C 的圓心的極坐標； （ 2）當圓 C 與直線 l有公共點時，求 r 的取值范圍． [選修 45：不等式選講 ] 24．已知 a， b， c， d 都是正實數(shù)，且 a+b+c+d=1，求證： + + + ≥ ． 解答題（共 2小題，滿分 20 分） 25．某公司對新招聘的員工張某進行綜合能力測試，共設置了 A、 B、 C三個測試項目．假定張某通過項目 A的概率為 ，通過項目 B、 C 的概率均為 a（ 0＜ a＜ 1），且這三個測試項目能否通過 相互獨立． （ 1）用隨機變量 X表示張某在測試中通過的項目個數(shù)，求 X的概率分布和數(shù)學期望 E（ X）（用 a 表示）； （ 2）若張某通過一個項目的概率最大，求實數(shù) a 的取值范圍． 26．在如圖所示的四棱錐 S﹣ ABCD 中， SA⊥ 底面 ABCD， ∠ DAB=∠ ABC=90176。 利用余弦定理得 由（ ⅰ ）、（ ⅱ ）可得 ， 0≤ x＜ 1 ∴ = ， ∵ 0≤ x＜ 1， ∴ ，當且僅當 x= 時取等號， 由 ①②可知當 x= 時，路 EF 的長度最短為 ． 19．已知數(shù)列 {an}的前 n 項和為 An，對任意 n∈ N*滿足 ﹣ = ，且 a1=1，數(shù)列 {bn}滿足 bn+2﹣ 2bn+1+bn=0（ n∈ N*）， b3=5，其前 9 項和為 63． （ 1）求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項公式； （ 2）令 = + ，數(shù)列 {}的前 n項和為 Tn，若對任意正整數(shù) n，都有 Tn≥ 2n+a，求實數(shù) a 的取值范圍； （ 3）將數(shù)列 {an}， {bn}的項按照 “當 n為奇數(shù)時， an放在前面；當 n 為偶數(shù)時， bn放在前面 ”的要求進行 “交叉排列 ”，得到一個新的數(shù)列： a1， b1， b2， a2， a3， b3， b4， a4， a5， b5， b6， …，求這個新數(shù)列的前 n 項和 Sn． 【考點】 數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的應用． 【分析】 （ 1）由 ，利用等差數(shù)列通項公式可得 An，再利用遞推關系可得 an．由bn+2﹣ 2bn+1+bn=0，可得數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式與通項公式即可得出． （ 2）由（ 1）知 ，再利用 “裂項求和 ”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出． （ 3）數(shù)列 {an}的前 n項和 ，數(shù)列 {bn}的前 n項和 ．對 n分類討論即可得出． 【解答】 解：（ 1） ∵ ， ∴ 數(shù)列 是首項為 1，公差為 的等差數(shù)列， ∴ ，即 ， ∴ ， 又 a1=1， ∴ ， ∵ bn+2﹣ 2bn+1+bn=0， ∴ 數(shù)列 {bn}是等差數(shù)列， 設 {bn}的前 n 項和為 Bn， ∵ 且 b3=5， ∴ b7=9， ∴ {bn}的公差為 ， ． （ 2）由（ 1）知 ， ∴Tn=c1+c2+…+= = =， ∴ ， 設 ，則 ， ∴ 數(shù)列 {Rn}為遞增數(shù)列， ∴ ， ∵ 對任意正整數(shù) n，都有 Tn﹣ 2n≥ a 恒成立， ∴ ． （ 3）數(shù)列 {an}的前 n 項和 ，數(shù)列 {bn}的前 n 項和 ． ①當 n=2k（ k∈ N*）時， ； ②當 n=4k+1（ k∈ N*）時， =4k2+8k+1， 特別地，當 n=1 時， S1=1 也符合上式； ③當 n=4k﹣ 1（ k∈ N*）時， ． 綜上： ， k∈ N*… 20．已知 f（ x） =ax3﹣ 3x2+1（ a＞ 0），定義 h（ x） =max{f（ x）， g（ x） }= ． （ 1）求函數(shù) f（ x）的極值； （ 2）若 g（ x） =xf39。（ x39。 ∴ AB、 AD、 AS 兩兩垂直．故以 A為原點，建立空間直角坐標系，如圖 … 則 S（ 0， 0， a）， C（ a， a， 0）， D（ 0， 3a， 0）（ a＞ 0）， ∵ SA=AB=a 且 SA⊥ AB， ∴ 設 E（ x， 0， a﹣ x）其中 0≤ x≤ a， … ∴ ， ， 假設 DE 和 SC 垂直，則 ， … 即 ax﹣ 3a2﹣ a2+ax=2ax﹣ 4a2=0，解得 x=2a， … 這與 0≤ x≤ a 矛盾，假設不成立，所以 DE 和 SC 不可能垂直 … （ 2） ∵ E 為線段 BS 的三等分點（靠近 B）， ∴ ． 設平面 SCD 的一個法向量是 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ，即 ， 取 ， … 設平面 CDE 的一個法向量是 ， ∵ ， ， ∴ ，即 ，即 ， 取 ， … 設二面角 S﹣ CD﹣ E 的平面角大小為 θ，由圖可知 θ為銳角， ∴ ， 即二面角 S﹣ CD﹣ E 的余弦值為 … 2021 年 11 月 15 日 。 又 EF⊥ AB， ∠ AFE=90176。擬過線段 BC 上一點 E 設計一條直路 EF（點 F 在四邊形 ABCD 的邊上，不計路的寬度），將綠地分為面積之比為 1： 3 的左右兩部分，分別種植不同的花卉，設 EC=x百米， EF=y 百米． （ 1）當點 F 與點 D 重合時，試確定點 E 的位置； （ 2）試求 x的值，使路 EF 的長度 y 最短． 【考點】 余弦定理的應用；正弦定理． 【分析】 （ 1）當點 F 與點 D 重合時， ，即，從而確定點 E 的位置； （ 2）分類討論，確定 y 關于 x的函數(shù)關系式，利用配方法求最值． 【解答】 解：（ 1） ∵ 當點 F 與點 D 重合時，由已知 ， 又 ∵ ， E 是 BC 的中點 （ 2） ①當點 F 在 CD 上，即 1≤ x≤ 2 時，利用面積關系可得 ， 再由余弦定理可得 ；當且僅當 x=1 時取等號 ②當點 F 在 DA上時