【正文】 注釋 5：我們定義 ? ? ? ?lo g m a x 0 , lo gxx? ? 和 ? 的任何矩陣系數(shù)在子空間 dR 上。 2 . 一般 δ GARCH 模型的 SS? 域 我們遵循 Bougerol 和 Picard (1992b) 和 MPamp。我們可以認(rèn)為這是當(dāng)2?? 時(shí) WS 域與該域的自然對(duì)應(yīng)。 注釋 3:在納爾遜（ 1990）， SS 域已經(jīng)明確為 ? 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)或柯 西分布。通常情況下，我們只指 SS? 域和WS? 域，因?yàn)槟承﹨?shù)的值有無窮無條件方差平穩(wěn)的解，這些模型的 SS? 域通常要比WS? 域大。我們證明了這些領(lǐng)域的一些基本性質(zhì)，并分析了一些案例尤其是相關(guān)的應(yīng)用。對(duì)該模型的參數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步研究還有很多工作要做。 模型最終擬合結(jié)果如下圖所示： The AUTOREG Procedure GARCH Estimates SSE Observations 101 MSE Uncond VaR Log Likelihood Total RSquare SBC AIC Normality Test Pr ChiSq 19 NOTE: No intercept term is used. Rsquares are redefined. Standard Approx VaRiable DF Estimate Error t Value Pr |t| t 1 AR1 1 AR2 1 ARCH0 1 .0001 ARCH1 1 GARCH1 1 參數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果顯示除 GARCH（ 1， 1）模型中的常數(shù)項(xiàng)不顯著外，其他變量均顯著，且正態(tài)分布性檢驗(yàn)不顯著（ P 值為 ），這與假定 GARCH 的殘差函數(shù) /tth? 服從正態(tài)分布相吻合，所以可以認(rèn)為該模型擬合成功。 run。c:\39。在計(jì)算 VaR 過程中，對(duì)于 GARCH 模型中的參數(shù)用 SAS 系統(tǒng)建模 方法 求出 ，進(jìn)而計(jì)算絕對(duì) VaR。 因子 GARCH（ Factor GARCH）模型 因子模型通過一個(gè)單一的 GARCH波動(dòng)性，由市場(chǎng)因子的波動(dòng)性的估計(jì)和預(yù)測(cè)來估計(jì)和預(yù)測(cè)個(gè)體資產(chǎn)的波動(dòng)性。 其中 Q 統(tǒng)計(jì)量近似服從 2? 分布， T 為建模樣本數(shù)量， ??n? 為平方收益的 n 階自相關(guān)系數(shù)：? ???????? TttTntntttrrn141222 ?? ，進(jìn)行診斷時(shí)，首先應(yīng)該將序列標(biāo)準(zhǔn)化（收益除以 GARCH 模型估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差得到標(biāo)準(zhǔn)化的收益），然后檢驗(yàn)序列的自相關(guān)性，如果序列的自相關(guān)性消除了，則可以說明模型是有效的。 GARCH 模型的估計(jì) 與 ARCH 模型一樣， GARCH 模型一般也采用極大似然估計(jì)對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。 當(dāng) p＝ 0 時(shí)， GARCH(p,q)過程就為 ARCH(q)過程，當(dāng) p＝ q＝ 0 時(shí)，｛ tu ｝為白噪聲過程。 GARCH 模型 GARCH 模型定義 11 Engle 首先提出了 ARCH 模型對(duì)方差進(jìn)行建模， Bollerslev 將 ARCH 模型推廣，發(fā)展成廣義的 ARCH 模型，即 GARCH 模型，其目的也是描述金融數(shù)據(jù)中存在的異方差現(xiàn)象。 三、 用 2?tu 估計(jì) 2 個(gè)回歸式： tt vu ?? 02? ? （ ） tqtqtt vuuu ????? ?? 