【正文】 此時(shí)日本，日本艦隊(duì)也恰好走南線。由于發(fā)現(xiàn)晚，盡管日本艦隊(duì)走南線。 氣象預(yù)報(bào)表明：未來(lái)氣象預(yù)報(bào)表明：未來(lái) 3天中，北天中，北線陰雨，能見度差；而南線天氣晴好線陰雨，能見度差；而南線天氣晴好，能見度好。他要策劃的是盡可能減少損失。因此，對(duì)兩個(gè)囚犯來(lái)說(shuō)，面臨著一個(gè)，對(duì)兩個(gè)囚犯來(lái)說(shuō)，面臨著一個(gè) ““ 承認(rèn)承認(rèn)”” 和和 ““ 不承認(rèn)不承認(rèn) ”” 之間兩個(gè)策略的選擇的之間兩個(gè)策略的選擇的難題。接下來(lái)由買者報(bào)價(jià)，每一次都比前次高，最后誰(shuí)出的價(jià)格高拍賣品即歸誰(shuí)所高，最后誰(shuí)出的價(jià)格高拍賣品即歸誰(shuí)所有。經(jīng)估計(jì)，合作建一個(gè)大水廠比單獨(dú)建三個(gè)自來(lái)水廠作建一個(gè)大水廠比單獨(dú)建三個(gè)自來(lái)水廠的總費(fèi)用少?，F(xiàn)有三個(gè)廠生器，需要外購(gòu)一種配件。如果失敗，則損失 1元，即資本元，即資本成為成為 0。該店根據(jù)平時(shí)銷售情況列出下表，試根據(jù)表 最佳平均利潤(rùn)。同而，不確定型 問題 的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀 態(tài) 下的 選優(yōu) 。此 時(shí)，決策者采用將各狀 態(tài) 的概率取成相同 值 的 辦 法把 問題轉(zhuǎn) 化 為風(fēng)險(xiǎn) 型，并借用 風(fēng)險(xiǎn) 型 問題 的期望 值 法來(lái)決策。他先求每一方案的最小收益 ,再比 較 找出其中的最大者，并采取 這 一使最小收益 值 最大化的方案。 根據(jù)期望 值 大小決策是隨機(jī)型決策 問題 最常用的 辦 法之一。 ○表示機(jī)會(huì) 節(jié) 點(diǎn)，從它分出的分枝稱 為 概率分枝，一條概率分枝 對(duì)應(yīng) 一條自然狀 態(tài) 并 標(biāo) 有相 應(yīng) 的 發(fā) 生概率。（ ii）采取 應(yīng) 急措施。有 40% 的可能會(huì)出 現(xiàn) 陰雨天氣而不影響工期，在 50% 的可能會(huì)遇到小 風(fēng) 暴而使工期推 遲 15天，另有 10% 的可能會(huì)遇到大 風(fēng) 暴而使工期推 遲 20天。然后，比 較 各方案的期望后悔 值 ， 選 取期望后悔最小的方案作 為 最佳策略。決策者不知道究竟會(huì)出 現(xiàn) 哪一種狀 態(tài) ，但知道各種狀 態(tài) 出 現(xiàn) 的概率有多大。表 000不 鉆 井（ 2） 4020－ 30鉆 井（ 1） P( 3) = P( 2) = P( 1) = （ 億 元）高 產(chǎn) 油井（ 3） 一般（ 2） 無(wú)油（ 1） 自然狀 態(tài)概率 收益 方案 問 ：決策者 應(yīng) 如何作出決策？解：由 題 意可以看出，決策 問題應(yīng) 包含三方面信息：狀 態(tài) 集合Q={ 1,…, n}、策略集合 A = { 1,…, m}及收益 R = {aij}，其中 aij表示如果決策者 選 取策略 i而出 現(xiàn) 的狀 態(tài)為 j， 則 決策者的收益 值為 aij（當(dāng) aij為負(fù)值時(shí) 表示 損 失 值 ）。如果這些狀態(tài)出現(xiàn)的可能性是可以度量的，決策問題就轉(zhuǎn)變成為風(fēng)險(xiǎn)型決策。面臨 的幾種自然情況叫做自然狀 態(tài) 或 簡(jiǎn) 稱狀 態(tài) 。圖 對(duì) 情況 2，可求得守方的 贏 得矩 陣為此 時(shí) ，矩 陣 A中不存在鞍點(diǎn)， 對(duì) 策無(wú) 穩(wěn) 定解， 應(yīng) 采用混合策略。表 布雷密度 1 2殺傷 率 根據(jù)上表，在確定方案后即可根據(jù)各段不同密度 針對(duì) 攻方的 進(jìn) 攻策略 計(jì)算出坦克的 殺傷 率。問 采取哪一方案或什么 樣 的混合策略能有效 擊 毀 敵 方的坦克？本例在 過(guò) 去一般是憑指 揮員 的作 戰(zhàn)經(jīng)驗(yàn) 定性決策的， 現(xiàn) 用矩 陣對(duì) 策方法 進(jìn) 行定量 擇優(yōu) 。事 實(shí) 上，當(dāng) 時(shí) 雙方指 揮 官正是 這樣 決策的，如果真能 實(shí) 行，雙方勝負(fù)還難 以料定。定理 對(duì) 于矩 陣對(duì) 策 G= { SA, SB, R}，若矩 陣 R的某行 優(yōu) 于第 i1,……, ik行，則 局中人 A在 選 取最 優(yōu) 策略 時(shí) ，必取 。（ 6）（ 3, 2），美后 備軍 待命。若 B采取策略 1，即德 軍 采取攻 勢(shì) ， 則 有（ 1）（ 1, 1），估 計(jì) 美 軍擊敗 德 軍 并占 領(lǐng) 海峽的可能性（即概率） 為（ 2）（ 2, 1），估 計(jì) 美 軍 取 勝 的可能 為 。美 軍 方面的指 揮 官是 Bradley將 軍 ，德 軍 指 揮 官是 Von Kluge將 軍 。看來(lái)， 對(duì)這 一 對(duì) 策 問題 ，雙方最好 還 是握手言和，相互配合，先取得 總 體上的最大 獲 利，然后再按某一雙方均 認(rèn)為較為 合理的方式來(lái)分享 這 一已 經(jīng)獲 得的最大 獲 利。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)， A的市場(chǎng)占有率為的市場(chǎng)占有率為：： B 廣告廣告 ?1 降價(jià)降價(jià) ?2 售后服務(wù)售后服務(wù) ?3 廣告廣告 ?1 A = 降價(jià)降價(jià) ?2 售后服務(wù)售后服務(wù) ?3 試確定雙方的最優(yōu)策略。記 ，由于 ， 在 yk=1， yj=0（ j≠k） 時(shí) 達(dá)到最大 值 u， 故 應(yīng)為線 性 規(guī) 劃 問題 min u , j=1, 2, …, n (即 Ej≤Ek)xi≥0, i =1,2,…, m的解。故 對(duì) A方 選 取的最佳概率 x1和 x2，必 滿 足：即由此解得 x1=， x2=。一旦戰(zhàn)斗機(jī)未被擊落，它將以 的轟炸機(jī)。定理 （ Von Neumann）任意混合策略 對(duì) 策 問題 必存在鞍點(diǎn)，即必存在概率向量和，使得： （ 證 明從略）。此 時(shí) ，在只使用 純 策略的范 圍 內(nèi)， 對(duì) 策 問題 無(wú)解。然而，在 實(shí)際 遇到的零和 對(duì) 策中更典型的是 μ+ν≠0的情況。在沒有關(guān)于當(dāng)年冬季氣溫情元。一般又可以 證 明。定理 零和 對(duì) 策 G具有 穩(wěn) 定解的充要條件 為 μ +ν= 0 。如果 A采取策略 2，無(wú)論 B采取什么策略， A的贏得均不會(huì)少于 2.B采取各方案的最大損失為 max {12,14, － 6}=14， max {－ 6,2,0}=2， max {30,18, － 10}=30和 max {－ 22,10,16} =16。例如若 A有 m種策略， B有 n種策略， 贏 得矩 陣 表示若 A選取策略 i而 B選取策略 j，則 A之所得為 aij（當(dāng) aij0時(shí)為支付）。 綜 上所述，一個(gè) 對(duì) 策模型由局中人、策略集合和 贏 得函數(shù)三部分 組 成。當(dāng)對(duì)策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量 S表示，稱之為一個(gè)純局勢(shì)（簡(jiǎn)稱局勢(shì)）。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。? 對(duì)策論（博弈論）– 解決具有對(duì)抗性局勢(shì)的模型。? 玩撲克牌，比大小? 兩組撲克牌，分別是 7和 8? 你們先選，然后先出? 為什么我是總能贏？ ? 這就是決策，對(duì)策? 田忌賽馬 ? 田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說(shuō)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。在這類模型中，參與對(duì)抗的各方都有一些可供選擇的策略，該模型為對(duì)抗各方提供獲得最優(yōu)對(duì)策的方法? 決策分析– 在決策環(huán)境不確定和風(fēng)險(xiǎn)情況下對(duì)幾種被選方案進(jìn)行決策的準(zhǔn)則和方法? 預(yù)測(cè)– 對(duì)未來(lái)的發(fā)展作出的推測(cè)。對(duì)策問題中，對(duì)應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個(gè)策略，否則該局中人可從此對(duì)策問題中刪去，因?yàn)閷?duì)他來(lái)講，不存在選擇策略的余地。 例如 ，若一 對(duì) 策中包含 A、 B兩名局中人，其策略集合分 別為SA = { 1,…, m}， SB = { 1,…, n}。 