22 1102 ??? ??? ? （ ） 四、 構(gòu)造 F 統(tǒng)計(jì)量： ? ?? ? ? ?1,~1/ / ?????? qTqFqTSSE qSSESSEFuur （ ） 其中， rSSE ， uSSE 是殘差平方和。（ ）式被稱為均值方程，（ ）式被稱為 ARCH 方程。 GARCH 類模型 [18,19] 中應(yīng)用 最廣泛的主要有 ARCH 、 GARCH 、方差無窮 GARCH 非對(duì)稱 GARCH 、指數(shù) GARCH 和因子 GARCH 等。由于 GARCH 模型是用來估計(jì)并預(yù)測(cè)波動(dòng)性和相關(guān)性的，它更關(guān)注條件方差方程，所以將條件均值方程的形式取得非常簡(jiǎn)單。在模擬方法中，產(chǎn)生情景的方法有很多種，如歷史模擬法、 Monie Carlo模擬法、情景分析方法 (如壓力試驗(yàn) )等。 （ 5） GARCH 模型 GARCH 用于對(duì)市場(chǎng)因子波動(dòng)的條件異方差建模，它可以更好的預(yù)測(cè)市場(chǎng)因子的真實(shí)波動(dòng)性，如波動(dòng)性集聚效應(yīng)。其核心在于用給定歷史時(shí)期上所觀測(cè)到的市場(chǎng)因子的波動(dòng)性，來表示市場(chǎng)因子未來變化的波動(dòng)性。根據(jù)這一分布就可求出給定置信水平下證券組合的 VaR 。 對(duì)于金融市場(chǎng)資產(chǎn)的回報(bào)測(cè)量，通常有簡(jiǎn)單回報(bào)與對(duì)數(shù)回報(bào)兩種方法。在正 態(tài) 分布條件下，可以根據(jù)置信水平選擇一個(gè)對(duì)應(yīng)的乘子，用組合的標(biāo)準(zhǔn)差與該乘子相乘，就可求得 VaR 。注意，本文中 VaR 及收益或 損失均取正數(shù)形式，這里取正數(shù)只是為了與日常習(xí)慣一致。然而，當(dāng)前 GARCH 模型的建立主要困難在于 GARCH 模型參數(shù)估計(jì)的常用方法 BHHH 方法有兩個(gè)缺點(diǎn) :① BHHH方法本質(zhì)上是求解不帶約束最優(yōu)化問題的方法，無法控制 GARCH 模型的參數(shù)約束。監(jiān)管機(jī)構(gòu)則利用 VaR技術(shù)作為金融監(jiān)管的工具，如在巴塞爾委員會(huì)發(fā)布的巴塞爾銀行業(yè)有效監(jiān)管核心原則及歐盟的資本充足度法案中， VaR 成為其監(jiān)管市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的重要工具。 70 年代以前，由于金融市場(chǎng)價(jià)格變化比較平穩(wěn)，金融風(fēng)險(xiǎn)突出地表現(xiàn)為信用風(fēng)險(xiǎn)。 VaR[2] (Value at Risk)是一種利用統(tǒng)計(jì)技術(shù)來度量市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的方法。因此，對(duì) VaR 的理論完善和應(yīng)用拓展己經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者的一個(gè)研究熱點(diǎn) . 金融風(fēng)險(xiǎn)是由于金融價(jià)格的波動(dòng)引起的，因此 VaR 計(jì)算的 核心是價(jià)格波動(dòng)性的估計(jì)和預(yù)測(cè)。 2 第 1 章 金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量模型 VaR 及其原理 VaR 概念 VaR 的含 義是“處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值”，是指在市場(chǎng)正常波動(dòng)下，某一金融資產(chǎn)或證券組合的最大可能損失。如果在某一置信水平 c 下，證券組合的最低價(jià)值為 **0P (1 )PR??，則根據(jù) VaR 的定義 在一定的置信水平下，證券組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失，可以定義相對(duì)于證券組合價(jià)值均值 (期望回報(bào) )的 VaR ，及相對(duì) VaR 為 [5] **0( ) ( )V a R E P P P R ?? ? ? ? ? （ ） 如果不以組合證 券價(jià)值的均值 (期望回報(bào) )為基準(zhǔn)，可以定義絕對(duì) VaR [5] 為**00AV aR P P P R? ? ? ? () 根據(jù)以上定義，計(jì)算 VaR 就相當(dāng)于計(jì)算最小值 *P 或最低的回報(bào)率 *R 。引入積累標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) d= d???? ? ???? ?? () 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下，當(dāng)給定一個(gè)置信水平如 95%，則對(duì)應(yīng) .6??? ? ，于是就可以計(jì)算出相應(yīng)的最小回報(bào) *R 和 VaR 。因此，通常將證券組合用其市場(chǎng)因子來表示 (證券組合價(jià)值是其所有市場(chǎng)因子的函數(shù) )，通過市場(chǎng)因子的變化來估計(jì)證券組合的未 來損益分布 (或概率密度函數(shù) )。不同 的波動(dòng)性 5 模型和估值模型構(gòu)成了 VaR 計(jì)算的不同方法。 (4)Risk Metrics 方法 Risk Metries 采用移動(dòng)平均方法中的指數(shù)移動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)波動(dòng)性。由于只有當(dāng)市場(chǎng)變化范圍較小時(shí)，靈敏度 才能較好地近似實(shí)際變化，因此基于靈敏度的分析方法是一種局部模型。在一個(gè) 時(shí)間序列中，如果有的時(shí)候波動(dòng)性很大，而有的時(shí)候波動(dòng)性卻很小，也就是說波動(dòng)性既有爆發(fā)性又有積聚性，這時(shí)稱該時(shí)間序列存在條件異方差。在正態(tài) GARCH 模型中假定 t? 服從條件正態(tài)分布，其條件方差為 t? 。上式還可以表示成如下的等價(jià)滯后多項(xiàng)式： ? ?101 pp t tL L x? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） 其中 L 稱為滯后算子， k 階滯后算子的定義式為： k t t kL x x??? （ ） tx 的特征方程定義為： 110ppLL??? ? ? ? （ ） 若上面的 AR（ p）過程為一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)過程，則其特征方程（ ）的所有的根都在單位圓外。求 ? ?logL? 對(duì) ?的偏導(dǎo)數(shù)： ? ? ? ? ? ?? ?? ?????? ??????????? ?????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????TttttqttqjjtjtjtttTttttttttTtttttttttTtttttttTt ttTttuxhuuuxhhuxyhhhhuhhuxyhhhhhxyxyhhhL12211221222122212221102112211211121121121l og21l og????????????????（ ） ARCH 模型的檢驗(yàn) 在決定估計(jì)方法之前，應(yīng)該對(duì)誤差項(xiàng) tu 是否服從 ARCH 過程進(jìn)行檢驗(yàn)，只要12, , , q? ? ? 中任何一個(gè)不等于 0， tu 就服從 ARCH 過程。 （二）、 ARCH 模型不能夠?qū)M(jìn)入時(shí)間序列的變化來源提供任何新的解釋，它只是提供一個(gè)機(jī)械的方式來描述條件異方差。各種 GARCH 模型的區(qū)別在于條件方差方程采取的形式不同或者 tu 的分布假設(shè)不同。它的遞歸形式等價(jià)于一個(gè)? ??ARCH 模型， ? ? ? ????????????????2 322 22 1102 12 1021 ttttttuuuu?????????? （ ） 與 GARCH(1,1)模型條件方差相當(dāng)對(duì)應(yīng)的無條件方差是： ? ? ? ?11 02 ????? ?????? （ ） 如果取 22 tttv ?? ?? 有方程 ? ? 12 102 ?? ????? tttt vv ?????? ，說明