記 局中人集合 為 I = {1,…, k}， 對(duì) 每一 i∈ I，有一策略集合 Si，當(dāng) I中每一局中人 i選 定策略后得一個(gè)局 勢(shì) s；將 s代入 贏 得函數(shù) F，即得一矢量 F(s) = ( F1(s),…, Fk(s))，其中 Fi(s)為 在局 勢(shì) s下局中人 i的 贏 得（或支付）。在有些兩人 對(duì) 策的 贏 得表中， A之所得并非明 顯為 B之所失，但雙方 贏 得數(shù)之和 為 一常數(shù)。當(dāng) B采取策略 2時(shí)，其損失不會(huì)超過(guò) 2。 證明： （充分性） 由 μ 和 ν 的定 義 可知，存在一行（例如 p行） μ為 p行中的最小元素且存在一列（例如 q列），－ ν 為 q列中的最大元素。例：例： 某單位采購(gòu)員在秋天時(shí)要決定冬天某單位采購(gòu)員在秋天時(shí)要決定冬天取暖用煤的采購(gòu)量。在沒有關(guān)于當(dāng)年冬季氣溫情況下，秋季應(yīng)購(gòu)多少噸煤，能使總支出況下，秋季應(yīng)購(gòu)多少噸煤，能使總支出最少？最少？解：解：局中人局中人 I（采購(gòu)員）有三個(gè)策略：策略（采購(gòu)員）有三個(gè)策略：策略 ?1: 10噸噸 ,策略策略 ?2: 15噸噸 ,策略策略 ?3 :20噸。由于贏 得矩 陣 中不存在鞍點(diǎn)，至少存在一名局中人，在他 單 方面改 變 策略的情況下，有可能改善自己的收益。 這類 決策如果只 進(jìn) 行一次，局中人除了碰運(yùn)氣以外 別 無(wú) 辦 法。使用 純 策略的 對(duì) 策 問題 （具有 穩(wěn) 定解的 對(duì) 策 問題 ）可以看成使用混合策略的 對(duì)策問題 的特殊情況，相當(dāng)于以概率 1選 取其中某一策略，以概率 0選 取其余策略。請(qǐng)為 A、 B雙方各選擇一個(gè)最優(yōu)策略，即：對(duì)于 A方應(yīng)選擇哪一架轟炸機(jī)裝載炸彈？對(duì)于 B方戰(zhàn)斗機(jī)應(yīng)阻擊哪一架轟炸機(jī)？ 解： 雙方可 選擇 的策略集分 別為SA = { 1, 2}, 1： 轟 炸機(jī) I 裝炸 彈 ， II 護(hù) 航 2： 轟 炸機(jī) II 裝炸 彈 ， I 護(hù) 航SA = { 1, 2}, 1：阻 擊轟 炸機(jī) I 2：阻 擊轟 炸機(jī) II贏 得矩 陣 R=（ aij） 22， aij為 A方采取策略 i而 B方采取策略 j 時(shí) ， 轟炸機(jī) 轟 炸 B方指 揮 部的概率，由 題 意可 計(jì) 算出：a11= + (1－ ) = a12= 1, a21= 1a22= + (1－ ) = 即易求得 ， 。同 樣 ，可從 A方考 慮問題 ，得即并解得 y1=， y2=。同理， 應(yīng)為線 性 規(guī) 劃max ν , i=1, 2, …, myj≥0, i =1,2,…, n的解。試確定雙方的最優(yōu)策略。例 明， 總獲 利數(shù)并非常數(shù)的 對(duì) 策 問題 （即不能 轉(zhuǎn) 化 為 零和 對(duì) 策的 問題 ），是一 類 存在著合作基 礎(chǔ) 的 對(duì) 策 問題 。Von Kluge將 軍 面 臨 的 問題 是或者向西 進(jìn) 攻，加 強(qiáng) 他的西部防 線 ，切斷美軍 援助；或者撤退到 東 部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德 軍 第十五 軍 的援助。德 軍 很可能打破美 軍 第一軍 的防 線 ，并切斷美 軍 的退路。在 發(fā)現(xiàn) 德 軍 撤退后，奉命向 東擾 亂 敵 方撤退，為 以后 殲滅 德第九 軍創(chuàng) 造條件，估 計(jì) 是美 軍擊敗 德 軍 的可能性 。令 ， R’為 從 R中劃去第 i1行， … ， ik行后剩下的矩陣 ， 則 的最 優(yōu) 策略即原 對(duì) 策 G的最 優(yōu) 策略， 對(duì) 于 R中列的最 優(yōu) 關(guān)系也有 類 似的 結(jié) 果。但正當(dāng)?shù)?軍 第九 軍剛 開始 東 撤 時(shí) ，突然接到了希特勒的命令要他 們 向西 進(jìn) 攻，從而失去了他 們 有可能取得的最佳 結(jié) 局，走上必然 滅 亡的道路。 由于每?jī)?輛 坦克之 間 一般要保持 50米的 間 距，因而 進(jìn) 攻正面拉得很 寬，如一個(gè)梯 隊(duì) 20輛 坦克， 進(jìn) 攻正面 約為 一公里 寬 。 為 便于理解，作 為實(shí) 例分析下面兩種情況：情況 1 設(shè) 守方只有 1500個(gè)防坦克地雷，欲布 設(shè) 在攻方必 經(jīng) 的 2公里攻 擊正面上。可以